We nemen waar in een veranderende werkelijkheid. Die werkelijkheid kunnen we op verschillende manieren beschrijven en dikwijls moeten we daarbij analogieën gebruiken om contact te kunnen maken met de ervaringswereld van elke agens. Analogieën veronderstellen dat verhoudingen zinvol zijn en invariantie uitdrukken. Het blijkt dan ook onvermijdelijk te zijn dat niet alles invariant kan zijn. Het blijkt dus evenzeer onvermijdelijk dat we veel invarianten kunnen ontdekken die daardoor het karakter krijgen van een “identiteit”, een niet veranderende “kwaliteit”. We kunnen de kwaliteiten benoemen en in verschillende waarnemingen van sommige agentia herkennen, dit hebben we “nominaal meten” genoemd. Soms kunnen we een ordening onderscheiden in de kwaliteiten en dit hebben we “ordinaal meten” genoemd. Aan die ordening kan misschien wel een eenheid toegekend worden en een nulpunt, dit hebben we “interval meten” en “ratio meten” genoemd. Bij elke stap hebben we meer veronderstellingen moeten aannemen om vanuit herhaalbare waarnemingen de werkelijkheid op een betrouwbare manier te kunnen anticiperen.

Invarianten als verhoudingen

We onderzoeken met verhoudingen dus een modellering van de niet karakteriserende onderscheidingen (aspecten) van een klassieke entiteit (bijvoorbeeld zijn intensiteit). Met een voorbeeld begrijpen we beter wat hiermee bedoeld wordt: stel dat de klassieke entiteit een fysisch te observeren slinger is, de intensiteit van die entiteit is het aantal, in dit geval dus aantal slingers. Wat echter ook gemodelleerd moet kunnen worden is een gedrag van de slinger in zijn context die een invariante verhouding vertoont van waarneembare onderscheidingen, namelijk de energie “van” de slinger. Noch het gedrag, noch de energie karakteriseren de fysische slinger en zijn dus geen klassieke entiteit, ze zijn aspecten en dus context afhankelijk. Een slingerbeweging kan gemodelleerd worden door negatieve feedback met de aspecten snelheid en hoek. Voor een slingerbeweging is er een positie en een maximale positie (hoek en dus verhouding), is er een snelheid en een maximale snelheid (verhouding). Beide zijn gegeven door energetische grenzen en dus ook begrensde feedback kan op die manier gemodelleerd worden. Positie en snelheid zijn voor een slinger dan een fractie van de maximale (we nemen minimaal gelijk aan nul). Beide getallen zijn dan kleiner dan 1 en als we zouden willen kunnen we ze interpreteren als eigenwaarden en dus ook verhoudingen κ.

Voor de klassieke modellering moeten we dus bijzondere aandacht verlenen aan verhoudingen.

Verhouding modelleren

De meest eisende veronderstelling in de reeks nominaal, ordinaal, interval en ratio, is dat we een zinvolle verhouding (ratio) moeten poneren tussen getallen. Sommige verhoudingen kunnen stabiel zijn (en daardoor een lineaire relatie vastleggen) en sommige verhoudingen kunnen niet gedefinieerd worden (delen door nul kan niet toegelaten worden). Daar stopt dan onze zoektocht naar de meest betrouwbare en herhaalbare manier van waarnemen en zo kunnen we ook de volledige kracht van de meeste wiskundige modellen gebruiken. De klassieke wiskundige (getal) verhoudingen vereisen dat associativiteit van transformaties moet mogelijk zijn en een invers moet kunnen gedefinieerd worden. In het haakformalisme tonen we duidelijk aan dat de mogelijkheid van een invers die geen identiteit is, een bijkomende veronderstelling is. Het haakformalisme kent het vectorproduct als associatieve transformatie en hierin is het product zijn eigen invers. Enkel het creatief product met een laatst toegevoegde onderscheiding maakt het mogelijk om een invers te construeren waarbij het invers van h niet meer h zelf is. Als de twee termen van het creatief product dezelfde waarde hebben dan is het creatief product onafhankelijk van de toegevoegde onderscheiding en nemen we dan als waarde <<>> dan is er geen verschil van het creatief product met het vectorproduct van de twee termen en met de disjunctie van de twee termen.

