Een essentiële vaardigheid voor ontwerpers die nieuwe aspecten willen creëren in de werkelijkheid, aspecten die ook energetische gevolgen hebben, is het kunnen toepassen van de kennis die opgebouwd wordt in de fysica. De fysica kan immers onze energetische beperkingen en mogelijkheden modelleren zodanig dat we er rekening kunnen mee houden als we iets willen realiseren. We willen immers in kaart brengen wat we niet kunnen wanneer we iets wel kunnen en dat leren we door weldoordachte experimenten te ondernemen die uitspraken kunnen falsificeren die als potentieel realiseerbaar zouden bedacht zijn. Falsificatie betekent dat men iets anders realiseert dan datgene dat hypothetisch bedacht werd, maar enkel “iets anders” dat binnen hetzelfde universum kan beschreven worden. In de toekomst kunnen we dan met die geanticipeerde effecten rekening houden (bijvoorbeeld: wat is te verwachten bij een translatie, of bij een rotatie, van een “invariant iets” dat onder invloed van zijn omgeving staat en dus voor een aantal aspecten niet als invariant kan beschouwd worden omdat die aspecten deel uitmaken van de interactie).

Dit betekent echter niet dat men in de fysica het universum a priori moet kiezen, en de meeste fysici doen dat ook niet. Regelmatig worden nieuwe gebieden aangesneden en nieuwe vragen opgeworpen en worden er nieuwe grenzen geëxploreerd. Hier ontmoeten fysici dan ook ontwerpers die de nieuwe mogelijkheden proberen vorm te geven en daartoe nieuwe processen ontwerpen.

We proberen nu de veronderstellingen van de fysica zo precies mogelijk in kaart te brengen, gebaseerd op wat we nu in het front van de fysica begrepen hebben, en we doen dit door het te vertalen naar de taal van het haakformalisme. We gebruiken hiervoor de taal die ontwikkeld werd in de publicaties van Peter Rowlands, emeritus professor in de fysica van de universiteit van Liverpool, die geprobeerd heeft om de gehele fysica, zowel de kwantum aspecten als de relativiteit aspecten, een nieuw fundament te geven. Uiteraard kan het haakformalisme hierbij helpen omdat het van een gelijkaardige ambitie vertrokken is om een fundament te geven aan alle kennisvergaring van het type “indien dit…, dan dat ...”, in welk domein ook en vanuit welk perspectief dan ook.

In de fysica en de ingenieurswetenschappen die fysische processen proberen te gebruiken zijn de aspecten telbare eenheden en het onderzoek in de fysica zal erop neerkomen dat de gevonden beperkingen uitgedrukt kunnen worden als voorwaarden voor evenwicht van processen. Dat er telbare eenheden nodig zijn om evenwicht te modelleren betekent dat sommen gelijk kunnen zijn aan nul (of met andere woorden: sommen gelijk kunnen zijn aan elkaar). Dat is nu ook een centraal inzicht bij Rowlands. En dit confronteren we met het centraal inzicht in het haakformalisme dat de sommen gelijk aan nul zowel intensiteiten als entiteiten kunnen omvatten. We kunnen dit als volgt begrijpen: de fysica modelleert de (energetische, onder andere materiële) aspecten van de werkelijkheid die enkel kunnen gebeuren, wat betekent dat deze in het haakformalisme gemodelleerd worden door welgevormde haakuitdrukkingen met waarde <<>> (de som van de welgevormde haakuitdrukking en <> is dus nul). Die aspecten zijn dus onmogelijk te kiezen, ze kunnen enkel gebeuren en de uitdrukking hiervoor is de al-nul vector in een bepaald ervaren universum. Dat universum is een potentieel universum dat we gedeeltelijk als invariant beschouwen in het ervaren nu, waarvan we de aspecten van delen ervan dus kunnen blijven kiezen en dat we beschouwen als een getrouwe weergave van onze mogelijkheden nu, waarmee we de interactie van “ervaren” en “laten blijken” modelleren. De welgevormde haakuitdrukkingen zijn dus de eenheden en de intensiteit van een gekozen eenheid blijkt in het ervaren ervan. Het verschil tussen eenheid en intensiteit is dus niet alleen cruciaal in het haakformalisme maar is ook cruciaal in de fysica. We kunnen onmiddellijk een som gelijk aan nul construeren met eenheden door in een 2p+1 onderscheidingen universum (met p een geheel getal) de som te maken van de bits van een atoom, inderdaad: de ene bit, die ten opzichte van de andere bits de andere waarde heeft, zal met één andere bit een don’t care vormen en er blijven nog 2x(2.2^p-1) bits over die als som eveneens een don’t care maken. Wat ook de intensiteit zou zijn van zo één ervaren toestand, de som zal altijd de nulvector opleveren omdat de eenheden elkaar opheffen. Het is dat wat we als “een evenwicht” beschouwen. We kunnen trouwens bewijzen dat dit patroon ook altijd met verschillen te construeren is, wat onmiddellijk de relatie legt met simultaneïteitsintervallen en processnelheden.

<<Met goed gekozen eenheden die gewogen zijn (wegen is als operatie een disjunctie) met willekeurige intensiteiten>>

of (dit is de operatie disjunctie, niet exclusieve disjunctie)

<<met willekeurige eenheden die gewogen zijn met goed gekozen intensiteiten>>,

is altijd een nul te construeren.

We hebben dit expliciet gelinkt met het begrip “vierpotentiaal” in een vierdimensionale basis. We merken op dat de operationele definitie van “nul” (namelijk zeer klein en onwaarneembaar kleiner) perfect gerelateerd kan worden aan een heel duidelijke eis van “goede keuze” die er op neer komt dat een som van drie welgevormde haakuitdrukkingen met dezelfde maar ongekende waarde altijd gelijk zal zijn aan nul. Dit is duidelijk in de modulo2 interpretatie van het haakformalisme.

