De transformatie van twee willekeurige punten is een isomorfisme en zal een uniek derde punt “opleveren”. Er is dus geen verschil tussen morfismen en punten. Met een transformatie geven we de beide punten dezelfde waarde die niet gekend hoeft te zijn, en juist dat is het unieke derde punt. We drukken met dat derde punt uit dat beide punten niet te onderscheiden zijn al kennen we de waarde van een van de punten niet.
Bijvoorbeeld: a↔b is een uniek punt. Welke punt is dit dan? In het haakformalisme uitgedrukt is dat snel duidelijk: het is <<a<b>><<a>b>>.
Bijvoorbeeld: a↔a is een uniek punt. Het is het punt <>. Dus a↔a kan niet onderscheiden worden van <>.
Dus ook omgekeerd: elk punt kunnen we uitdrukken als een unieke binaire relatie tussen twee punten. De punten van elke tralie zullen door een transformatie, die zelf een punt is van de tralie, op een unieke manier afgebeeld worden op een ander punt van de tralie.
Veronderstel twee tralies, de ene met onderscheidingen uit het in kapitale letters geschreven eindig repertorium Ai, de tweede met onderscheidingen uit het in onderkast letters geschreven eindig repertorium aj. Met een transformatie kunnen we uitdrukken dat een punt uit het ene repertorium niet verschillend is van een punt uit het andere repertorium als <<Ak>al><Ak<al>>>. Het is dus altijd mogelijk “ja” te zeggen aan de momentele coherentie van uitdrukkingen in twee (eventueel totaal verschillende) repertoria die, indien nodig als domein en codomein van een morfisme kunnen beschouwd worden. Dit is uiteraard het gevolg van het feit dat <> en <<>> altijd deel uitmaken van elke tralie.
Het is nu altijd mogelijk een tralie op te spannen met de onderscheidingen van beide tralies, dus de beide repertoria. In deze tralie is een willekeurige transformatie te schrijven als <<<αk>αl><αk<αl>>> waarbij de αi staat voor een willekeurige punt uit de tralie, welgevormde haakuitdrukking op basis van punten uit beide repertoria.
Te bewijzen: <<<a>b><a<b>>>↔<<a<b>><<a>b>>
Bewijs
De volgorde van nevenschikking is onbelangrijk (stelling 5)
QED
Bewijs
We passen de definitie toe om <a ↔ b> te vormen en gebruiken dan de stellingen
<<<a<b>><<a>b>>>
<a<b>><<a>b>
<<<a>><b>><<a>b>
<<<a><<a>b>><b<<a>b>>> (toepassing van stelling 9 met <<a>b>)
<<<a><b>><b<<a>>>>
<<<a><b>><ba>>
Dit is de definitie toegepast op <a> ↔ b
En ook is dit de definitie toegepast op a ↔ <b>
QED
Bij het bewijzen van de associativiteit van de transformatie hebben we bewezen dat de ronde haken niet nodig zijn, er kan geen verwarring ontstaan dat de notatie a↔b↔c gebruikt wordt in plaats van de haakvormen <<<<a<b>><<a>b>><c>><<a<b>><<a>b>c> of <<a<b<c>><<b>c>><<a><<b<c>><<b>c>>>>, uitdrukkingen die voor mensen veel moeilijker leesbaar zijn.
De notatie kan nog compacter, waarbij we gebruik maken van het isomorfisme met een “product”notatie die we nog zullen onderbouwen bij het bespreken van een nieuw model voor het haakformalisme en dat we dan een vectorproduct gaan noemen.
a↔b zullen we ook als <a•b> noteren.
Eenvoudig leesbare notaties vereisen echter extra waakzaamheid. In bewijsvoeringen zullen we de eenvoudiger notatie dan ook niet gebruiken.
<a•b> is equivalent is met a•<b>. Hierdoor moeten we wel opletten dat de nevenschikking correct weergegeven wordt. Inderdaad, terwijl er bij <a•b>c geen probleem is van interpretatie van de nevenschikking, bestaat dat probleem wel met a•<b>c dat dubbelzinnig is wat betreft zijn interpretatie: (a•<b>)c of a•(<b>c). We gebruiken ronde haken nu om de bedoelde welgevormde haakuitdrukking weer te geven. Ronde haken zijn een verkorte notering voor dubbele haken, zodanig dat er een vormelijk verschil kan gemaakt worden tussen a•<b>c als a•(<b>c) of dus a•<<<b>c>> en a•<b>c als <<a•<b>>>c, of dus <a•b>c.
De notationele coherentie van het haakformalisme blijkt daarenboven ook als volgt:
a↔b zullen we dus als <a•b> noteren, hieruit volgt dat we <a>↔b als a•b kunnen noteren, zelfs a<↔>b kunnen we dus als a•b noteren, zodanig dat er zelfs zuiver notationeel geldt dat <↔>↔• (inderdaad is dit volledig coherent aangezien deze uitdrukking staat voor <<<>>↔<<>>>↔<<>>•<<>>). Elke nieuwe vorm gedraagt zich dus zoals een nieuwe onderscheiding.
Welgevormde notaties zijn in het haakformalisme dus niet te onderscheiden van welgevormde punten. Er is dus geen verschil meer tussen inhoud en vorm.
Als we dit interpreteren zouden we het ook als volgt kunnen uitdrukken: vorm heeft alles te maken met ervaarbaarheid of testbaarheid, inhoud heeft alles te maken met creativiteit. Als een punt welgevormd is dan kan men onderzoeken onder welke voorwaarden het ervaarbaar zou zijn. Wat dan ervaren wordt hangt af van de creatieve invulling van (een deel van) de uitdrukking.