Het is deze relatie (die zowel creatief product, vectorproduct en disjunctie is) die aan de basis ligt van de veronderstelling van verhouding (het klassiek product van getallen) en het is dus deze relatie die verondersteld wordt in de klassieke wiskunde. We hebben dan ook gemotiveerd dat een relatie m/n in de wiskunde van getallen fundamenteler is dan m of n afzonderlijk (m/n is een equivalentieklasse). We moeten ook geen nieuw symbool kiezen voor die relatie omdat de veronderstelling niet betrekking heeft op de relatie maar op de aard van de betrokken termen, de soort entiteit die als eenheid gebruikt wordt.

Meer dan n en m hebben we niet nodig om een interval te modelleren en hetzelfde geldt als we hiermee een verhouding modelleren. Hebben n en m dezelfde waarde dan is n-m kleiner dan n+m. Het verschil n-m geeft het niveauverschil (metrische maat) tussen simultane punten (punten met allemaal dezelfde waarde). De som n+m geeft de duale afstand in een tralie met één onderscheiding meer, onderscheiding die niet wordt ingebouwd in de tralie. Dit is als volgt in te zien: hebben n en m dezelfde waarde dan is 2n-(n-m) niet anders dan n+m en wanneer n=m dan is het verschil nul en de som een verdubbeling (extra onderscheiding bovenop n). Beide modelleren geen verandering. In het tussengebied blijkt wat waargenomen wordt als processnelheid meetbaar te zijn met eigenwaarde de verhouding m/n. De verhouding verandert niet als beide getallen met een gemeenschappelijk getal vermenigvuldigd worden en het niveauverschil daarmee in een groter universum functioneert. Het maximum aantal gemeenschappelijke bits (namelijk m=n) wordt gevonden voor twee identieke aspecten. Het aantal n+m=2n=2m geeft dan het aantal bits in een universum met één onderscheiding meer (dat ons dan in staat stelt de twee identieke toch te onderscheiden indien we dat zouden willen). Die onderscheiding is de “laatst toegevoegde” in het geval van associativiteit. Het minimum aantal gemeenschappelijke bits (namelijk m=0) is voor twee welgevormde haakuitdrukkingen die elkaars inbedding zijn. Het maximum aantal gemeenschappelijke bits, zonder dat de aspecten identiek zijn, doet zich voor voor twee atomen.

Veronderstel nu dat n vast ligt. Neemt n-m af dan kunnen we dat interpreteren als een evolutie naar het centraal niveau, evolutie die gemodelleerd wordt door het toenemende vectorproduct van atomen (waarvan het aantal vastligt door de veronderstelling van vast liggende n). Als (n-m) afneemt, dan neemt (n+m) toe, als (n-m) toeneemt, neemt (n+m) af. Beide aantallen zijn dus gerelateerd door negatieve feedback.

We kunnen nu als tweede veronderstelling ook de volgende mogelijkheid beschouwen: als m stabiel blijft en n neemt toe dan neemt n+m toe en ook n-m neemt toe, en neemt n af dan neemt n+m af en ook n-m neemt af. Deze relatie herkennen we als positieve feedback. Zo kan interactie met de omgeving, bijvoorbeeld de dissipatie van energie in de omgeving, gemodelleerd worden (structuurverlies bijvoorbeeld door wrijving) of de toename van structuur in de omgeving (nieuwe entiteiten die ontstaan).