Rowlands gebruikt naast complexe getallen ook de quaternionen als wiskundige techniek om eenheden te coderen, en quaternionen met hun gerelateerde matrices en anti-commutativiteit zijn ook in het haakformalisme te modelleren maar zijn niet essentieel voor het inzicht. Essentieel is een inzicht in de dualiteit “ja” versus “neen” (die wiskundig een modulo2 basis aanbrengt waaruit een modulo3 basis en dus de nul-vector te construeren is) en inzicht in de relatie van transformatie (het ingebedde vectorproduct) in die modulo2 basis, een subtiele relatie die in de logica een beetje tussen schip en wal geraakt is. Het haakformalisme kent natuurlijk ook niet commutatieve relaties. De relatie van simultaneïteit is als niet commutatief (of als niet symmetrisch) te interpreteren, maar voornamelijk: het creatief product is niet commutatief. Het creatief product hebben we echter niet echt nodig omdat we kunnen aantonen dat (1) elke welgevormde haakuitdrukking kan beschouwd worden als het kwadraat van een creatief product en (2) dat elke welgevormde haakuitdrukking als een inbedding kan weergegeven worden en (3) dat elke welgevormde haakuitdrukking een eenheid kan zijn die kan geteld worden in een groter universum en (4) dat we elke welgevormde haakuitdrukking zowel als een afgeleide naar een (dus telbare) 2-vector, als ook als een richtingsafgeleide naar de projector van die 2-vector kunnen beschouwen.

Aangezien de aspecten in de fysica telbare eenheden zijn, kunnen we aansluiting vinden met de taal van Peter Rowlands door gebruik te maken van ons onderzoek naar structuren die kunnen ontstaan door enkel telbare haakuitdrukkingen in te zetten. In dat onderzoek hebben we een structuur ontdekt in drie onderscheidingen met vier aspecten die telbaar zijn: <b•a>∼01100110; <c•a>∼01011010; <c•b>∼00111100; d•e∼10000001. Met deze aspecten kunnen we verschillende sommen maken die de nulvector als resultaat geven. Dit kunnen we niet doen met alleen maar atoomburen, maar dit is enkel mogelijk als we ook twee atomen gebruiken die pas in een groter universum (en dus in het grootste universum) telbaar zijn. De structuur die we zullen gebruiken in de vertaling is in ons onderzoek als “vierde mogelijkheid” uitgewerkt en is gebaseerd op de volgende vijf welgevormde haakuitdrukkingen:

<b•a>∼01100110

<c•a>∼01011010

<c•b>∼00111100

<d>∼10000000

<e>∼00000001

De drie eerste zijn andersduaal en dus telbaar in de drie onderscheidingen a,b en c, de twee laatste zijn de bedoelde atomen waarvan de atoombuur d•e∼10000001 de conjunctie is.

Zodanig dat er geldt: <b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>⊕d⊕e∼xxxxxxxx, de bedoelde nulvector die gegenereerd wordt door de eenheden, onafhankelijk van de intensiteiten. Het feit dat hier atomen voor nodig zijn en atomen niet kunnen geteld worden maakt al duidelijk dat we ook kwantum aspecten hiermee zullen kunnen modelleren.

Het belang van deze constructie ligt nu in zijn voorstelling met de laatst toegevoegde onderscheiding. We kiezen voor c omdat dit in bitstring iets gemakkelijker te volgen is, maar we kunnen ook voor a of b kiezen als laatst toegevoegde onderscheiding.

De 1-splitsing (h₁, h₂) die met c ontstaat levert twee isomorfe twee onderscheidingen universa op die opgespannen worden door de volgende vier “atomen”: enerzijds 0001xxxx, 0010xxxx, 0100xxxx, 1000xxxx en anderzijds hun "orthogonale contradualen" xxxx1000, xxxx0100 xxxx0010, xxxx0001, en waarbij d en e essentieel zijn omdat ze niet andersduaal zijn. Dit heeft als gevolg dat de som van vijf (en niet vier) gecollapste haakuitdrukkingen (coëfficiënten in de 1-splitsing) zowel voor de ene deeltralie als de andere gelijk is aan de nulvector (er geldt dus: 0001xxxx⊕0010xxxx⊕0100xxxx⊕1000xxxx⊕0000xxxx=xxxxxxxx en ook xxxx1000⊕xxxx0100⊕xxxx0010⊕xxxx0001⊕xxxx0000=xxxxxxxx, in totaal zijn er dus 10 componenten). Merk op wat de essentiële rol is van d en e in de constructie van die som van vijf. Dit is niet anders dan de evenwichtsvoorwaarde die we konden construeren in universa met een even aantal onderscheidingen en zo relateren we een som van 2p+1 gecollapste atomen (stel p=2²) met een som van 2^(2q+1) niet gecollapste atomen (stel q=1).

Nu kunnen alle welgevormde haakuitdrukkingen als 3&1 patroon in twee onderscheidingen uitgedrukt worden en staan h₁ en h₂ voor hele ruimtes die door c in één tralie verenigd worden. In dit geval zijn h₁ en h₂ aan elkaar gelijk of zijn elkaars inbedding, ze hoeven dus niet in hun opbouwende componenten gekend te zijn. Bijvoorbeeld: (---+xxxx) is niet anders dan <<>>•(<>⊕<a>⊕<b>⊕b•a)⊕c•(<>⊕<a>⊕<b>⊕b•a) en dus zijn de coëfficiënten van <<>> en c aan elkaar gelijk. Dus als we dat gecollapst punt als een algemene 2x2 Hadamard transformatie uitdrukken, dan zijn x en y aan elkaar gelijk . De kolomvector is dan ((<>⊕<a>⊕<b>⊕b•a) (<>⊕<a>⊕<b>⊕b•a))^T. Met dezelfde toegevoegde onderscheiding is het orthogonaal contraduaal van dit punt gegeven door een Hadamard transformatie van punten die elkaars inbedding zijn. Inderdaad: (xxxx+---) is niet anders dan <<>>•(<>⊕a⊕b⊕b•a)⊕c•(<<>>⊕<a>⊕<b>⊕<b•a>) en de coëfficiënten worden gegeven door de kolomvector ((<>⊕a⊕b⊕b•a) (<<>>⊕<a>⊕<b>⊕<b•a>))^T, dus met termen die elkaars inbedding zijn.

De afgeleiden (de contracties) zullen dus de nulvector zijn.

