De structuur van de werkelijkheid hebben we formeel gemodelleerd door een modulaire afbeelding te gebruiken. Zo begrijpen we de binaire benadering van het haakformalisme als een modulo2 benadering, de vectorvertaling van het haakformalisme als een modulo3 benadering, de getallenvertaling als een modulo4 benadering. Vanaf de modulo4 benadering moeten er onvermijdelijk getallen gebruikt worden, en dus door de modulo benadering verder te zetten zijn er misschien verdere inzichten in de structuur van de getallen mee te bekomen.

We baseren ons hiervoor terug op een reeds bekende vaststelling: het aantal onderscheidingen in een universum is even of oneven. Het aantal atomen is dus een kwadraat of een dubbel kwadraat, de helft daarvan, namelijk het aantal getelde atoompatronen, is dus eveneens een kwadraat of een dubbel kwadraat. Een mogelijke som van atoompatronen is dus a²+b² of a²+2b². Beide kunnen een priemgetal zijn. Een mogelijk verschil van een aantal atoompatronen is dus a²-b² of a²-2b² . De vorm a²-b² kan enkel een priemgetal zijn als (a-b)=1 (want a²-b²=(a+b)(a-b) en (a-b)=1 is de enige mogelijkheid om een priemgetal te genereren). De vorm a²-2b² kan een priemgetal zijn.

Nu heeft Coppitters ontdekt (Coppitters, De universele getaltheorie, Wortegem-Petegem, uitgegeven in eigen beheer 1998) dat elk priemgetal door minstens een (voor sommige) en enkel een (voor andere) als een van de drie volgende mogelijke vormen van de som van het kwadraat van andere priemgetallen kan geschreven worden: a²+b² of a²+2b² of a²-2b². Coppitters bewijst dit met behulp van de modulaire vermenigvuldiging, en dit is juist de eis die we afgeleid hebben in de modulo4 benadering om van een soort te kunnen spreken. In de wiskunde wordt over modulaire vormen gesproken wanneer een bepaalde structuur of patroon behouden blijft: de vorm (structuur) van de componenten van een product blijft behouden in het resultaat. Dus (vorm).(vorm) = (vorm). Het is juist dit dat aanleiding kan geven tot een modulo8 benadering.

We beschouwen dus drie mogelijke modulaire vermenigvuldigingen, A, B en C (de door Coppitters gebruikte naam):

A. Indien (a²+2b²)(c²+2d²) = x² + 2y² geldt

Oplossing 1: x = ac - 2bd en y = bc + ad

Oplossing 2: x = ac + 2bd en y = bc - ad

Een product is op twee manieren te schrijven als een som van een kwadraat en een dubbel kwadraat

B. Indien (a²+b²)(c²+d²) = x² + y² geldt

Oplossing 1: x = ac - bd en y = bc + ad

Oplossing 2: x = ac + bd en y = bc - ad

Er zijn twee oplossingen, dus een product is op twee manieren te schrijven als een som van twee kwadraten

C. Indien (a²-2b²)(c²-2d²) = x² - 2y² geldt

Oplossing 1: x = ac - 2bd en y = ad - bc

Oplossing 2: x = ac + 2bd en y = ad + bc

Er zijn twee oplossingen, dus een product is op twee manieren te schrijven als een verschil van een kwadraat en een dubbel kwadraat

Nu bewijst Coppitters:

Alle priemgetallen zijn te schrijven als ofwel a² + b², ofwel a² + 2b², ofwel a² - 2b², ofwel in de drie vormen a² + b² zowel als a² + 2b² zowel als a² - 2b²

Coppitters levert het bewijs langs het onderverdelen van de priemgetallen in de oneven restklassen modulo8 (uiteraard kunnen de even restklassen geen priemgetallen bevatten) en op die manier is het zeker dat wat hij vond geldt voor alle priemgetallen.