We merken nu op dat voor verhoudingen enkel de negatieve feedback zich voordoet. Stel dat n stabiel is dan geldt nog steeds dat als (n-m)/n afneemt, dat dan (n+m)/n toeneemt, als (n-m)/n toeneemt, dat dan (n+m)/n afneemt. Maar veronderstel nu dat m stabiel blijft, dan geldt ook dat als (n-m)/n afneemt, dat dan (n+m)/n toeneemt, als (n-m)/n toeneemt, dat dan (n+m)/n afneemt. Positieve feedback voor verhoudingen doet zich niet voor, voor verhoudingen moet het onderscheidingen universum niet groter of kleiner worden. Dat zien we bijvoorbeeld bij kinetische energie en potentiële energie bij een slinger en de invariant “energie” die het mogelijk maakt een verhouding te definiëren als fractie van een totale energie.

Merk op dat deze redenering werkt voor bits en dus het aantal atomen en dus het aantal niveaus en dit is nog wat anders dan onderscheidingen die eigenlijk aan de basis liggen van de klassieke hypothese maar waar niet over gesproken wordt in de klassieke modellen. Een evolutie naar het centraal niveau, ook in de klassieke hypothese, is een evolutie waarbij onderscheidingen verloren gaan. Bijvoorbeeld van <abcd>∼0111111111111111 naar <abcd><<a><b><c><d>>∼0111111111111110 naar <abc><<a><b><c>>∼0111111001111110 naar <ab><<a><b>>∼0110011001100110, naar <a><<a>>∼0000000000000000. Enkel in de eerste stap (waarbij de onderscheiding die verloren gaat de laatst toegevoegde onderscheiding is) is er een niveauverschil van 1 en dat wordt klassiek gemodelleerd.

Inherente grens

Het is duidelijk dat er verschillende mogelijkheden zijn voor de coëfficiënten van eenheden en dat we getalfuncties kunnen veronderstellen waarvan het product de vaste waarde 1 heeft, met andere woorden functies die elkaars invers zijn (als de coëfficiënten bepaald worden door de laatst toegevoegde onderscheiding is een invers zinvol). In het algemeen zijn we hiermee in staat een gedrag, een evolutie in de tijd te modelleren van een aspect “van h” (waarin dus een invariant, identiteit of entiteit h kan gevonden worden), evolutie die los staat van de structuur van h maar waarbij de grootte van het universum waarin h moet uitgedrukt worden de mogelijke grootte van de verhouding 1=c1•c2 zal bepalen. Noemen we dit grootste getal de limiet L, de maximale te kiezen afstand of intensiteit, dan zal gelden dat 1=L/L. De limiet kunnen we voorstellen als 1/(1-k) met 0<k<1 waarbij dan (1-k) verschillend moet zijn van nul. Dit geeft duidelijk één getal verschillend van nul.

De afstand tussen twee willekeurig gekozen punten in een tralie kan altijd met twee getallen uniek beschreven worden. Het ene getal geeft de maximale afstand in de eerste deeltralie, het tweede getal geeft de afstand nul (de minimale afstand) in de tweede deeltralie. Een derde punt zal zich in de ene deeltralie altijd tussen de extrema bevinden en in de andere deeltralie de maximale afstand hebben. Voor onbekende universa (de twee bitstrings die vergeleken worden zijn ongekend lang) is het altijd mogelijk om een maximale afstand te kiezen in één van de termen van het koppel (h1, h2) en dan de hypothese aan te nemen dat de andere afstand minimaal moet zijn voor beide referenties en dus maximaal voor een derde gemeten punt. Dit maximum is de limiet L van de waarneming die het vast gekozen universum mogelijk is. Alle andere mogelijke getallen, stel g, zullen dus kleiner zijn dan L, en zullen dus gelijk zijn aan een geheel aantal malen het kleinste getal 1/L, dus we schrijven g=g’/L of g’=gL. We kunnen dus schrijven dat c1=g’/L en c2=L/g’ of 1/c2=g’/L=c1. Dus c1 en 1/c2 zijn dezelfde fracties van de limiet L en de limiet is dus niet anders dan de schaal van een simultaneïteitsinterval in het getallendomein. We hebben daar aangetoond dat een verhouding (1-n)/(1+n) altijd te schrijven is als een product (1-k)(1+k). Er is dus geen wezenlijk verschil tussen een breuk en een product, beide zijn voorbeelden van hetzelfde patroon. Een schaal is altijd in een andere schaal te vertalen, ook enkel met twee getallen. Een voorbeeld is te geven met een getal k (en zijn reciproque k-1) zodanig dat k.k-1=1. Zo'n getal k is als volgt te vinden: Neem als k = (n+m)(n2-m2)-1/2 Dan is k-1= (n-m)(n2-m2)-1/2. Dit voldoet aan: {(n+m)(n2-m2)-1/2}{(n-m)(n2-m2)-1/2=1. Een speciaal voorbeeld hiervan zijn de getallen 1/2 en √5/2. De verhouding (1+√5)/2 heeft een naam gekregen, de Gulden Snede φ en we kunnen deze verhouding interpreteren.