Enerzijds:

<<>>•(<>⊕<a>⊕<b>⊕b•a)⊕c•(<>⊕<a>⊕<b>⊕b•a)

Som: (<>⊕<a>⊕<b>⊕b•a)⊕(<>⊕<a>⊕<b>⊕b•a)=(<<>>⊕a⊕b⊕<b•a>) is de disjunctie ab

Verschil: (<>⊕<a>⊕<b>⊕b•a)⊕(<<>>⊕a⊕b⊕<b•a>)=X

Het product van som en verschil is de nulvector.

Het creatief product is dus (X⊗ab)_c∼(X⊗(<<>>⊕a⊕b⊕<b•a>))_c

Anderzijds:

<<>>•(<>⊕a⊕b⊕b•a)⊕c•(<<>>⊕<a>⊕<b>⊕<b•a>)

Som: (<>⊕a⊕b⊕b•a)⊕(<<>>⊕<a>⊕<b>⊕<b•a>)=X

Verschil: (<>⊕a⊕b⊕b•a)⊕(<>⊕a⊕b⊕b•a)=(<<>>⊕<a>⊕<b>⊕<b•a>) is de disjunctie <a><b>

Het product van som en verschil is de nulvector.

Het creatief product is dus (X⊗<a><b>)_c∼(X⊗(<<>>⊕<a>⊕<b>⊕<b•a>))_c

Dezelfde eenheid van een universum (namelijk de eenheid van de laatst toegevoegde c als intensiteit) uit zich zowel als het OR-atoom ab als ook het OR-atoom <a><b>. We kunnen dat als volgt interpreteren: hetzelfde patroon doet zich voor zowel in een universum dat door de aspecten a en b beschreven wordt als in een universum dat door de aspecten <a> en <b> beschreven wordt. Stel dat we a en b kennen (en dus kunnen kiezen) dan kunnen we ons inbeelden dat <a> en <b> ongekend en onkenbaar zijn (en enkel kunnen gebeuren), toch zullen we in staat zijn om de structuren die in evenwicht zijn exact te kwantificeren met behulp van (de intensiteit van) een laatst toegevoegde onderscheiding.

Met vijf welgevormde haakuitdrukkingen die op deze manier met elkaar gerelateerd zijn beschikken we dus altijd over een constructie van aspecten die we niet kunnen kiezen en die enkel aan ons kunnen gebeuren in een universum van gelijk welke grootte, universum dat gekwantificeerd wordt door de niet te kiezen intensiteit van een structuur c. Dat is dus universeel en dat is dan weer het uitgangspunt dat de fysica wil onderzoeken. Dat is het wat ook Rowlands ontdekte en wat hier nu, dank zij zijn onderzoek, in het haakformalisme gemodelleerd kan worden. Dit geeft nog een dieper fundament aan die ontdekking omdat we nu begrijpen waarom er vijf aspecten zijn.

De werkwijze van Rowlands

Rowlands vertrekt niet van onderscheidingen maar onderscheidt zes parameters (eenheden met een intensiteit) die hij vanuit een aantal gekozen eigenschappen karakteriseert: tijd, ruimtelijke as x, ruimtelijke as y, ruimtelijke as z, massa, elektrische lading. Deze zes parameters zijn blijkbaar in werkelijkheid aan elkaar gerelateerd, ze kunnen dus niet alle zes vrij gekozen worden, ze hebben een onbekende relatie met elkaar die een waarde heeft. Zes parameters met één relatie levert vijf onafhankelijke parameters op. Dat zijn klassiek meetbare parameters in een driedimensionale werkelijkheid. Dat hoeft ons niet te verbazen aangezien we de kwantum effecten kunnen modelleren vanuit de kwantiteiten die volgen uit de structuur zelf van een tralie die bij een waarneming ontstaat.

Nu gaat Rowlands die parameters karakteriseren vanuit hun eigenschappen (en impliciet dus onderscheidingen) waarvan hij hoopt dat die intuïtief begrepen kunnen worden. Van deze parameters, maakt Rowlands duidelijk, zijn er slechts vier rechtstreeks te meten: ruimtelijke as x, ruimtelijke as y, ruimtelijke as z en massa. Ruimte kunnen we rechtstreeks tellen omdat we in een gekozen standpunt ruimtelijke objecten kunnen gebruiken. De ruimtelijke parameters in het kwadraat leggen de ruimtelijke relaties kwantitatief vast als som (bijvoorbeeld langs de stelling van Pythagoras). Tijd is slechts te tellen als verandering en dus verschil, meer bepaald als versnelling (verschil van een verschil, tijd in het kwadraat, tweede afgeleide naar de laatst toegevoegde onderscheiding), versnelling die als een kracht waargenomen wordt. Massa m kunnen we rechtstreeks tellen als inertie (er is geen tweede massa voor nodig), dus als de ratio van kracht F en versnelling a, in formulevorm: F=ma, de versnelling waarmee we ook tijd kwantificeren. Massa kunnen we ook meten door gravitatie (een kwadraat omdat het product van twee massa’s nodig is: m₁ en m₂) langs de formule F_m=(-C_m)m₁m₂/r² met C_m een constante en r de ruimtelijke afstand tussen de massamiddelpunten. Deze kracht is aantrekking en is een vector met richting tegengesteld aan de richting van de plaatsvector tussen de twee massa’s (vandaar het minteken). Elektrische lading is enkel te tellen als er twee ladingen aanwezig zijn die een kracht F_e uitoefenen op elkaar en die kracht wordt gegeven door het product te nemen van de twee ladingen, e₁ en e₂, wat ook een kwadratische relatie is. De formule hiervoor is F_e=(+C_e)e₁e₂/r². C_e is een constante. Ladingen kunnen gelijk of tegengesteld zijn, dus de kracht kan ofwel afstoting ofwel aantrekking zijn in tegenstelling tot massa die maar één vorm kent (massa's hebben altijd dezelfde waarde, er zijn geen massa’s te onderscheiden die elkaar opheffen). We kunnen dezelfde vorm van vergelijking vinden (namelijk aantrekking) wanneer we van de ladingen een imaginaire grootheid maken (door gebruik te maken van √-1)=i) en noteren: F_e=(-C_e)ie₁ie₂/r². Vanuit de ambitie van eenmaking in de fysica modelleert Rowlands daarom lading ook als imaginair (“norm -1”, “kwadraat -1”). In het haakformalisme verwijst een imaginaire eenheid naar een dubbelgetal en dus één onderscheiding die in een verhouding onzichtbaar wordt (vrij kan gekozen worden).

