Te bewijzen: <<a₁p><a₂p>...<a_ip>...<a_np>> ↔ <<a₁><a₂>...<a_i>...<a_n>>p met n eindig

Bewijs

Veronderstel dat p de waarde <> heeft.

Dan is <<a₁p><a₂p>...<a_ip>...<a_np>> te reduceren tot <<a₁<>><a₂<>>...<a_i<>>...<a_n<>>>, dat met stelling 4 te vervangen is door <<<>><<>>...<<>>...<<>>>, dat te vervangen is door <>. En tevens is <<a₁><a₂>...<a_i>...<a_n>>p te reduceren tot <<a₁><a₂>...<a_i>...<a_n>><>, dat te reduceren is tot <> (stelling 4).

Veronderstel dat p de waarde <<>> heeft.

Dan is <<a₁p><a₂p>...<a_ip>...<a_np>> te reduceren tot <<a₁<<>>><a₂<<>>>...<a_i<<>>>...<a_n<<>>>>, dat met axioma 2 te reduceren is tot <<a₁><a₂>...<a_i>...<a_n>>. En tevens is <<a₁><a₂>...<a_i>...<a_n>>p te reduceren tot <<a₁><a₂>...<a_i>...<a_n>><<>>, dat te reduceren is tot <<a₁><a₂>...<a_i>...<a_n>>.

QED

Gevolg

De volgende distributiviteit geldt, waarbij een nevenschikking van haakuitdrukkingen omgezet wordt in één haakuitdrukking:

a<<b><c>> ↔ <<ab><ac>>

en ook

<<a><bc>> ↔ <<a><b>><<a><c>>

Noteer

Er geldt zeker niet dat

<<a₁p><a₂p>...<a_ip>...<a_np>b> ↔ <<a₁><a₂>...<a_i>...<a_n>b>p

wel dat

<<a₁p><a₂p>...<a_ip>...<a_np><<b>p>> ↔ <<a₁><a₂>...<a_i>...<a_n>b>p

Willen we p buiten de haken brengen, dan moet p zich op dezelfde wijze binnen elke nevengeschikte haak bevinden (daarom moeten we n als eindig aannemen).

Noteer

Met stelling 7 bewezen we dat

<a₁p><a₂p>...<a_ip>...<a_np>p ↔ <a₁><a₂>...<a_i>...<a_n>p

zowel links als rechts van de pijl staat p buiten alle haken.

Met stelling 9 bewijzen we nu dat

<<a₁p><a₂p>...<a_ip>...<a_np>> ↔ <<a₁><a₂>...<a_i>...<a_n>>p.

Links staat er één buiten-haak, rechts een nevenschikking van haken.