De centrale relatie van het haakformalisme is de transformatie en zijn inbedding; het vervangen van een symbool door een ander symbool. Deze relatie relateert aan elk koppel van welgevormde haakuitdrukkingen (namelijk het ene en het andere symbool) een uniek derde punt (namelijk een welgevormde haakuitdrukking). Dit is een relatie die in meer klassieke benaderingen een beetje tussen wal en schip verzeild is geraakt en die, enkel wanneer ze toegepast wordt op twee punten, zich gedraagt als een equivalentie relatie.

De eenheid van de relatie ↔ is <>

Te bewijzen

De transformatie van a en <> is a. Formeel: a↔<> kan niet onderscheiden worden van a.

Bewijs

We nemen een willekeurige a, drukken de transformatie uit en passen de stellingen toe

<<a<<>>><<a><>>>

<<a><<>>>

<<a>>

a

QED

Noteer: voor a kunnen we uiteraard ook de speciale punten <>, of <<>> kiezen. Uiteraard is de transformatie van <> en a eveneens a.

De relatie ↔ is een isomorfisme

Klassiek gezien is een isomorfisme een afbeelding tussen entiteiten in een domein en entiteiten in een (eventueel ander) domein. Voor een isomorfe afbeelding bestaat er een unieke inverse afbeelding en dit kenmerkt een isomorfisme.

Te bewijzen

Voor een willekeurig punt is er een unieke afbeelding die de eenheid-afbeelding oplevert.

Bewijs

Neem een willekeurig punt a, voer de transformatie uit van a met zichzelf en reduceer de uitdrukking

<<a<a>><<a>a>>

<<<>><<>>>

<>

Dit is de eenheid-afbeelding

QED

Die afbeelding blijkt dus de transformatie met zichzelf te zijn.

In het haakformalisme is “de transformatie met a” dus de inverse afbeelding van “de transformatie met a”. Elk punt is zijn eigen invers voor de transformatie.

De relatie ↔ is associatief

Te bewijzen

We moeten aantonen dat (a↔b)↔c identiek is met a↔(b↔c)

Bewijs

We drukken eerst elke uitdrukking uit in haakvorm

(a↔b)↔c

<<a<b>><<a>b>> moeten we samenstellen met c, dus

<<<<a<b>><<a>b>><c>><<a<b>><<a>b>c>>

a↔(b↔c)

a moeten we samenstellen met <<b<c>><<b>c>> dus

<<a<b<c>><<b>c>><<a><<b<c>><<b>c>>>>

We maken nu een tabel met alle mogelijke combinaties van waarden

We stellen vast dat beide uitdrukkingen tot dezelfde waarden leiden.

QED

Transformaties vormen een commutatieve groep

Bewijs:

↔ is gesloten want levert altijd een welgevormde haakuitdrukking op in een universum opgespannen door de symbolen uit beide punten die getransformeerd worden

↔ is associatief (zie bewijs hoger)

↔ heeft als eenheid <> (zie bewijs hoger)

Elk punt is zijn eigen invers (zie bewijs hoger)

↔ is commutatief (zie definitie en stelling 5)

QED

Voorbeeld

Het abstracte karakter van de transformatie kunnen we concreet maken met een voorbeeld.

aap↔eeq is een mogelijke concretisering van een transformatie van een drieletter woord naar een ander drieletterwoord en kan als volgt omschreven worden: “neem voor een klinker de volgende (vorige) klinker uit het alfabet en neem voor een medeklinker de volgende (vorige) medeklinker uit het alfabet”. De eenheidstransformatie is: “neem voor een klinker de zelfde klinker en neem voor een medeklinker de zelfde medeklinker”. Op die manier kunnen enkel maar drieletterwoorden bereikt worden en de transformatie is gesloten. De transformatie is eenduidig, dus de waarde die aan elk van deze drieletterwoorden kan gegeven worden is exact dezelfde.