Rowlands onderscheidt dus als reëel en rechtstreeks telbaar: de drie assen in de ruimte en één as: massa. Hij onderscheidt dus als imaginair en afleidbaar (door berekening, onrechtstreeks): één as tijd en elektrische lading. Dan formuleert hij de hypothese dat lading zoals ruimte drie “dimensies” heeft en hij noemt de betrokken krachten de elektrische kracht, de zwakke kernkracht en de sterke kernkracht, alle drie bipolair (aantrekking/afstoting). Terwijl ruimte symmetrisch is voor rotatie (de ruimte wordt opgespannen door drie 2-vectoren die exact dezelfde rol spelen en elkaars functie kunnen overnemen), is lading in die hypothese asymmetrisch voor rotatie (de drie vectoren die de “lading”ruimte opspannen zijn dus niet van dezelfde soort, het is dus een volledig ander soort dimensies). Rowlands: “The three types of ‘charge’ (electric, strong and weak) do not ‘rotate’ into each other, despite the partial unification of the electric and weak forces in the SU(2) × U(1) electroweak theory. They must be separately conserved.”. Als we lading beschouwen als het effect van één bijkomende onderscheiding dan is dit duidelijk wanneer de ladingen overeenkomen met drie van de vier punten in een één onderscheiding universum met een laatst toegevoegde onderscheiding (het vierde punt is de onvermijdelijke <<>>). Ze moeten dus de drie welgevormde haakuitdrukkingen zijn in een tralie met supremum <<>>, namelijk <ℵ<x>>, <<ℵ><y>> en <ℵ<x>><<ℵ><y>> omdat ze zich ook niet op zelfde niveau bevinden en dus niet in elkaar roteerbaar zijn. Dit relateert hij dan aan het behoud van impulsmoment (angular momentum) als gevolg van bol symmetrie (de symmetrie wordt behouden wat ook de radius is van de bol, U(1), wat ook het systeem van rotatie assen is, SU(3), en wat ook de chiraliteit (linkshandig versus rechtshandig) is, SU(2)). De bol symmetrie (rond een puntmassa of rond een puntlading) introduceert dus een tralie structuur in de fundamentele aspecten van de werkelijkheid. Vanuit het haakformalisme is de bolsymmetrie van een tralie vanzelfsprekend en we kunnen elk punt op de bol in een ander punt roteren door een geschikte transformatie operatie.

Al die inzichten gebruikt Rowlands dan wanneer hij de drie ladingsoorten en massa modelleert als een quaternion met reële coëfficiënten en de drie ruimteassen en tijd als een quaternion met complexe coëfficiënten. In de tabel hieronder volgen we het patroon van Rowlands: een quaternion met reële coëfficiënten is weergegeven in rood, cursief en vet en een quaternion met complexe coëfficiënten is weergegeven in blauw, romein en vet.

De complexe i die door Rowlands gebruikt wordt (en zich onderscheidt van de i en de i van de quaternionen) is duidelijk de i zoals gemodelleerd in het haakformalisme in een één onderscheiding universum (een 1-splitsing, één unieke keuze, onvermijdelijkheid van de laatst toegevoegde onderscheiding) onderscheiding die onophoudelijk evolueert maar dezelfde waarde heeft, fundamenteel anders dan de imaginaire eenheden van quaternionen (gemodelleerd als een 2-splitsing, een keuze, gegeven een beperking).

Rowlands genereert dan de volgende tabel:

We gebruiken nu een modellering die vertrekt van enkel telbare aspecten in het haakformalisme waarvan het resultaat hierboven gesynthetiseerd werd. Lading₂ en lading₃ zijn niet individueel telbaar (tenzij in een nog groter universum) maar zijn telbaar als de mogelijke intensiteiten van lading₁: we hebben de keuzevrijheid om lading₂ of lading₃ te kiezen als we lading₁ kwantificeren. We moeten geen keuze maken, zowel lading₂ als lading₃ kunnen een concretisering zijn van lading₁. Lading₂ en lading₃ sluiten elkaar uit maar zijn telbaar als lading₁.

De vertaling van de tabel van Peter Rowlands in de symbolen van het haakformalisme wordt dan:

Tijd manifesteert zich in de laatst toegevoegde onderscheiding die onvermijdelijk een waarde krijgt (bijvoorbeeld “ja”): de laatst toegevoegde onderscheiding is nu ervaren in het hoogste universum, uitdrukking van de typische mogelijkheid van een agens-in-context, een eigen tijd, een eigen vermogen. Om dat te illustreren hebben we de 1-splitsing met c gebruikt, maar hetzelfde doet zich voor met een 1-splitsing met a of b. Dat hoogste universum is zeker niet invariant. Massa is het supremum van het universum dat nu in het gebeuren zelf stabiel blijkt te zijn (in het hoogste universum blijft er een beperking) en opgespannen wordt door zowel ruimte als lading (in bitstring heeft het dus onvermijdelijk hetzelfde aantal bits).

