Het haakformalisme kan slechts toegepast worden indien men het subtiele verschil begrijpt tussen een potentiële werkelijkheid (mogelijks te kiezen punten) en een ervaren werkelijkheid (gekozen punten). We zullen daarom zeer expliciete voorbeelden geven van de collaps van een potentiële tralie.

Gebruikt men twee symbolen a en b dan hebben we gezien dat men daar een tralie mee kan opspannen van 16 punten.

De enige punten met een waarde zijn <> en <<>>. De andere zijn potentieel, zouden een waarde kunnen krijgen. Zo is het punt <<a<b>><<a>b>> de uitdrukking dat a en b dezelfde waarde toegekend kunnen krijgen, dat a en b zich niet in waarde onderscheiden. Maar <<a<b>><<a>b>> zelf heeft geen waarde. Indien <<a<b>><<a>b>> de waarde <> zou toegewezen krijgen dan zouden a en b dezelfde waarde toegewezen krijgen, wat die ook zou zijn.

Voeren we nu effectief uit dat “a niet te onderscheiden is van b” dan reduceert het aantal mogelijke potentiële punten in de tralie van een twee-onderscheidingen universum van 16 tot 4. Om dat te demonstreren nemen we de tralie en vervangen zowel a als b door het symbool c en gebruiken we de reductie stellingen:

Enkel c, <c>, <> en <<>> komen nog voor. Merk op dat er verder niets kan gezegd worden over de waarde van c. Merk op hoe hierdoor op een consequente manier het potentiële ("zou kunnen", de hypothetische transformatie) en het actuele ("effectief uitvoeren", de ervaren, gekozen transformatie) in overeenstemming zijn met elkaar.

De hele redenering kunnen we door de positieve constructiemethode van het haakformalisme nu ook omkeren.

Stel dat enkel de vier punten actueel onderscheiden zijn: x, <x>, <> en <<>>. Dan is het steeds mogelijk dank zij de creatieve fantasie te veronderstellen (hypothese) dat een preciezer onderscheid zou kunnen gemaakt worden. Maatgevend voor wat we werkelijkheid noemen is dan of deze bijkomende onderscheiden werkelijk te ervaren zijn. Want we willen niet alleen een andere naam n voor x bedenken (waarbij we enkel tot <<x<n>><<x>n>>↔<> zouden beslissen en toch maar met vier punten in de actuele tralie blijven zitten, die we dan nog eens met een andere naam kunnen aangeven, zie c hierboven), maar we willen een bijkomend onderscheid, of een combinatie van onderscheiden aan x toevoegen waarvoor we "in aanwezigheid van x" vrij kunnen kiezen. We moeten dus voor een y kunnen kiezen maar ook voor een <y>. Die vrije keuze noemen we juist "ervaren", we kunnen kiezen om ons op het andere aspect te focusseren. Formeel: xy moet mogelijk zijn maar ook x<y>, <x>y moet mogelijk zijn, maar ook <x><y>.

Ook andere transformaties zijn effectief uit te voeren.

Voeren we bijvoorbeeld effectief uit dat <> niet te onderscheiden is van <ab> dan collapst de tralie van 16 punten tot een deeltralie. Welke deeltralie is gemakkelijk te berekenen:

<>↔<ab> betekent ook <<>>↔ab. Dus aangezien we <<>> overal kunnen vervangen door ab en aangezien <<>> niet genoteerd moet worden geldt de volgende tralie waarin we een niet-genoteerde <<>> vervangen door ab.

die we verder kunnen vereenvoudigen door gebruik te maken van de basis stellingen.

Dit is een deeltralie met slechts 2 onderscheiden punten.

En aangezien <<>>↔ab geldt is dit ook te noteren als

We kunnen dit ook als volgt begrijpen: als <<>>↔ab geldt dan betekent dit dat er simultaan 8 transformaties optreden zodanig dat 16 punten naar 2 punten gereduceerd worden.

Geen niveauverschil in de transformatie geeft tot geen collaps aanleiding.

1 niveauverschil geeft aanleiding tot een collaps naar 8 punten (tralie die niet op een onderscheidingen tralie af te beelden is).

2 niveauverschillen geven aanleiding tot een collaps naar 4 punten (op een één-onderscheiding universum af te beelden).

3 niveauverschillen geven aanleiding tot een collaps naar 2 punten (het meest primitieve onderscheidingen universum).

4 niveauverschillen (de hele tralie van 16 punten) kan niet collapsen aangezien <<>>↔<> niet toegelaten mag worden (we ervaren immers altijd iets). Maar merk op dat ook dit formeel heel consistent is: zoals <<>>↔<> de waarde <<>> heeft, en <<>> niet moet genoteerd worden, zo zou ook een totale collaps kunnen voorgesteld worden als iets dat niet genoteerd staat.

We kunnen nog op een andere manier expliciet laten zien hoe een collaps werkt door de waarde van elke combinatie van onderscheidingen te berekenen uitgaande van de waarde van de onderscheidingen.

Neem bijvoorbeeld de nevenschikking ab.

ab is equivalent met <<>> in het volgende geval:

a=<<>> en b=<<>>

ab is equivalent met <> in de volgende drie gevallen:

a=<> en b=b, onafhankelijk dus van de waarde van b

a=a en b =<>, onafhankelijk dus van de waarde van a

a=<> en b=<>

Tekenen we de tralie van twee onderscheidingen uit, en onderstrepen we de punten die ruimer zijn dan ab

Eerste geval: wanneer a=<<>> en b=<<>> dan is duidelijk dat al die ruimere punten equivalent zijn met <<>>

De tralie wordt

In de volgende twee gevallen zijn delen van de tralie onbepaald, opgespannen door een onderscheiding.

Stel a=<> en b=b

De tralie wordt

Stel a=a en b=<>

De tralie wordt

In het laatste geval is de tralie eveneens het meest primitieve

Stel a=<> en b=<>

De tralie wordt

Neem nu de inbedding van deze haakvorm: <ab>.

<ab> is equivalent met <> in het volgende geval:

a=<<>> en b=<<>>

<ab> is equivalent met <<>> in de volgende drie gevallen:

a=<> en b=b, onafhankelijk dus van de waarde van b

a=a en b =<>, onafhankelijk dus van de waarde van a

a=<> en b=<>

Tekenen we nu de deeltralie uit die fijner is dan <ab>, waarbij we alle punten gebruiken die ervaren zijn als <ab> ervaren is.

En vervang nu a door <<>> en b door <<>>

Wat na reductie wordt:

Zodanig dat duidelijk is dat de hele deeltralie naar dezelfde waarde collapst.

Een andere manier van uitdrukken is dat <<>> ook kan vervangen worden door ab

Wat na uitwerking hetzelfde resultaat geeft.

We merken op dat elke collaps resulteert in een deeltralie.

Besluit:

Elk punt x heeft dus een "dubbel-simultane" ruimte:

• als het waarde <> heeft moeten alle punten fijner dan x en ruimer dan <> waarde <> krijgen

• als het waarde <<>> heeft moeten alle punten ruimer dan x en fijner dan <<>> waarde <<>> krijgen