Te bewijzen

De transformatie vormt een viergroep van Klein

Bewijs:

We leveren het bewijs met een willekeurig voorbeeld van drie punten (een triade) die met elkaar gerelateerd zijn door een transformatie:

• a↔ab is niet verschillend van de haakuitdrukking a<b>

• a↔a<b> is niet verschillend van de haakuitdrukking ab

• ab↔a<b> is niet verschillend van de haakuitdrukking a

Dit is eenvoudig vast te stellen door de transformatie in een welgevormde haakuitdrukking neer te schrijven en te reduceren. Inderdaad zal een transformatie van twee punten altijd een uniek derde punt bepalen.

We merken nu op dat elk van deze punten niet verschillend is van hun transformatie met <>, waarbij we overgaan van een potentiële tralie naar een gecollapste tralie.

Met deze gegevens kunnen we dus een Cayley tabel construeren voor de vier punten betrokken bij de transformatie en elke rij en elke kolom vermeldt deze punten slechts éénmaal.

Deze tabel is het bewijs dat de triade met <> een gesloten structuur vormt: de viergroep van Klein. De viergroep van Klein wordt immers gedefinieerd als de structuur met I²=J²=(IJ)²=1 (of alternatief door (IJ)=K te stellen: I²=J²=K²=1), met als klassiek voorbeeld: voor I de rotatie over π rond de ruimtelijke x-as, voor J de rotatie over π rond de ruimtelijke y-as, voor K de rotatie over π rond de ruimtelijke z-as.

QED

Een volledig equivalente tabel wordt daarenboven gegeven door de inbedding van alle punten, waarmee we nog eens de fundamentele dualiteit in het haakformalisme demonstreren.

De Cayley tabel geeft dus een overzicht van de structuur die men zou kunnen toekennen aan de waarde <> of aan de waarde <<>> door een keuze van twee welgevormde haakuitdrukkingen waartussen men transformeert.

In het twee onderscheidingen universum zijn er zes viergroepen in de onderscheiding a en <>:

Noteer dat ook met één onderscheiding één viergroep van Klein gevormd wordt