Elke welgevormde haakuitdrukking kan beschouwd worden als opgebouwd vanuit <> en <<>> door toevoeging van onderscheidingen. Dit is duidelijk te volgen door tabellen op te bouwen. Uiteindelijk kan men twee uitdrukkingen bekomen die zich als patroon niet onderscheiden van elkaar omdat ze hetzelfde patroon op een andere manier coderen. Ze zijn dus gebaseerd op evenveel onderscheidingen, maar de route die men hiervoor gevolgd heeft kan verschillend zijn en gebaseerd zijn op de ordening van de toevoeging van de onderscheidingen. Zo is bijvoorbeeld <c<<a><b>>> niet “wezenlijk” verschillend van <a<<b><c>>, beide hebben drie onderscheidingen nodig en door omwisselen van het symbool a en het symbool c zijn ze in elkaar te vertalen. De volgorde van toevoeging zou in het eerste geval a, b, c kunnen zijn en in het tweede geval c, b, a. Het patroon, waar ze een notering voor zijn, is in beide gevallen identiek. Dit betekent dat we hiermee een stap verder zetten in de abstractie. Bij de opbouw van de tabellen hebben we bijvoorbeeld voor a hetzelfde patroon gebruikt in alle universa (hoe groot het universum is heeft geen invloed op het patroon voor a), nu leren we om voor een welgevormde haakuitdrukking te kijken naar het patroon van haken in plaats van de gebruikte symbolen, zoals met het voorbeeld: we kijken naar <c<<a><b>>> en begrijpen dat dit niet wezenlijk verschillend is van <a<<b><c>>, beide welgevormde haakuitdrukkingen zijn van dezelfde soort maar met andere onderscheidingen uitgedrukt. En als we de drie onderscheidingen dezelfde rol laten spelen kunnen we ze vervangen door dezelfde notering, en dan zullen we vaststellen dat het patroon een punt wordt uit het één onderscheiding universum. Bijvoorbeeld: <u<<u><u>>> is niet anders dan <u>.
In de praktijk zullen we dus altijd onderscheidingen op een geordende manier toevoegen en achteraf zouden we kunnen beslissen om sommige onderscheidingen niet meer als verschillend van elkaar te gaan onderscheiden. De ordening is een gevolg van de niet-commutativiteit van het creatief product en drukt het enige axioma uit: er zal ook altijd iets anders (een nieuwe mogelijke onderscheiding) gebeuren in de actie.
Voor een bepaalde haakuitdrukking zal er dus altijd een laatst (ordening!) toegevoegde onderscheiding kunnen gevonden worden. Dit laatste begrip is zo belangrijk dat we er een specifiek symbool zullen voor gebruiken: ℵ, het Hebreeuwse symbool voor alef, verwant aan de latijnse a en de griekse α.
Elke welgevormde haakuitdrukking kan dan, op basis van x en y uit een lager universum, door het creatief product <ℵ<x>><<ℵ><y>> weergegeven worden. Deze uitdrukking onderscheidt zich niet van drie andere welgevormde haakuitdrukkingen: <ℵ<x>>•<<ℵ><y>>; <<ℵx><<ℵ>y>> en <<ℵx>•<<ℵ>y>>. Het creatief product met ℵ noteren we ook als (x⊗y)ℵ en dit onderscheidt zich dus niet van <(<x>⊗<y>)ℵ>. We merken op dat <ℵ<x>><<ℵ><x>>=(x⊗x)ℵ en dit is niet anders dan x. Dit kan niet anders geïnterpreteerd worden dan dat de laatst toegevoegde onderscheiding het universum bepaalt waarin x uitgedrukt wordt en hoeveel maal het patroon van x in dat universum moet herhaald worden. Men kan zich altijd voorstellen dat een welgevormde haakuitdrukking functioneert in een universum dat door meer onderscheidingen opgespannen wordt dan strikt noodzakelijk om x op te spannen, en toch kan x in dat universum uitgedrukt worden. Hetzelfde geldt natuurlijk voor y, zodanig dat ℵ ook kan geïnterpreteerd worden als de onderscheiding die er voor zorgt dat x en y in één universum kunnen functioneren, en dus kan geïnterpreteerd worden als datgene dat ons in staat stelt een eenheid te ervaren en toch iets anders te laten gebeuren. Hiermee krijgen we in het haakformalisme opnieuw een andere getrouwe modellering van het enige axioma en dit onderstreept het belang van ℵ.
