Invarianten zullen we modelleren als relevante elementen van de werkelijkheid die echter irrelevant zijn voor een bepaalde transformatie van de structuur van de werkelijkheid. De structuur (een tralie) herkennen we aan de simultaneïteit tussen elementen. Een invariant mag dus op deze structuur geen invloed hebben.

Dit wordt onmiddellijk duidelijk met behulp van de volgende tralie met a als supremum en <> als infimum.

De invariant die geen invloed heeft op de tralie structuur is a. De tralie is namelijk de disjunctie van a met de volgende tralie, waarmee we aantonen dat de invariant geen invloed heeft op de structuur; als we b op een willekeurige manier zouden transformeren dan heeft dit geen impact op a.

De structuur die transformeert is de structuur van het één onderscheiding universum en is de onderliggende structuur van de viergroep van Klein.

De structuur is dus niet anders dan

Een transformatie van b, bijvoorbeeld door een creatief product met c, zal door de nevenschikking met a niet beïnvloed worden.

Classificatie van invarianten

In het twee onderscheidingen universum zijn er zes viergroepen in de onderscheiding a en <> die gegenereerd worden door de transformatie:

De eerste drie genereren een tralie met een supremum en infimum, de laatste drie genereren geen tralie.

De tralie en de invariant van eerste voorbeeld is hoger uitgetekend.

Het tweede voorbeeld wordt gegeven door de tralie <>, a <<a><b>>, <a>b.

Hier is de invariant <<a><b>> en de tralie is de disjunctie van <<a><b>> met de volgende tralie

Merk op dat de twee centrale punten ongewijzigd zijn.

Het derde voorbeeld wordt gegeven door de tralie <>, a <a><b>, <<a>b>.

Hier is de invariant <<a>b> en de tralie is de disjunctie van <<a>b> met de volgende tralie

Merk op dat de twee centrale punten ongewijzigd zijn.

De drie overblijvende mogelijkheden genereren geen traliestructuur en kennen dus ook geen invarianten:

Er is dus maar één mogelijkheid om een willekeurige invariantie te modelleren met een één onderscheiding universum, namelijk de tralie met <>, ab, <a>b en a, aangezien enkel dan de punten van de genererende triade verschillend zijn van elkaar. We hebben hiermee een invariant voor de structuur van een één onderscheiding universum gedefinieerd als een element waarvan de disjunctie met alle elementen van de structuur deze structuur niet verandert. De niet veranderende structuur is impliciet gegeven door de viergroep van Klein.

Dualiteit

De dualiteit van disjunctie en conjunctie wordt onmiddellijk duidelijk met behulp van de volgende tralie met <<>> als supremum en <a> als infimum.

De invariant die geen invloed heeft op de tralie structuur is <a>, maar dan uiteraard voor de conjunctie operatie. De tralie is namelijk de conjunctie van <a> met de volgende tralie, waarmee we aantonen dat de invariant geen invloed heeft op de structuur; als we b op een willekeurige manier zouden transformeren dan heeft dit geen impact op a.

De structuur die transformeert is inderdaad weer dezelfde structuur van het één onderscheiding universum en is de onderliggende structuur van dezelfde viergroep van Klein.

Gevolg

Aangezien in de klassieke wetenschap de relatie van conjunctie minder problematisch is dan de relatie van disjunctie zouden we een invariant element kunnen definiëren als het element dat in conjunctie met een tralie op die tralie geen invloed heeft. Operationeel definiëren we dat laatste dat we op elk moment een waarneembare eigenschap kunnen toevoegen (conjunctie) zonder een bepaalde structuur te veranderen. In volledige dualiteit definiëren we dan dat we op elk moment de keuzevrijheid (disjunctie) hebben tussen de invariant en de structuur.

Uiteindelijk kan elke tralie “vermenigvuldigd” worden met eenzelfde onderscheiding en dit kan vectorproduct of nevenschikking zijn. Is het een vectorproduct dan roteert men elk standpunt in een ander standpunt, is het een nevenschikking dan modelleert men een invariant.

Bijvoorbeeld: de vier punten in één onderscheiding zijn <<>>, a, <a>, <>. Een rotatie met <a<b>><<a>b> maakt hiervan <a<b>><<a>b>, b, <b>, <<a<b>><<a>b>>. De rotatie brengt de vier punten op zelfde niveau in een twee onderscheidingen universum. De voorwaarde voor de rotatie naar een één onderscheiding tralie is <a<b>><<a>b>↔<<>>.

Voorbeeld

Het associatief creatief product genereert een invers, rotatie en reflectie in een één onderscheiding universum. De structuur die hierdoor gegenereerd wordt en die dan dynamiek in de tijd kan vertonen is de structuur van het één onderscheiding universum in de toegevoegde onderscheiding. We kunnen nu de Klein viergroep construeren met de binaire samenstellingen van vier symbolen, 1, v, h en o, waarbij de samenstelling de opeenvolging is van transformaties in de tijd die door de symbolen weergegeven worden.

In 2D, met 1, v is verticale reflectie, h is horizontale reflectie, o is puntspiegeling.

In 3D met 1, v is rotatie over 180° rond z, h is reflectie tov het xy vlak, o is puntspiegeling.

In 3D met 1, v is rotatie over 180° rond x, h is rotatie over 180° rond y, o is rotatie over 180° rond z.

De invariant is hier de entiteit (met eigenschappen als hoeveelheid deeltjes, vorm, massa, impuls, impulsmoment, zwaartepunt, veel andere aspecten, …) dat de transformaties in de tijd meemaakt, de structuur is de structuur van de positie van de entiteit in de ruimte, waarbij we “ruimte” begrijpen als de relaties tussen mogelijke posities waar een entiteit kan waargenomen worden.