Operationeel is de inherente grens dus goed gedefinieerd en kunnen we als volgt duiden: “nul” betekent geen verschil dat een verschil maakt, dus waarneembaar klein en daarenboven onwaarneembaar nog kleiner. Dus 1/L is een uitdrukking voor “nul” wanneer we een L kiezen die groot genoeg is (en dan waarneembaar groot en daarenboven onwaarneembaar nog groter is). Operationeel zien we dat de grens bereikt wordt als de mogelijkheid tot ordening wegvalt. Dat is niet meer en niet minder dan het enige axioma van het haakformalisme: iets wordt gekozen en is niet verschillend van iets anders dat enkel kan gebeuren.

Verhoudingen zijn dus gerelateerd met een inherente grens aan de intensiteiten die in de verhouding gerelateerd zijn met elkaar.

Ordening

Zolang er een ordening beschikbaar is kunnen we tellen. Ordening kunnen we als volgt met getallen modelleren.

Neem twee gehele positieve getallen: n en m. Dat zijn dus getallen met dezelfde eenheid, namelijk 1. Stel dat we voor n het getal 1 kiezen dan geeft m het geheel aantal maal n. Met twee gehele positieve getallen is er altijd een eenheid te berekenen en die kunnen we relateren aan <<>> of <>. We berekenen n+m en n-m en noemen deze twee (metrische) intervallen. In de eerste som is de ordening van geen belang, in de tweede som wel (m+n is niet anders dan n+m, maar m-n is iets anders dan n-m). De ordening verwijst naar de zin waarin het verschil (de richting, de metrische afstand) doorlopen wordt in een bepaalde tralie. Indien de plus zin overeenkomt met de conjunctie (naar <<>>), dan zal de min zin overeenkomen met de disjunctie (naar <>) en omgekeerd. De som n+m geeft een afstand in een tralie met één onderscheiding meer, bijvoorbeeld de laatst toegevoegde. Hebben n en m dezelfde (ervarings)waarde dan zal ofwel de zin naar <<>> zijn, ofwel naar <>. We berekenen nu (n+m)2-(n-m)2=4nm. We berekenen ook (n+m)2-(-n+m)2=4nm. Beide berekeningen geven dezelfde verhouding (getalproduct met een bepaalde waarde) als resultaat en nm is altijd positief en een geheel aantal maal dezelfde eenheid, eenheid die we kunnen kiezen. De ordening van de tweede som speelt dus geen rol meer in deze berekening. Als n en m gehele getallen zijn, dan is nm een geheel getal. Elk geheel getal is te schrijven als het product van twee priemgetallen. De vierkantswortel uit nm is mogelijk maar niet noodzakelijk commensurabel met nm (zoals 2½ niet commensurabel is met 2).

