Op het eerste zicht zou de transformatie kunnen doen denken aan equivalentie, aangezien de transformatie van twee punten uitdrukt dat beide punten dezelfde waarde moeten hebben. De transformatie is echter meer primitief dan de equivalentierelatie. We kunnen inderdaad een equivalentierelatie bouwen op basis van twee transformaties met een gemeenschappelijk element.

We noemen de nieuwe relatie Q.

Het beeld (welgevormde haakuitdrukking) van Q, gebaseerd op het koppel transformaties <a•b> en <b•c> is de conjunctie van die twee transformaties en is dus <<<a•b>><<b•c>>>. Het gemeenschappelijk element in de transformaties is dus b in dit voorbeeld. In uitgewerkte haakvorm staat hier <<<<a<b>><<a>b>>><<<b<c>><<b>c>>>> dat we reduceren door toepassing van de stelling 6 tot <<a<b>><<a>b><b<c>><<b>c>>.

Te bewijzen

De relatie Q is reflexief, symmetrisch en transitief. Het is dus een equivalentierelatie.

Bewijs

1. De relatie is reflexief.

Te bewijzen: het beeld van een koppel identieke transformaties is aanwezig als de transformatie uit het koppel aanwezig is.

We beschouwen dus maar één koppel, veronderstel de aanwezigheid van <a•b>. De welgevormde haakuitdrukking voor Q, gebaseerd op de transformatie <a•b> en <a•b> is de conjunctie van twee transformaties en is dus <<<a•b>><<a•b>>> en dit is niet verschillend van <a•b>.

QED

2. De relatie is symmetrisch

We beschouwen nu twee aanwezige koppels: <a•b> en <b•c>.

Te bewijzen:

Is <<<a•b>><<b•c>>> aanwezig dan is ook <<<b•c>><<a•b>>> aanwezig waarin de volgorde in het koppel omgekeerd werd.

Bewijs: dit is een gevolg van stelling 5.

QED

3. De relatie is transitief

We beschouwen nu drie aanwezige koppels: <a•b> <b•c> en <a•c> die twee-aan-twee een element gemeenschappelijk hebben.

Te bewijzen:

Indien <<<a•b>><<b•c>>> aanwezig is, en ook <<<b•c>><<c•a>>>, dan is ook <<<a•b>><<c•a>>> aanwezig.

Bewijs:

We moeten alle veronderstellingen uitdrukken in één welgevormde haakuitdrukking.

“Indien <<<a•b>><<b•c>>> aanwezig is en ook <<<b•c>><<c•a>>>” wordt uitgedrukt door de conjunctie van beide termen, dus door de aanwezigheid van <<<<<a•b>><<b•c>>>><<<<b•c>><<c•a>>>>>.

“In aanwezigheid van deze conjunctie is ook <<<a•b>><<c•a>>> aanwezig”, wordt uitgedrukt door de conjunctie van deze termen, dus de totale welgevormde haakuitdrukking is <<<<<<<a•b>><<b•c>>>><<<<b•c>><<c•a>>>>>><<<<a•b>><<c•a>>>>>.

We reduceren deze uitdrukking door de toepassing van stelling 6

<<<<<<<a•b>><<b•c>>>><<<<b•c>><<c•a>>>>>><<<<a•b>><<c•a>>>>> start

<<<<<a•b>><<b•c>><<b•c>><<c•a>>>><<a•b>><<c•a>>> door toepassing van stelling 6

<<<a•b>><<b•c>><<b•c>><<c•a>><<a•b>><<c•a>>> door toepassing van stelling 6

Op deze uitdrukking passen we stelling 6 niet verder toe omdat dit tot onduidelijkheid zou leiden (zie de bespreking van de notationele coherentie).

Wel kunnen we nu stelling 2 toepassen

<<<a•b>><<b•c>><<c•a>>>

Dit kan niet verder gereduceerd worden.

In volle haakvorm staat hier de uitdrukking <<<a<b>><b<a>>><<b<c>><<b>c>><<c<a>><<c>a>>>

Met de volgende tabel bewijzen we dat de uitdrukkingen onder exact dezelfde voorwaarden voor de aanwezigheid van de drie onderscheidingen eveneens aanwezig zijn.

QED

Uit de tabel is af te lezen dat de gelijkheid van drie punten door een cyclische transitiviteit uitgedrukt wordt. De volgende uitdrukkingen blijken allemaal equivalent te zijn:

<<a<b>><b<a>><b<c>><<b>c>>

<<a<c>><<a>c><b<c>><<b>c>>

<<a<b>><b<a>><a<c>><<a>c>>

Gelijkheid betekent: zowel gelijk indien de punten waarde <<>> hebben of gelijk indien de punten waarde <> hebben.

Dat geldt natuurlijk ook voor combinaties met inbeddingen.

Het dualiteit principe komt hierdoor duidelijk naar voor.