We gaan nu wat dieper in op het gebruikte concept “laatst”. Het is een aspect dat in het taalgebruik van het tijdsdomein ontstaan is en dat daardoor impliciet verwijst naar tijd. We moeten proberen dat in zijn abstractie te zien en voor ons verwijst “laatst” dus naar elkaar uitsluitende toestanden. Hoewel we ℵ een onderscheiding noemen, is de enige eis die we stellen dat het een welgevormde haakuitdrukking is in het grootst mogelijke universum. In een gekend universum zal het hoogste vectorproduct altijd hieraan voldoen. Dus in drie onderscheidingen kunnen we de laatst toegevoegde onderscheiding voor de eenvoud uitdrukken als a•b•c maar op centraal niveau en alle oneven niveaus zijn nog andere punten te vinden die de drie onderscheidingen nodig hebben om uitgedrukt te kunnen worden, en een extensieve lijst hiervoor is op te maken, wat we uiteraard voor elk universum zouden kunnen doen. We kunnen dan ook inzien dat elk punt op een oneven niveau in de tralie, hoe groot de tralie ook zou zijn, ℵ nodig heeft om uitgedrukt te kunnen worden: de tralie is immers op een fractaal manier gebouwd (onderscheidingen tralies zijn in elkaar vernest). Dat betekent in de praktijk dat elke welgevormde haakuitdrukking die ℵ nodig heeft om uitgedrukt te kunnen worden een buur zal zijn van zowel een ruimere welgevormde haakuitdrukking die ℵ niet nodig heeft om uitgedrukt te kunnen worden als een fijnere welgevormde haakuitdrukking die ℵ niet nodig heeft om uitgedrukt te kunnen worden.
Deze ℵ is geen a priori gegeven maar blijkt uit de onmogelijkheid van een agens in zijn context om de conjunctie van een welgevormde haakuitdrukking met een andere welgevormde haakuitdrukking te ervaren. Het agens ervaart altijd iets, dus ofwel de ene, ofwel de andere conjunctie. Het agens ervaart dus ofwel <ℵ<x>> ofwel <<ℵ><y>> (en dit is een woordelijke uitdrukking van de exclusieve disjunctie <ℵ<x>>•<<ℵ><y>>) en dus ook de disjunctie <<ℵx><<ℵ>y>>, in woorden <<ℵx> of <<ℵ>y>>. We kunnen ons ℵ voorstellen, maar als we ℵ een waarde geven (elke agens ervaart nu altijd iets) is deze ofwel niet te onderscheiden van <>, ofwel niet te onderscheiden van <<>>. Dan splitst het opgespannen universum met ℵ in een universum y in het ene geval en x in het andere geval. Dus, als de laatst toegevoegde onderscheiding een waarde krijgt dan kunnen x en y niet anders zijn dan elkaar uitsluitende toestanden van één en hetzelfde universum.
Om duidelijk te maken hoe diepgaand dit inzicht is zullen we drie vormen onderscheiden van het toevoegen van een onderscheiding:
ℵ blijft potentieel en is te onderscheiden van een andere welgevormde haakuitdrukking, stel ℵ1. Hierdoor wordt het opgespannen universum dus uitgebreid (divergentie van het universum). Merk op dat we het universum kunnen uitbreiden zonder een punt tussen beide extrema een waarde toe te kennen. Dit betekent in de praktijk dat we ervan afzien om de nieuwe hypothese te testen op de relaties die ermee ontstaan in werkelijkheid.
ℵ heeft dezelfde waarde als een welgevormde haakuitdrukking uit het opgespannen universum. Hierbij geven we wel een waarde aan een punt. Dit reduceert het opgespannen universum (convergentie in het universum). Een <ℵ<x>><<ℵ><y>> met bijvoorbeeld ℵ en x die dezelfde waarde hebben (wat die ook moge zijn) reduceert immers tot <ℵ<ℵ>><<ℵ><y>> of dus <<ℵ><y>>, een conjunctie in een één onderscheiding universum met een laatst toegevoegde onderscheiding die dezelfde waarde heeft als x. Het is de beslissing om ℵ en x niet te onderscheiden die <ℵ<x>> de waarde <<>> toekent. Dus <<ℵ><y>> kan al evenzeer als <<x><y>> genoteerd worden en dit is een welgevormde haakuitdrukking in twee onderscheidingen. Volledig analoog kunnen bijvoorbeeld ℵ en <x> dezelfde waarde hebben (wat die ook moge zijn) en dan reduceert <ℵ<x>><<ℵ><y>> tot <ℵℵ><<ℵ><y>> of dus <ℵ>y of <x>y.
