De studie van de tralie van relevantie laat toe om, naar analogie met de vectorvermenigvuldiging, een nieuwe relatie te definiëren: de relevantie transformatie of discriminatie met symbool ◊ en zijn orthogonaal [◊]. Deze kan gedefinieerd worden door het al dan niet overeenkomen van het don't care of do care karakter van de bits. Bijvoorbeeld: (a×b)◊([[a]×b]) is (.xxx)◊(.x..) is (..xx) is b, symbool dat staat voor de tralie van de vier gecollapste punten (++xx), (+-xx), (-+xx), (--xx). Dit komt overeen met [[a×b]×[[a]×b]]×[a×b×[[[a]×b]]]. Zijn orthogonaal is dan [b] of dus (xx..).

We staan nu voor de keuze welk symbool we gebruiken als de bits overeenkomen of niet, ofwel “.” ofwel “x”. We laten ons hierbij leiden door de semantiek van het begrip “onderscheiden” of “discrimineren” op het niveau van bitstrings. We kiezen er dus voor om een “x” te gebruiken als de bits zich niet onderscheiden (x heeft de eigenschappen van een getal-nul, en elke bitstring kan aangevuld worden met een aantal x zonder zijn betekenis te veranderen, enkel de grootte van het universum verandert), en een “.” als ze zich wel onderscheiden. Dus we maken de tegenovergestelde keuze van in het voorbeeld hierboven. We kiezen dus voor (.xxx)◊(.x..) is (xx..). Dus maken we ook een tegenovergestelde keuze dan bij de definitie van x als don't care. Dus gelijke bits resulteren in een “x” en ongelijke in een “.”. Als we dit orthogonaliseren resulteert dit in een “.” voor gelijke bits en een “x” voor ongelijke bits. De discriminatie van identieke bitstrings is dus bijvoorbeeld (.xxx)◊(.xxx) en dit is (xxxx).

De discriminatie genereert dus een triade, zoals ook het vectorproduct. Deze relatie is commutatief en associatief zoals ook het vectorproduct. De string(xxxx)wordt hier dus voorgesteld door [].

De discriminatie met [] genereert dus alle basisvectoren die een waarde toegewezen kregen, een waarde die verder niet bekend is en die dus een volledige tralie modelleert, tralie die te construeren is met enkel de “.” bits. Zijn er n onbetekende bits, dan heeft de tralie 2ⁿ punten en is dus een deeltralie van grotere tralie. Dus voor een drie onderscheidingen universum genereert de discriminatie met [] de 7 basisvectoren a◊[] ∼(.x.x.x.x); b◊[] ∼(..xx..xx); c◊[] ∼(....xxxx); a◊b∼(x..xx..x); a◊c∼(x.x..x.x); b◊c∼(xx....xx); a◊b◊c∼(.xx.x..x). Uiteraard kunnen we dat aanvullen met hun orthogonaal, bijvoorbeeld [a]◊[] ∼(x.x.x.x.); enz... Aangezien het teken van de bits geen rol meer speelt zal dit leiden tot redundante relaties. We kunnen ons het resultaat van de discriminatie met [] dus voorstellen als een gecollapste haakuitdrukking maar met een waarde die niet relevant is.

Aangezien de x in de string nu werkelijk staat voor een getal-nul, zouden we elke onbetekende bit ook een getal betekenis kunnen geven en we kunnen ze dan sommeren. Dit zal, ongeacht de waarde van de getallen, leiden tot een patroon. Om dit patroon te ontdekken moeten we dus een nieuwe bewerking uitvoeren: we gaan veronderstellen dat de bits van twee bitstrings dezelfde waarde hebben (ofwel +1, ofwel -1), we gaan de bits op dezelfde positie met elkaar vermenigvuldigen en deze getallen optellen. Dit levert een getal op dat we de “inwendige discriminatie” kunnen noemen. De inwendige discriminatie van a met zichzelf noteren we als <<a|a>>. Dit is een geheel getal en geen structuur. De inwendige discriminatie van a met b noteren we als <<a|b>> en dit getal is niet anders dan de inwendige discriminatie van b met a. We gebruiken het begrip “inwendig” om aan te geven dat dit getal afhankelijk is van de grootte van het universum waarin de bitstring uitgedrukt wordt. De symbolische voorstelling gelijkt op de braket notatie van Dirac, dit is niet toevallig aangezien we ook een model van het haakformulisme kunnen ontwikkelen met kolomvectoren en rijvectoren en daar dan een inwendig product kunnen definiëren.

Dus bijvoorbeeld om de inwendige discriminatie te berekenen van a in een twee onderscheidingen universum moeten we de bits op dezelfde positie van (.x.x)en (.x.x) individueel vermenigvuldigen en dan optellen en dit levert de som van de kwadraten van de onbetekende bits op. We kunnen dit noteren als p²₄+p²₂ waarbij de positie p_i geteld wordt vanaf rechts en de meest rechtse positie als p₁ genoteerd wordt. Merk op dat dit goed reflecteert dat het teken van de positie hier geen rol speelt (op die positie staat inderdaad een onbetekende bit). Zo kunnen we gelijk welke combinatie berekenen aangezien enkel de onbetekende bits een invloed zullen hebben op het resulterende getal (en niet de x-bits). De enige beslissing die we moeten nemen is dat twee bitstrings hun posities moeten delen.

We berekenen nu een aantal voorbeelden. Alle getallen in het rechter lid zijn positieve gehele getallen.