Met de laatst toegevoegde onderscheiding hebben we twee orthogonale ruimtes gevonden met vier betekende bits, maar we kunnen ook twee orthogonale ruimtes op een andere manier onderscheiden: de “(ruimte)-en-(tijd met massa)” ruimte, in het gebeuren beschreven door 6 bits en de “(lading)-en-(tijd met massa)” ruimte, in het gebeuren beschreven door 2 bits. De grootte van deze ruimtes moet telkens weer blijken. De intensiteiten van de twee ruimtes zijn onafhankelijk van elkaar. De “(lading)-en-(tijd met massa)” ruimte is perfect af te beelden op een één onderscheiding universum met lading₁ als supremum en tijd als infimum . De “(ruimte)-en-(tijd met massa)” ruimte daarentegen moet in drie dimensies afgebeeld worden. De opsplitsing naar relevantie is dus (x......x) versus (.xxxxxx.). Ruimte (3 componenten die in elkaar kunnen roteren) en tijd/massa zijn onafhankelijk te beschrijven van lading (3 componenten die niet in elkaar kunnen roteren) en tijd/massa. De ruimtes zijn orthogonaal. De opsplitsing in functie van de laatst toegevoegde onderscheiding (waarvoor we voor c kiezen omwille van de leesbaarheid) is daarentegen (xxxx….) versus (….xxxx) en bevat dus relevante componenten uit de twee onafhankelijke ruimtes. Die ruimtes zijn ook orthogonaal en zijn elk in twee onderscheidingen te beschrijven want ze hebben elk vier betekende bits. Zij worden opgesplitst door de laatst toegevoegde onderscheiding een waarde toe te kennen. Bijvoorbeeld: neem (00000001) en schrijf deze als een creatief product met c als laatst toegevoegde onderscheiding: <c<<>>><<c><<b><a>>>. Geef nu aan c de waarde <> dan wordt dit <<><<>>><<<>><<b><a>>> en dit is ba, of dus (xxxx0001). Geef nu aan c de waarde <<>> dan wordt dit <<<>><<>>><<<<>>><<b><a>>> en dit is <>, of dus (0000xxxx). Onderscheidingen zijn zeer abstracte concepten en het is zeker niet zo dat c als (elektrische of andere) lading kan geïnterpreteerd worden. We kunnen c wel interpreteren als de intensiteit van punten in de twee andere onderscheidingen, en dat kan enkel voor 2x5=10 punten op centraal niveau (met dus vier hoogbits en vier laagbits), namelijk de punten:

De som van deze 10 punten is de nulvector, en de nulvector is de uitdrukking van evenwicht en nilpotentie.

De ruimte-componenten samen met tijd vormen een viergroep van Klein met als operatie de transformatie (inbedding van het vectorproduct):

De lading-componenten samen met tijd vormen een viergroep van Klein met als operatie de transformatie (inbedding van het vectorproduct)

Uiteraard hebben deze tabellen hun duaal met <<>> (massa).

We zien dus twee structuren met hetzelfde patroon: ruimte met de laatst toegevoegde onderscheiding als massa of tijd, of lading met de laatst toegevoegde onderscheiding als massa of tijd. Het belang hiervan is het patroon dat ontstaat: een driedimensionale structuur zal altijd met gelijk welke eendimensionale structuur kunnen gecombineerd worden en die eendimensionale structuur zal dan als een soort lading kunnen geïnterpreteerd worden omdat enkel de interpretatie van exclusieve disjunctie voor een 2-vector mogelijk is.

De conjuncties zijn andersduale atoomburen en dus telbaar. De conjunctie van de drie ruimte-componenten is 01111110∼(<<>>⊕<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>) en dit is de inbedding van de conjunctie van de drie lading-componenten, namelijk 10000001∼(<>⊕b•a⊕c•a⊕c•b). Samen met tijd en massa vormen ze een viergroep van Klein en dat voor zowel de operatie • (zoals in de tabel hieronder met eenheid <<>>, massa) als <•> (met eenheid <>, tijd, de tabel daarna).

Dit is niet anders dan de structuur van een één onderscheiding universum met de conjunctie van ruimtecomponenten (of de conjunctie van ladingcomponenten) als enige onderscheiding. De symmetrieën hebben we als 1-splitsing operatoren gemodelleerd.

Deze structuur komt overeen met de volgende tabel van Peter Rowlands die hij weergeeft met een commutatieve relatie die hij verder niet specificeert.

Hij merkt ook op dat dezelfde structuur ontstaat met een andere keuze dan massa voor de eenheid, en dat er ook een duale structuur te definiëren is met tijd*, massa*, ruimte* en lading*. Dit alles volgt als vanzelfsprekend vanuit de perfecte bol symmetrie van een tralie, maar is ook te zien in het volgende: de projector van de conjunctie (<<>>⊕<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>) is in bitstring 1xxxxxx1 en is het supremum in de ruimte van de lading componenten. De projector van de conjunctie (<>⊕b•a⊕c•a⊕c•b) is in bitstring x111111x en is het supremum in de ruimte van de ruimte componenten. Beide zijn suprema in hun respectievelijke ruimtes, en als supremum kunnen ze natuurlijk ook de functie van tijd of massa overnemen (ze kwantificeren het aantal toestanden dat geen verschil maakt, wat we een Lorentz invariant kunnen noemen). Als we kiezen om <<>> een supremum te noemen (meer hoogbits dan laagbits) dan ligt het voor de hand om de conjunctie (<<>>⊕<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>) eveneens een supremum te noemen. Als we kiezen om <> een infimum te noemen (meer laagbits dan hoogbits) dan ligt het voor de hand om de conjunctie (<>⊕b•a⊕c•a⊕c•b) eveneens een infimum te noemen.

De ruimte van de ruimtecomponenten wordt door Rowlands voorgesteld met componenten ix=iix, jy=ijy, kz=ikz met it voor de tijd (de eenheden zijn complexe quaternionen), de ruimte van de ladingcomponenten door is, je, kw met 1m voor massa (de eenheden zijn reële quaternionen). Het supremum van de eerste is de som van 01100110, 01011010, 00111100 dus (<<>>⊕b•a⊕c•a⊕c•b) of (x111111x). Het supremum van de tweede is de som van 10000001, 10000000, 00000001, dus (<<>>⊕<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>) of (1xxxxxx1). Het zijn alleen sommen van drie dezelfde bits die een don’t care bit genereren. De lading componenten d en e zijn elkaars contraduaal. We zien dit heel snel in bitstring. 00000001 wordt omgezet in 10000000 (en 10000000 wordt omgezet in 00000001) door de leesrichting om te keren. Uitgedrukt in onderscheidingen is dat dus: elke onderscheiding veranderen in zijn inbedding. De drie soorten ladingen kunnen elkaars functie dus niet overnemen: twee soorten lading zijn elkaars contraduaal en de derde is andersduaal. De drie ruimte componenten kunnen elkaars functie echter wel overnemen omdat ze alle drie andersduaal zijn.