ℵ heeft dezelfde waarde als een andere welgevormde haakuitdrukking ℵ1, beide gaan geen deel uitmaken van het opgespannen potentieel universum en zijn evenwaardig. We kunnen dus zeggen dat ze vluchtig zijn. Enkel het opgespannen universum is stabiel. Dit betekent in de praktijk dat we er ons helemaal niet bewust van zijn dat er nieuwe hypotheses mogelijk zijn om te testen op de relaties die ermee ontstaan in werkelijkheid, we kunnen ze immers niet van elkaar onderscheiden. Dit kan alleen maar wanneer <x> en <y> atomen zijn van hetzelfde universum (en dus ook x en y) en dat <ℵ<x>> en <<ℵ><y>> eveneens atomen zijn van een “momentaan” groter universum (en dus ook <ℵx> en <<ℵ>y>). De ℵ die niet ingebouwd wordt in de tralie die de werkelijkheid opspant kunnen we ons wel voorstellen en dus een symbool toekennen, toch zijn we niet vrij om ervoor te kiezen of niet, <ℵ<x>> (alternatief <<ℵ><y>>) kan enkel maar gebeuren en dus ℵ<x> (alternatief <ℵ><y>) is ervaren. Want inderdaad, in het stabiel universum ervaren we ofwel het atoom <x>, ofwel het atoom <y>. Het is onmogelijk om aan de fundamentele collaps van een tralie te ontsnappen aangezien het agens altijd iets ervaart. Er is dus altijd een laatst toegevoegde onderscheiding die een waarde krijgt en niet ingebouwd wordt in de tralie. Op die manier modelleren we actie en tijd. Inbeddingssymmetrie voor ℵ (de laatst toegevoegde onderscheiding noteren we als ℵ of als <ℵ>, het doet er niet toe) modelleert dus verandering in het universum opgespannen door de onderscheidingen van x en/of y. We ervaren altijd in een groter universum dan het universum dat nodig en voldoende is om op te spannen wat we ervaren. We zullen merken dat ook dat te modelleren is.
Dit maakt ook duidelijk dat er een asymmetrie is tussen het potentieel uitbreiden van een universum, dat altijd mogelijk is zonder een waarde toe te kennen aan een punt, en het reduceren van een universum waarbij men de beslissing moet nemen ofwel ℵ, ofwel <ℵ>, dezelfde waarde toe te kennen als een punt uit het reeds beschikbare universum en dus het toegevoegde onderscheid als (ir)relevant (voor het ervaren of voor het gebeuren) te kenmerken.
De eerste mogelijkheid toont de kracht van creativiteit, de tweede mogelijkheid toont de kracht van beslissing, de derde mogelijkheid toont de inherente grens van beide voor het agens-in-context: er gebeurt steeds OOK iets anders.
We zullen nu aantonen dat het creatief product associatief is enkel wanneer we ℵ als enige toegevoegde onderscheiding gebruiken (dus als alle toegevoegde welgevormde haakuitdrukkingen evenwaardig zijn, dus dezelfde waarde hebben die verder niet gekend is, en we hetzelfde symbool hiervoor kunnen gebruiken, namelijk ℵ). We moeten dus aantonen dat ((x⊗y)ℵ ⊗z)ℵ niet te onderscheiden is van (x⊗(y⊗z)ℵ)ℵ.
Bewijs
We zetten ((x⊗y)ℵ ⊗z)ℵ om in een welgevormde haakuitdrukking:
((<ℵ<x>><<ℵ><y>>)⊗z)ℵ
<ℵ<<ℵ<x>><<ℵ><y>>>><<ℵ><z>>
<ℵ<<<x>><<><y>>>><<ℵ><z>>
<ℵ<x>><<ℵ><z>>
We zetten (x⊗(y⊗z)ℵ)ℵ om in een welgevormde haakuitdrukking:
(x⊗(<ℵ<y>><<ℵ><z>>))ℵ
<ℵ<x>><<ℵ><<ℵ<y>><<ℵ><z>>>>
<ℵ<x>><<ℵ><<<><y>><<z>>>>
<ℵ<x>><<ℵ><<<z>>>>
<ℵ<x>><<ℵ><z>>
We bekomen dezelfde uitdrukking.