Commensurabiliteit

Het centraal axioma van het haakformalisme doet zich in de getallenwereld voor als het gegeven dat er twee soorten getallen bestaan: getallen waarvoor men kan kiezen en getallen die enkel kunnen gebeuren. Voor de getallen waarvoor men kan kiezen bestaat er een kleinste eenheid en die is als een verhouding uit te drukken en elk getal is een geheel veelvoud ervan. Voor getallen waarvoor men niet kan kiezen is er geen kleinste eenheid, voorbeelden hiervan zijn √2, π, … en andere irrationale getallen. Die getallen kunnen wel verondersteld worden en berekend worden (zoals de omtrek van een cirkel kan berekend worden) maar ze kunnen niet gekozen worden. Met een voorbeeld wordt dit duidelijk: we meten een lengte en noemen deze a, hiermee construeren we een vierkant en berekenen de diagonaal, deze is 21/2a of anders genoteerd: √(2a2). Maar we kunnen natuurlijk ook de lengte van de zo geconstrueerde diagonaal meten (en we kunnen dit effectief uitvoeren tot de grootste nauwkeurigheid die we wel aankunnen) en daarmee een nieuw vierkant maken en daar weer een diagonaal van berekenen, weer zal die diagonaal incommensurabel zijn met de gemeten lengte. Dit leidt tot waarnemingsparadoxen, maar enkel in een wereldbeeld dat niet open is voor “iets anders dan...”. Inderdaad is dit proces van meting van gehele getallen niet anders dan dat een bepaalde keuze altijd zal leiden tot ook iets anders dat niet kan gekozen worden.

Zolang we voor getallen (zowel voor n als voor m) enkel kwadraten gebruiken is er geen probleem met dat soort commensurabiliteit. Elk priemgetal is te schrijven als ofwel een som van kwadraten, ofwel een verschil van kwadraten, ofwel in beide vormen. Kwadraten zijn op een coherente manier te construeren in het haakformalisme: we hebben (sommen van) kwadraten de inwendige discriminatie genoemd. Dit resultaat is operationeel goed onderbouwd omdat er enkel een discriminerende beslissing (“is het in het ervaren hetzelfde of niet”) aan de basis van ligt. Dit is exact dezelfde veronderstelling die we nodig hebben om de afstand tussen twee punten in twee dimensies te karakteriseren (in de ene dimensie een maximale afstand, in de andere dimensie een minimale afstand). We kunnen dus altijd met kwadraten berekeningen maken en doen alsof we bij de meting hiervan de vierkantswortel gemeten hebben. We draaien hiermee de veronderstelling om dat we altijd een positief geheel getal meten; we doen dus berekeningen met eenheden en dan zeggen we dat die gebaseerd zijn op metingen die niet commensurabel zijn met de berekeningen. De werkelijkheid is duaal, daar kunnen we niet aan ontsnappen.

Zin van een verhouding

Een uitdrukking van het type (n0-n1)/(n0+n1) of x01/t01=x01/t10=-x10/t10=-x10/t01 is een verhouding van gehele getallen onafhankelijk van de eenheid (dus e waarin de meting zou uitgedrukt zijn) en dus wordt die eenheid dikwijls “vergeten”. Dat is niet zo onschuldig als men zou willen denken omdat (n0-n1) verwijst naar een afstand in een tralie en (n0+n1) verwijst naar een afstand in een tralie met een onderscheiding meer (bijvoorbeeld een laatst toegevoegde onderscheiding). De eenheid vergeten introduceert dus de veronderstelling dat in beide tralies de afstand in dezelfde eenheid te meten is en beide tralies dus commensurabel zijn, wat dus een bijkomende veronderstelling is die door het haakformalisme helder kan geconstrueerd worden als dat nuttig zou zijn. Het grote voordeel van deze constructie is dat we de vrijheid krijgen om de veronderstelling te maken of niet, de veronderstelling is immers niet meer impliciet. Het is duidelijk bijvoorbeeld dat enkel in een tralie met een laatst toegevoegde onderscheiding een rotatie kan gedefinieerd worden en dat rotaties onvermijdelijk een hoek, π en dus niet te kiezen getallen zullen introduceren. Bij de analyse van de binaire metriek in twee dimensies hebben we dit ook al vastgesteld. Dit is natuurlijk niet problematisch indien men er van uit gaat dat er nooit iets fundamenteels nieuws kan gebeuren en dus de werkelijkheid altijd benaderd kan gekend worden met metingen die gebruik maken van de vertrouwde onderscheidingen.