De ruimtelijke dimensies vertonen geen simultaneïteit met elkaar en realiseren tijd. Het is onmogelijk een ruimte dimensie te kiezen zonder tijd. Dus als de tijd gebeurt met een bepaalde intensiteit dan moeten ook de ruimtelijke dimensies gebeuren en blijkt er ook massa. De lading dimensies vertonen wel simultaneïteit met elkaar (de conjunctie 10000001 realiseert beide OR-atomen) en realiseren eveneens tijd. Het is dus mogelijk een SU(2) × U(1) elektrozwakke theorie te construeren (Gerard 't Hooft en Martinus Veltman).

Zoals Rowlands probeert, zo proberen we ook om zo goed mogelijk in standaard taal de inzichten te verwoorden.

Ruimte en lading zijn anti-commutatief, tijd en massa zijn commutatief. Zoals Rowlands dit gebruikt kan dit alleen met matrices begrepen worden in hun modellering van potentiële punten in de tralie van een twee onderscheidingen universum. Commutativiteit kunnen we echter ook interpreteren als het patroon waarbij intensiteit en eenheid dezelfde rol kunnen spelen voor een bepaalde operatie. Tijd en massa worden afgebeeld op de eenheidsmatrix en die is commutatief met alle matrices. Een matrix is commutatief met zijn inbedding. De matrices overeenkomend met twee willekeurig welgevormde haakuitdrukkingen zijn niet commutatief. Dit introduceert dimensionaliteit (vectoren) en het discrete, elkaar uitsluitende, aftelbare, datgene dat kan gekozen worden, versus het continue, het niet aftelbare, datgene dat enkel kan gebeuren. Beide soorten zijn niet commensurabel. Ruimte en lading vormen een gesloten en gestructureerde verzameling samen met de commutatieve relatie van vectorproduct die tijd en massa genereert. Tijd en massa vormen ook een gesloten verzameling op zich met het vectorproduct maar dat is een verzameling zonder singulariteit, zonder keuzevrijheid. Dimensionaliteit is altijd driedimensionaliteit die het resultaat is van twee onderscheidingen of vier telbare aspecten in een 3&1 patroon dat universeel is voor welgevormde haakuitdrukkingen. Voor een punt in de ruimte kunnen we kiezen met een zeer grote (maar niet onbeperkte) keuzevrijheid. Voor een punt in de tijd kunnen we niet kiezen, het kan ons enkel gebeuren. Ruimte is dus “nagenoeg onbeperkt” deelbaar door telkens nieuwe onderscheidingen hiervoor in te zetten (men kan voor die onderscheidingen “achteraf” kiezen), tijd niet, tijd is continu (men kan er niet voor kiezen). Tijd “kan niet waargenomen worden”, “is er niet”, “kan enkel gebeuren”, moet aanvaard worden, is de basis om andere parameters te kunnen ordenen en is een parameter van een spontaan proces. De eigenschap van ruimte dat ze bestaat uit elkaar uitsluitende punten (posities, toestanden) drukt uit dat we ruimte en tijd in het ervaren niet kunnen loskoppelen van elkaar. Elkaar uitsluiten moeten we aanvaarden, we kunnen er niet voor kiezen, het kan enkel gebeuren, het kan enkel blijken. Dit modelleren we als de “laatst toegevoegde onderscheiding” die dus nu onvermijdelijk is (het inbouwen in de dimensionale tralie kan “achteraf” wel gekozen worden en dat is onbeperkt). Tijd “gaat door” of we nu een keuze maken of niet. In de ruimte vinden we aantallen deeltjes, entiteiten die elkaar uitsluiten, tijd is essentieel om een golf te modelleren. Een golf (rotatie) kan niet gemodelleerd worden zonder gebruik te maken van niet te kiezen getallen zoals π en e. Dimensionale aspecten introduceren een standpunt, een keuze, een nulpunt, een singulariteit. Dit vinden we niet bij continue aspecten. Continue aspecten kunnen daarom niet dimensionaal genoemd worden. Dit is in het haakformalisme ingebakken in de meest primitieve dualiteit: als we a kiezen (te ervaren) en als keuze is dat is iets discreet, dan zal <a> gebeuren en is niet gekozen (om te ervaren) en dat is niet discreet, met andere woorden continu. Dit geldt ook omgekeerd, inbedding is niet iets absoluuts. Als we massa modelleren als de inbedding van tijd, dan modelleren we dus dezelfde dualiteit: ruimte en massa kunnen we evenmin loskoppelen van elkaar. We kunnen kiezen voor een bepaalde massa maar dan kiezen we ook voor een bepaalde tijd, een bepaalde dynamiek die we maar moeten aanvaarden want dan zal er ook nog steeds iets anders gebeuren en dat ervaren we als een “nieuw element” in de tijd. Zoals tijd (dat verandert) is er altijd massa (wat we datgene noemen dat blijft en dat als Lorentz nulpunt te modelleren is) of we nu een keuze maken of niet. Tijd en massa zijn niet meetbaar zonder iets ruimtelijk te meten. Om te kunnen meten met behulp van een eenheid moet één punt als referentie gekozen worden ten opzichte waarvan men meet en dat introduceert automatisch twee dimensies en een singulariteit: het nulpunt van beide dimensies. Twee dimensies zijn altijd een deelaspect van drie dimensies want een dimensie kan niet los gezien worden van geslotenheid (“closure”, “afsluiting”, het vectorproduct van het haakformalisme) en twee dimensies genereren daardoor vanzelf de derde dimensie (door de subtiele relatie van transformatie, dezelfde die voor afsluiting zorgt en anti-commutativiteit, want als a anti-commutatief is met b voor een bepaalde operatie dan is het enkel met b en de operatie <a•b> anti-commutatief). Dat alles is discreet en dus meetbaar. Tijd of massa zijn niet discreet maar continu (wat een alternatief is voor “niet te kiezen”), tijd is “onvermijdelijk gekozen”, massa gebeurt onvermijdelijk, tijd is onomkeerbaar omdat er geen singulariteit kan gecreëerd worden (een mogelijke singulariteit, een mogelijk nulpunt en de eenheid van tijd is “willekeurig te kiezen”), tijd is “unipolair” (er is maar één soort tijd), massa blijkt onvermijdelijk en eveneens “unipolair” (er is maar één soort massa), een massa gelijk aan nul (zoals bij een foton) kan willekeurig waar waargenomen worden, is niet te relateren met een lokatie. Een klok (fysisch object) moet gekozen worden en meet dus elkaar uitsluitende punten in de ruimte. Ruimte kan onbeperkt verdeeld worden, tijd niet (zie de paradox van Zeno), bij “één tik van de klok” moeten we aanvaarden dat er inderdaad een hele ruimte overbrugd wordt waar men niet kon voor kiezen en die enkel kan gebeuren omdat die ruimte inherent reeds gekozen is door het proces zelf. Elektrische lading is discreet en daardoor driedimensionaal, het is een puntlading. Elektrische lading is geen variabele zoals ruimte (lading bijvoorbeeld blijft behouden). De punten van de ruimte zijn andersduaal (de punten hebben dezelfde waarde, wat die dan ook zou zijn), de punten van de energie zijn atomair en impliceren (simultaan) een ruimtelijk punt en een lading (geen elektrische lading zonder ruimtelijke positie). Elektrische lading wordt ingebouwd in de tralie die de werkelijkheid beschrijft. Die tralie is de tralie met drie onderscheidingen. De laatst toegevoegde onderscheiding die niet ingebouwd wordt zal dan de intensiteit van de 8 toestanden kwantificeren.