QED
We geven voorbeelden van de associativiteit met de termen zelf van het creatief product:
<ℵ<x>><<ℵ><y>> vermenigvuldigen met x met behulp van de laatst toegevoegde onderscheiding geeft als welgevormde haakuitdrukking:
<ℵ<<ℵ<x>><<ℵ><y>>>><<ℵ><x>>
<ℵ<<<x>><<><y>>>><<ℵ><x>>
<ℵ<x>><<ℵ><x>>
x
((x⊗y)ℵ⊗x)ℵ=(x⊗x)ℵ
x vermenigvuldigen met <ℵ<x>><<ℵ><y>> met behulp van de laatst toegevoegde onderscheiding geeft als welgevormde haakuitdrukking:
<ℵ<x>><<ℵ><<ℵ<x>><<ℵ><y>>>>
<ℵ<x>><<ℵ><<<><x>><<y>>>>
<ℵ<x>><<ℵ><y>>
(x⊗(x⊗y)ℵ)ℵ=(x⊗y)ℵ
<ℵ<x>><<ℵ><y>> vermenigvuldigen met y met behulp van de laatst toegevoegde onderscheiding geeft als welgevormde haakuitdrukking:
<ℵ<<ℵ<x>><<ℵ><y>>>><<ℵ><y>>
<ℵ<<<x>><<><y>>>><<ℵ><y>>
<ℵ<x>><<ℵ><y>>
((x⊗y)ℵ⊗y)ℵ=(x⊗y)ℵ
y vermenigvuldigen met <ℵ<x>><<ℵ><y>> met behulp van de laatst toegevoegde onderscheiding geeft als welgevormde haakuitdrukking:
<ℵ<y>><<ℵ><<ℵ<x>><<ℵ><y>>>>
<ℵ<y>><<ℵ><<<><x>><<y>>>>
<ℵ<y>><<ℵ><y>>
(y⊗(x⊗y)ℵ)ℵ=(y⊗y)ℵ
Voor een associatief creatief product kunnen de haken weggelaten worden. Dus: ((x⊗y)ℵ ⊗z)ℵ∼(x⊗(y⊗z)ℵ)ℵ∼(x⊗y⊗z)ℵ
Associativiteit heeft als gevolg dat de welgevormde haakuitdrukking die centraal staat in de relatie helemaal geen rol meer speelt in (irrelevant is voor) de welgevormde haakuitdrukking die de relatie uitdrukt. Het zijn enkel de meest linkse en meest rechtse uitdrukking die nog voorkomen in de relatie. Er geldt inderdaad (x⊗y⊗z)ℵ∼(x⊗z)ℵ∼<ℵ<x>><<ℵ><z>>.
Algemener: ((x⊗z)ℵ ⊗(y⊗z)ℵ)ℵ is niet te onderscheiden van (x⊗z)ℵ
((<ℵ<x>><<ℵ><z>>)⊗(<ℵ<y>><<ℵ><z>>))ℵ
<ℵ<<ℵ<x>><<ℵ><z>>>><<ℵ><<ℵ<y>><<ℵ><z>>>>
<ℵ<<<x>><<><z>>>><<ℵ><<<><y>><<z>>>>
<ℵ<x>><<ℵ><z>>
QED
En ((x⊗z)ℵ ⊗(z⊗y)ℵ)ℵ is niet te onderscheiden van (x⊗y)ℵ
((<ℵ<x>><<ℵ><z>>)⊗(<ℵ<z>><<ℵ><y>>))ℵ
<ℵ<<ℵ<x>><<ℵ><z>>>><<ℵ><<ℵ<z>><<ℵ><y>>>>
<ℵ<<<x>><<><z>>>><<ℵ><<<><z>><<y>>>>
<ℵ<x>><<ℵ><y>>
QED
En het meer algemene ((x⊗a)ℵ ⊗(b⊗y)ℵ)ℵ is niet te onderscheiden van (x⊗y)ℵ
((<ℵ<x>><<ℵ><a>>)⊗(<ℵ<b>><<ℵ><y>>))ℵ
<ℵ<<ℵ<x>><<ℵ><a>>>><<ℵ><<ℵ<b>><<ℵ><y>>>>
<ℵ<<<x>><<><a>>>><<ℵ><<<><b>><<y>>>>
<ℵ<x>><<ℵ><y>>
QED