Symbolen in het haakformalisme hebben op zich geen enkele betekenis en krijgen hun betekenis enkel in relatie tot andere. Een centrale relatie van het haakformalisme is daarom de transformatie <<a<b>><<a>b>> en zijn inbedding <a<b>><<a>b>, namelijk het uitdrukken dat een symbool door een ander symbool zou kunnen vervangen worden (potentieel) en het eventueel beslissen om dat effectief te doen (actueel).
Deze relatie relateert aan elk koppel van punten (namelijk het ene en het andere symbool, neem a en b) een uniek derde punt (namelijk de welgevormde haakuitdrukking <<a<b>><<a>b>> versus <a<b>><<a>b>). Dit is een relatie die in meer klassieke benaderingen een beetje tussen wal en schip verzeild is geraakt en die, enkel wanneer ze toegepast wordt op twee punten, zich gedraagt als een equivalentie relatie. We moeten dit dan ook beter onderzoeken. Inderdaad: aangezien er maar twee mogelijke waarden zijn kan men van twee punten zeggen dat ze ofwel dezelfde waarde, ofwel verschillende waarde hebben, maar van drie of meer punten kan men wel zeggen dat ze dezelfde waarde hebben maar niet dat ze verschillende waarde hebben. Evenwaardigheid is dus een belangrijk en beladen begrip. Men kan zeggen dat a en b evenwaardig zijn of niet, waarmee men de waarde van a en b aan elkaar kan relateren. Men kan zeggen dat a, b en c evenwaardig zijn of niet, maar als a, b en c niet evenwaardig zijn dan kan het dat a en b dezelfde waarde hebben en c een andere waarde, of dat a en c dezelfde waarde hebben en b een andere waarde, of dat b en c dezelfde waarde hebben en a een andere waarde.
Het verschil begrijpen tussen potentieel en actueel is essentieel om het haakformalisme te begrijpen. Elke welgevormde haakuitdrukking wordt voorgesteld door een volledige tabel en dit is een “indien... dan...” constructie. Deze constructie is daarom potentieel. Dezelfde welgevormde haakuitdrukking ofwel de waarde <>, ofwel de waarde <<>> geven is actueel en wordt dus voorgesteld door slechts een deel van de tabel. Een volledige tabel is dus de welgevormde haakuitdrukking in potentiële vorm en die volledige tabel kan opgesplitst worden in twee tabellen die elkaar aanvullen en allebei de enige actuele vormen zijn van de welgevormde haakuitdrukking.
In gewone taal is dat verschil moeilijk uit te drukken: "a is mogelijks niet te onderscheiden van b" versus “a is niet te onderscheiden van b”.
In het haakformalisme kunnen we dit wel perfect uitdrukken: "a is mogelijks niet te onderscheiden van b" is de welgevormde haakuitdrukking <<a<b>><<a>b>> versus “a is niet te onderscheiden van b” is a↔b, waarbij de tabel van twee symbolen duidelijk maakt dat deze uitdrukking niet verschillend is van <<a<b>><<a>b>>↔<>
"a is niet te onderscheiden van a" is de essentie zelf van het gebruik van symbolen: als we a gebruiken zal a altijd dezelfde waarde hebben als a. Symbolisch: a↔a. In haakvorm: <<a<a>><<a>a>>, en met de stellingen die gegrond zijn in het ervaren is dit te reduceren tot <>.
Dit maakt de interpretatie mogelijk dat de potentiële werkelijkheid zich gedraagt als de ervaren werkelijkheid. Inderdaad, interpreteer de aanwezigheid van <> (de waarde van <>) als “ervaren” dan is a is niet te onderscheiden van het ervaren (van a). Drukken we inderdaad de transformatie a↔<> in haakvorm dan staat hier <<a<<>>><<a><>>>, en met de stellingen die gegrond zijn in het ervaren is dit te reduceren tot a. Zouden we a ervaren dan zou dezelfde structuur relevant zijn, inderdaad a is niet te onderscheiden van het ervaren van a.
Interpreteer de aanwezigheid van <<>> als “gebeuren”. De transformatie a↔<<>> is <a>. Zouden we a laten gebeuren dan zouden we iets anders dan a ervaren. Inderdaad: a is maar een symbool. Datzelfde geldt voor elk mogelijk punt, bijvoorbeeld <ab>↔<>, <ab> is niet te onderscheiden van het ervaren ervan. Als a niet te onderscheiden is van <>, dan is <a> niet te onderscheiden van <<>>.