We tonen aan in het getallendomein dat de verhouding van het type (n0-n1)/(n0+n1) de meest algemene minimale veronderstelling is die als eenheid met invers kan functioneren voor gelijk welke operatie op getallen. Die verhouding moet immers verschillend zijn van 1 (en moet dus kunnen geschreven worden als 1±k, met k verschillend van nul want de afspraak dat “delen door nul niet kan toegelaten worden” drukt uit dat een telbare eenheid altijd moet blijven bestaan zelfs bij een ratio-meting, dus bij een meting wanneer een nul gedefinieerd is die daardoor enkel een evenwicht van intensiteiten kan modelleren).

Nu we (1) de grootte van de intervallen als gehele getallen kunnen modelleren die intensiteiten zijn van dezelfde eenheid, en (2) het fundamentele verschil tussen de rij x en de rij t ook als volgt in gehele getallen uit te drukken is: x01=-x10=(n0-n1) en t01=t10=(n0+n1), dan volgt hieruit onmiddellijk dat sommen van dezelfde soort zijn (dezelfde eenheid hebben) en dus zonder problemen ééndimensionaal kunnen opgeteld worden. We construeren nu: t201- x201=(n0+n1)2-(n0-n1)2=4n0n1 en t210- x210=(n0+n1)2-(-n0+n1)2=4n0n1. Deze bewerking levert dezelfde intensiteit op die een product (dus verhouding, dus schaal) is. Deze bewerking op gehele getallen is dus onafhankelijk van de zin waarin het interval doorlopen wordt. Als we nu 4n0n1 een eigen naam geven: τ201, dan geldt τ201= τ210. Dat we 4n0n1=τ201 gesteld hebben is een bijkomende veronderstelling en is gemotiveerd door inzichten rond commensurabiliteit: een getal dat een kwadraat is, is “iets anders dan” het getal dat gekwadrateerd wordt en wanneer men een gelijkheid introduceert dan is dat een bijkomende beperking.

Wanneer we nu v01 definiëren als x01/t01 dan volgt dat v01=(n0-n1)/(n0+n1) dus, met allemaal klassieke berekeningen:

  1. Een verhouding (m-n)/(m+n) is altijd te schrijven als een (1-k12) voor een k12=2n/(m+n), en dus een product (1-k1)(1+k1)

  2. Een verhouding (n-m)/(m+n) is altijd te schrijven als een (1-k22) voor een k22=2m/(m+n), en dus een product (1-k2)(1+k2)

Dit is zeer opvallend want we zijn enkel met getallen bezig, zonder ze te interpreteren, we hebben enkel suggestieve symbolen gebruikt. Dit betekent niet meer en niet minder dat we met behulp van het patroon van de Lorentz transformatie die we toepassen op deze geconstrueerde intervallen en hun verhoudingen de speciale relativiteitstheorie in het haakformalisme kunnen gaan modelleren, met alle effecten die men toeschrijft aan coördinatenstelsels, en dat zonder dat we coördinatenstelsels moeten veronderstellen, we veronderstellen enkel goed gedefinieerde getallen en hun verhouding. Dit is natuurlijk problematisch indien men de inzichten vergeet die hier nu heel expliciet geformuleerd werden (bijvoorbeeld: nergens moet iets verondersteld worden over de invariantie en extremiteit van de lichtsnelheid, dit is slechts één van de mogelijke concrete invullingen van een schaal en de interpretatie van t en τ in de benadering van het haakformalisme verschilt van de interpretatie in de benadering van de speciale relativiteitstheorie: in het haakformalisme zijn beide getallen geen “tijdsverschil”, en tijdsverschillen moeten we dan ook afzonderlijk expliciet modelleren). Het is daarom nuttig om nog eens de veronderstellingen te expliciteren.