Het priemgetal 2 neemt terug een speciale plaats in, het kan wel als (a²+b²) geschreven worden, wordt dan voorgesteld door het koppel (1, 1) maar behoort niet tot een oneven restklasse.

Hieronder is de samenvattende tabel van de a en b die aan de vormen voldoen voor alle priemgetallen p kleiner dan 200.

De vorm die als a² + 2b² zowel als a² + b² als a² – 2b² te schrijven is noteert hij als ABC. De groep ABC wordt gevormd door priemgetallen uit de restklasse /1. Die priemgetallen realiseren dus een disjunctie van drie patronen.

De vorm die als a² + 2b² te schrijven is noteert hij als A. De groep A wordt gevormd door priemgetallen uit de restklasse /3

De vorm die als a² + b² te schrijven is noteert hij als B. De groep B wordt gevormd door priemgetallen uit de restklasse /5

De vorm die als a² – 2b² te schrijven is noteert hij als C. De groep C wordt gevormd door priemgetallen uit de restklasse /7

Er zijn in de tabel 45 priemgetallen. Er zijn 46 priemgetallen kleiner dan 200. Met priemgetal 2, dat in de oneven restklassen geen plaats heeft, zijn ze er dus allemaal. Merk op dat andermaal enkel het getal 2 zich afscheidt van al de rest.

Wat valt nog op? In de groep ABC en in B is slechts één van de elementen van de koppels even. In de groep A en in C is géén van de elementen van de koppels even. In de groep B die ook behoort tot ABC is één van de elementen van de koppels een viervoud.

Coppitters leidt dan een nieuwe benadering af van de structuur van de getallen en bewijst dat modulo4p met p een priemgetal telkens patronen toont, en in het hier aangehaalde voorbeeld is p dus het kleinste priemgetal verschillend van 1. Terloops stipt hij ook aan dat dit patroon ook geldt voor p=1, en dus modulo4. Coppitters bewijst hiermee dan de laatste stelling van Fermat (xⁿ+yⁿ=zⁿ kan niet voor x, y, z natuurlijke getallen en n groter dan 2).

Modulo8 en het één onderscheiding universum

Merk op: de onderzochte patronen zijn patronen die gegenereerd worden door (de idempotentie van) het creatief product. Het creatief product als som van vectorproducten is dus de basis voor een nieuwe getallenleer die door Coppitters ontdekt werd. Inderdaad, de entiteit (de eenheid) die geteld wordt wordt formeel voorgesteld als het creatief product <ℵ<p>>•<<ℵ><q>> die de eenheid is van de entiteit die geteld wordt, en aangezien zowel ℵ, p als q dezelfde ervaringswaarde hebben die niet gekend is staat hier (+-1)² of dus, als variabele zonder waarde, x² want enkel de XOR die niet verschillend is van OR kan als het product van getallen beschouwd worden (de componenten van dat product, dus de atomen <ℵ<p>> en <<ℵ><q>> kunnen enkel als een som voorgesteld worden, als product komt enkel een product met <<>> in aanmerking). Wat is dus die idempotente eenheid 1²=1? De eenheid is een vormgegeven of modulair gegeven, waarbij een tralie gecodeerd wordt waarin men geen toegang heeft (de opspannende onderscheidingen zijn niet beschikbaar om te tellen). Dan moet dus gelden: (vorm)²=(vorm) of (vorm).(vorm) = (vorm).

De modulo8 benadering is ook de eerste benadering met vier elementen die een viergroep van Klein genereert voor de klassieke getalvermenigvuldiging. Deze viergroep heeft drie subgroepen (die geen viergroep van Klein zijn), namelijk (/1, /3, /5), (/1, /3, /7), (/1, /5, /7), wanneer andermaal met het getal 2 geen rekening gehouden wordt.

De viergroep van Klein is een gevolg van de structuur van het één onderscheiding universum. Het is dus de structuur van het één onderscheiding universum dat aan de basis ligt van alle priemgetallen. Die ene onderscheiding hebben we ℵ genoemd.