In interpretatie is er een verschil tussen een transformatie als mogelijk te kiezen punt (we zouden dan kiezen om...) en een transformatie uitvoeren, waarbij we het mogelijk punt een waarde geven (we kiezen dan om...). Dit subtiel verschil wordt op een unieke manier voorgesteld door de dubbele pijl te gebruiken. Wanneer we iets effectief uitvoeren dan ervaren we iets en dus gebeurt er simultaan iets anders. Formeel: a↔<> kan niet onderscheiden worden van <a>↔<<>>. Dit samengaan van ervaren en iets laten gebeuren is juist de essentie van het subtiel verschil en de essentie van het operationeel maken van het formalisme. We zien datzelfde subtiele contrast in het verschil van het mathematisch model dat we bouwen van een werkelijkheid en de fysische waarneming (of meting) ervan. We zien datzelfde subtiele contrast in het verschil dat sommigen maken tussen een ontologie en een epistemologie die we als volgt kunnen beschrijven: “zo moet de structuur zijn (ontologie, globaal) om de effecten te verklaren die ik waarneem met mijn beperkingen (de collaps, lokaal, met een beperkt aantal onderscheidingen)”.
De drie welgevormde haakuitdrukkingen a, b en <a<b>><<a>b> noemen we daarom een fundamentele triade, en als we daar dan de waarde (<> of <<>>) bijvoegen dan bekomen we een fundamentele viergroep, beter gekend als de viergroep van Klein.
Wanneer we een transformatie effectief uitvoeren dan zullen we zeggen dat de tralie collapst naar een tralie met minder potentiële (mogelijk te kiezen) punten (punten die nog geen waarde toegekend kregen) en hiervoor zullen we ook een formele notering ontwikkelen die geen onduidelijkheid meer overlaat. Voorlopig volstaat het om de collaps te illustreren met de volgende analogie: een getalfunctie relateert elk gekozen getal aan een ander getal. Bijvoorbeeld de functie die we voorstellen als x2+1 relateert aan de keuze voor x van het getal 3 het getal 10, en dit geldt zo voor elk getal. Merk op dat we de waarde van 1 in de functie uitdrukking x2+1 niet vrij kunnen veranderen. De analogie is de volgende: een transformatie effectief uitvoeren betekent dat we aan een welgevormde haakuitdrukking een waarde toekennen. Er zijn nu maar twee waarden mogelijk: <> ofwel <<>>. Merk op dat een welgevormde haakuitdrukking eveneens een waarde kan hebben onafhankelijk van de waarde van de welgevormde deeluitdrukkingen die de nieuwe welgevormde haakuitdrukking vormen.
Beslissen dat a↔b geldt, en dus dat a en b niet kunnen onderscheiden worden (en dan eigenlijk hetzelfde symbool kunnen toegewezen krijgen) is de uitdrukking van een al dan niet zelf gekozen beperking op de waarnemingsresolutie. Hierbij zal een van beide punten een referentiepunt kunnen zijn. Inzicht hierin is essentieel om het haakformalisme te begrijpen.
Het inzicht in de modellering van het symbool ↔ en de operationele definitie van de substitutie van elk symbool door zichzelf werpt een nieuw licht op de onvolledigheid stelling van Gödel waarin <> als “waar” geïnterpreteerd wordt. De substitutie van elk symbool door zichzelf heeft immers de waarde <> ondanks het feit dat aan het symbool geen waarde toegekend werd of het zelfs onbeslist blijft of het symbool een waarde heeft, waarbij daarenboven de substitutie van het symbool door <> niet verschillend is van het symbool zelf. In de taal van Gödel zullen er dus altijd ware uitspraken zijn waarvan de waarheid onbeslisbaar is.
Het haakformalisme is een universeel herschrijfsysteem zoals dat bekend is in de theoretische informatica. Zelfs datgene dat niet genoteerd wordt kan in het herschrijfsysteem optreden en is er zelfs de basis van. Het herschrijfsysteem kan alle mogelijke relaties uitdrukken waarvan men eist dat ze een waarde kunnen hebben. Zo’n relaties zijn welgevormde haakuitdrukkingen en elke welgevormde haakuitdrukking kan altijd als transformatie van twee andere voorgesteld worden: de fundamentele triade. Het herschrijfsysteem heeft geen startpunt noch een eindpunt en zijn evolutie wordt uniek gereflecteerd in de logische (ja, neen) coherentie van de gecreëerde of creatief gevonden symbolen.