<<<<>>|<<>>>>=p²₄+p²₃+p²₂+p²₁

<<a|a>>=p²₄+p²₂

<<b|b>>=p²₄+p²₃

<<a|b>>=p²₄

<<a◊b|a◊b>>=p²₃+p²₂

We zien het volgende onvermijdelijke patroon in de gegenereerde getallen opduiken: 2<<a|b>>=<<a|a>> + <<b|b>> – <<a◊b|a◊b>>. Het linker lid herkennen we als een dubbel kwadraat. Dit is een heel krachtig resultaat omdat het aangeeft dat we op die manier met inwendige discriminatie alle priemgetallen kunnen genereren en dat dus al de patronen van de gehele getallen zich als relaties tussen intensiteiten kunnen manifesteren. Inderdaad, we tonen aan dat de priemgetallen allemaal te schrijven zijn als een som van kwadraten of als een som of verschil van een kwadraat en een dubbel kwadraat. Dit resultaat is operationeel goed onderbouwd omdat er enkel een discriminerende beslissing (“is het in het ervaren hetzelfde of niet”) aan de basis van ligt.

Dit is coherent met de getalnul aangezien het volgende geldt: 2<<a|[]>>=<<a|a>> + <<[]|[]>> – <<a◊[]|a◊[]>> want <<a|[]>> is nul en <<[]|[]>> is nul en <<a|a>> is niet onderscheiden van <<a◊[]|a◊[]>>.

Het is dus mogelijk om een positief geheel getal te vinden, in het voorbeeld is dit <<a|b>>=p²₄, dat de intensiteit geeft van één bit, overeenkomend met de intensiteit van één ervaren atoom (dit kan zowel een AND-atoom als een OR-atoom zijn) in een bepaald onderscheidingen universum. Want de getallen die zo ontstaan zullen ook de grootte van het universum reflecteren. Inderdaad indien de inwendige discriminatie van a met zichzelf in twee onderscheidingen gegeven wordt door <<a|a>>=p²₄+p²₂, dan zal de inwendige discriminatie van a met zichzelf in drie onderscheidingen gegeven wordt door <<a|a>>=p²₈+p²₆+p²₄+p²₂.

Ook in een drie onderscheidingen universum kunnen we een uitdrukking vinden voor de intensiteit van één bit en kunnen we die uitdrukken als een som van de inwendige discriminatie van (eventueel een deel van) de zeven basisvectoren a, b, c, a◊b, a◊c, b◊c, a◊b◊c. Zo zullen er verschillende sommen kunnen gemaakt worden die dezelfde intensiteit van één bit kunnen uitdrukken. We illustreren dat met een voorbeeld.

We drukken in drie onderscheidingen uit:

a◊b∼(x..xx..x)

a◊c∼(x.x..x.x)

b◊c∼(xx....xx)

Dus

<<a|a◊b>>∼<<(.x.x.x.x)|(x..xx..x)>>=p²₆+p²₂

<<b|a◊b>>∼<<(..xx..xx)|(x..xx..x)>>=p²₇+p²₃

<<c|a◊b>>∼<<(....xxxx)|(x..xx..x)>>=p²₆+p²₅

<<a|a◊c>>∼<<(.x.x.x.x)|(x.x..x.x)>>=p²₄+p²₂

<<b|a◊c>>∼<<(..xx..xx)|(x.x..x.x)>>=p²₇+p²₄

<<c|a◊c>>∼<<(....xxxx)|(x.x..x.x)>>=p²₇+p²₅

<<a|b◊c>>∼<<(.x.x.x.x)|(xx....xx)>>=p²₆+p²₄

<<b|b◊c>>∼<<(..xx..xx)|(xx....xx)>>=p²₄+p²₃

<<c|b◊c>>∼<<(....xxxx)|(xx....xx)>>=p²₆+p²₅

Dit zijn 9 uitdrukkingen voor maar 6 onbekenden omdat alle vormen met type p◊q een don't care hebben op positie 8 en positie 1.

Als we nu kijken naar a◊b◊c∼(.xx.x..x)dan is duidelijk dat we ook positie 8 kunnen bereiken en dus bereiken we ook positie 1 door een van de onderscheidingen van relevantie te orthogonaliseren, bijvoorbeeld a◊b◊[c]∼(x..x.xx.) en dan de interne discriminatie te berekenen met een orthogonaal van de oorspronkelijke onderscheidingen van relevantie.

Dus positie 8 en positie 1 worden bijvoorbeeld op de volgende manieren bereikt:

Voor positie 8

<<a|a◊b◊c>>∼<<(.x.x.x.x)|(.xx.x..x)>>=p²₈+p²₂

<<b|a◊b◊c>>∼<<(..xx..xx)|(.xx.x..x)>>=p²₈+p²₃

<<c|a◊b◊c>>∼<<(....xxxx)|(.xx.x..x)>>=p²₈+p²₅

Voor positie 1

<<[a]|a◊b◊[c]>>∼<<(x.x.x.x.)|(x..x.xx.)>>=p²₇+p²₁

<<[b]|a◊b◊[c]>>∼<<(xx..xx..)|(x..x.xx.))>>=p²₆+p²₁

<<[c]|a◊b◊[c]>>∼<<(xxxx....)|(x..x.xx.)>>=p²₃+p²₁

Indien we dit willen kunnen alle positieve gehele getallen die zo bekomen worden genormaliseerd worden door ze te delen door het maximale getal van het beschouwde universum, namelijk de inwendige discriminatie van de waarde <<>>.