Dit geeft aanleiding tot de volgende interpretatie van de vijf componenten:

De laatste kolom maakt duidelijk dat de som van rustmassa 10000000 en <c> als laatst toegevoegde onderscheiding gelijk is aan 10000000⊕00001111=x111xxxx en dit modelleert een versnelling in drie dimensies, namelijk het verschil van een verschil. Het duale hiervan geldt voor de (massa)energie eenheid 11111110, namelijk 11111110⊕00001111=xxxx000x.

De eenheid van energie E neemt hier een speciale plaats in: het is een AND-atoom en als dit gerealiseerd wordt, worden simultaan de eenheden van de impulscomponenten en de rustmassa gerealiseerd. Het is het supremum van de vier andere. Die vier andere zijn telkens een infimum van een tralie. Die speciale positie is inderdaad experimenteel bevestigd: als de grootte (de intensiteit) van de energie verandert kunnen er simultaan andere aspecten waargenomen worden. Het spoor dat die intensiteit van energie achterlaat (en andere sporen uitsluit) laat ook andere sporen achter die elkaar niet uitsluiten. En uiteraard kan het duale gezegd worden van de eenheid van rustmassa (de eenheden van energie en rustmassa zijn elkaars duaal) als het even speciale OR-atoom.

De energie E samen met de impuls componenten p_x, p_y, p_z vormen een tralie van 7 bits met supremum 1111111x en infimum 0000000x. Dit zijn de vier componenten van een “vier-vector” die onder de Lorentz transformatie “roteert” zoals we zouden verwachten van een ruimte-tijd (t, x, y, z) vector, waarbij t zich zou moeten gedragen als een gewoon getal (1xxxxxxx) bij rotatie van enkel de x, y en z componenten (dus de deeltralie x111111x) aangezien die niet mag veranderen zolang het coördinatensysteem niet beweegt. Deze constructie maakt dus de rust massa gelijk aan nul, en dan zien we eigenlijk de eigen tijd opduiken. En nu kunnen we gemakkelijk inzien dat exact hetzelfde, maar duaal, geldt voor de rust massa m, we moeten enkel maar de inbedding nemen van de impuls componenten. We vormen dan een tralie met infimum x0000000 en supremum x1111111. In het “massa-en-lading” universum (één dimensie universum, opsplitsing (x......x)) verhouden zich energie en massa zoals tijd en ruimte in het “ruimte-en-tijd” universum ruimte (drie dimensie universum, opsplitsing (.xxxxxx.)). Zoals ruimte en tijd met een schaalfactor verbonden zijn, geldt dat ook voor massa en lading, terwijl voor deze laatste natuurlijk geen kleiner universum beschikbaar is, er is maar één onderscheid.

De structuur vertoont CPT symmetrie op een verrassend eenvoudige manier. Dit is de symmetrie dat de relaties niet veranderen als alle elektrische ladingen door tegengestelde vervangen worden, alle dimensies gespiegeld worden en de tijd omgekeerd wordt. Inderdaad, wanneer a, b, c, d en e door hun inbedding veranderd worden bekomen we nog steeds dezelfde welgevormde haakuitdrukkingen: de impulscomponenten veranderen niet en de eenheid van energie en rustmassa transformeren in elkaar.

In het gebeuren zijn de eenheden van de impulscomponenten orthogonaal en het is deze structuur in drie orthogonale dimensies die we uitgebreid bestudeerd hebben. Inderdaad: we drukken eerst de algemene vorm uit van een gebeurde (of gebleken) welgevormde haakuitdrukking h, namelijk <>⊕<h>. Dus een gebleken impuls component p_x is (<>⊕<a•b•d•e>) of in bitstring (xxx11xxx). En dus: p_y is (xx1xx1xx) en p_z is (x1xxxx1x). En in die collaps is <e> (de eenheid van de energie mc², namelijk x111111x) de inbedding van d (de eenheid van de rust massa m, namelijk x000000x). Beide zijn het de extrema van de gecollapste tralie.

Maar nog belangrijker voor de vondst van Peter Rowlands: hiermee construeren we 11111110=00011000⊕00100100⊕01000010⊕10000000 of met intensiteiten “zonder de eenheden te vermelden” dus E=p_x+p_y+p_z+m of E-p_x-p_y-p_z-m=0. Aangezien de vijf haakuitdrukkingen alle welgevormd zijn, geldt dat ook voor kwadraten, namelijk (11111110)²=(00011000)²⊕(00100100)²⊕(01000010)²⊕(10000000)² is niet anders dan 11111111=11111111⊕11111111⊕11111111⊕11111111 wat natuurlijk een tautologie is. Hieruit volgt natuurlijk ook dat (11111111⊕<11111111>)² de uitdrukking is van nilpotentie omdat alleen maar welgevormde haakuitdrukkingen door de zes dubbele kwadraten gerealiseerd worden en de som van de bijkomende 2 maal 3 welgevormde haakuitdrukkingen is dus niet anders dan de nulvector.

Gebeuren alle punten (in een observatie) dan geldt nog steeds: (en we gebruiken de subscript s voor het supremum van de ruimtes) E_s²=E_s=1111111x=xxx11xxx⊕xx1xx1xx⊕x1xxxx1x⊕1xxxxxxx en met xxx11xxx⊕xx1xx1xx⊕x1xxxx1x=x111111x=p_s geldt dat p_s orthogonaal is met 1xxxxxxx, de gebleken m, noem deze m_s en dus geldt dat (p_s⊕m_s)²=(p_s)²⊕(m_s)², of anders geschreven E_s²-p_s²-m_s²=0. Hoewel het resultaat hetzelfde is, is dank zij het haakformalisme duidelijk dat dit geen strikte nilpotentie is.

De constructie van kandidaat onderscheidingen

Nu kunnen we ook de vooronderstellingen van het “metafysisch” fundament dat Peter Rowlands hanteert specifieker analyseren, dus los van zijn wiskundige modellering. Hij vertrekt van drie “intuïtieve” eigenschappen samen met hun negatie, en impliciet zien we hier dat hij denkt in onderscheidingen. Die drie relateert hij met de vier aspecten tijd, massa, ruimte en lading. Hij probeert die relatie wiskundig te formuleren waarin hij commutativiteit en orthogonaliteit gebruikt op een manier zoals orthogonaliteit in het haakformalisme voor projectoren en creatieve producten gedefinieerd is. Hij is echter niet specifieker over die relatie. Uiteraard kan zo’n verband in het haakformulisme uitgedrukt worden omdat elke welgevormde haakuitdrukking af te beelden is op een twee onderscheidingen universum en dat een twee onderscheidingen universum kan opgespannen worden door drie basisvectoren en hun inbedding, namelijk a versus <a>, b versus <b> en b•a versus <b•a> en dat de welgevormde haakvectoren dan een som zijn van maximaal vier basisvectoren. Hij probeert dan die eigenschappen te definiëren, deze keer zonder wiskundige inzichten te gebruiken, maar daar slaagt hij maar heel gedeeltelijk in, op dezelfde manier dat die eigenschappen in het haakformalisme niet te definiëren zijn zonder te verwijzen naar de structuur van een tralie. Daar is dus helemaal niets “metafysisch” aan, het inzicht dat men nodig heeft is een patroon (de structuur van een tralie).

• Hij onderscheidt “conserved versus non conserved” (“alternatively: with elements unique / nonunique”), hiermee onderscheidt hij massa van tijd en lading van ruimte. Massa en lading zijn “conserved”, tijd en ruimte niet. In het haakformalisme komt dit overeen met een gekozen tralie dat behouden kan blijven, met dus een supremum met een beperkt aantal onderscheidingen versus een tralie in het hoogste onderscheidingen universum dat “telkens weer in het ervaren moet blijken” en waarvan de “laatst toegevoegde onderscheiding” ”achteraf” kan ingebouwd worden of niet. Tijd en ruimte gebeuren in het hoogste universum en worden in een lager universum gekozen. De som van massa en lading kunnen we in het haakformalisme modelleren als een Lorentz nulpunt, of invariant (“conserved”).

• Hij onderscheidt “real versus imaginary” of “norm +1 versus norm -1” (“alternatively: orderable / nonorderable”), hiermee onderscheidt hij massa van tijd en ruimte van lading. Massa en ruimte zijn “real”, tijd en lading niet. Dit zijn natuurlijk wiskundige begrippen die enerzijds te maken hebben het plusteken of minteken van kwadraten, anderzijds met meerdimensionale getallen waarvan alleen een “norm” een ordening kan krijgen. In het haakformalisme komt dit overeen met de relatieve positie van punten uit de tralie ten opzichte van het supremum en infimum. Behalve <<>>, die enkel hoogbits heeft, wat we “reëel” noemen, hebben alle punten in bitstring minstens één laagbit en dit kunnen we imaginair noemen. Alle welgevormde haakuitdrukkingen zonder waarde hebben bits van beide soorten. Het duale geldt voor <>. Hiermee is het relatieve onderscheid tussen massa en tijd duidelijk. Voor het onderscheid tussen ruimte en lading wijzen we ook op een relatief verschil: de bitstrings die de eenheden voor ruimte geven hebben evenveel hoogbits als laagbits, de bitstrings die de eenheden voor lading geven hebben een verschillend aantal, minder hoogbits dan laagbits als we met de hoogbits massa voorstellen. In beide gevallen geldt dit ook voor hun projectoren.

• Hij onderscheidt “commutative versus anti-commutative” (“alternatively: indivisible / divisible; continuous / discrete; noncountable / countable; nondimensional / dimensional”), hiermee onderscheidt hij massa van ruimte en tijd van lading. Massa en tijd zijn “commutative”, ruimte en lading niet. Dit zijn natuurlijk wiskundige begrippen die te maken hebben met enerzijds de afbeelding van welgevormde haakuitdrukkingen op matrices, anderzijds met de interpretatie van operaties met reële getallen. In het haakformalisme komt dit overeen met een afbeelding op de eenheidsmatrix (die commutatief is met alle andere) versus de afbeelding op een matrix die verschillend is van de eenheidsmatrix. De andere begrippen (deelbaar, discreet, telbaar, dimensionaal) verwijzen naar structuur: van zodra bovenop de waarde “ja” (en duaal “neen”) een onderscheid geïntroduceerd wordt.

Uiteindelijk ligt er maar één axioma aan de basis van dit alles: er gebeurt ook altijd iets anders dan wat men doet gebeuren en dit lijkt dan het enige “metafysisch” standpunt te zijn, het enige axioma, en dit maakt het mogelijk om dieper te gaan dan de intuïties van Rowlands.