Het creatief product met de laatst toegevoegde onderscheiding is associatief. We hebben dat bewezen voor drie welgevormde haakuitdrukkingen x, y en z als ((x⊗y)_ℵ ⊗z)_ℵdie niet verschillend is van (x⊗(y⊗z)_ℵ )_ℵ. Zo kunnen we een nieuwe notatie ontwikkelen en definiëren dat dit niet verschillend is van (x⊗y⊗z)_ℵ. Dit is uiteraard uit te breiden als volgt: ((x₁⊗x₂)_ℵ ⊗x₃)_ℵ⊗x₄)_ℵ⊗x₅)_ℵ...⊗x_n)_ℵ en door associativiteit definiëren we dat dit niet verschillend is van (x₁⊗x₂⊗x₃⊗x₄⊗x₅...⊗x_n)_ℵ en dit is dan de uitdrukking voor <ℵ<x₁>><<ℵ><x_n>>. We merken dat de tussenliggende welgevormde haakuitdrukkingen voor het eindresultaat irrelevant zijn maar wel relevant zijn voor de operatie van associatie. Dat betekent dat het getal n iets kwantificeert: het aantal stappen dat onderscheiden kan worden. Dat is dan niet anders dan de stappen die onderscheiden kunnen worden in het simultaneïteitsinterval van elkaar uitsluitende punten (p⊗<ℵ>)_ℵ en (ℵ⊗<q>)_ℵ, namelijk ((p⊗<ℵ>)_ℵ⊗(ℵ⊗<q>)_ℵ) _ℵ met p=x₁, <q>=x_n. Inderdaad: (p⊗<ℵ>)_ℵ en (ℵ⊗<q>)_ℵ sluiten elkaar uit, de eerste welgevormde haakuitdrukking is niet anders dan <ℵ<p>>, de tweede is niet anders dan <<ℵ>q> en de conjunctie van beide is <ℵ<p><ℵ>q> en dit is <<>>. De disjunctie is <ℵ<p>><<ℵ>q> en dit is (p⊗<q>)_ℵ.

Dat associatief proces heeft een invers en noemen we een rotatie. Dit komt goed overeen met de impliciete veronderstelling bij een rotatie dat twee elkaar uitsluitende punten “na een associatief proces” terug kunnen bereikt worden. Dit is een heel diepgaande veronderstelling omdat het uitgaat van deels keuzevrijheid (“ik herken dat de nieuwe toestand niet verschillend is”) als beperking (“ik kan niet gelijk wat in gelijk wat roteren”). We kunnen inderdaad veronderstellen dat de eindtoestand niet verschillend is van de begintoestand, dus we kunnen veronderstellen <ℵ<x>><<ℵ><x>>. Deze uitdrukking is niet verschillend van x. Dit is dus de eenheid van rotatie voor x. Elke welgevormde haakuitdrukking is dus zijn eigen eenheid voor de rotatie. We kunnen dit interpreteren alsof we een (onbekende en onvermijdelijke) cyclus doorlopen hebben in de tijd (laatst toegevoegde onderscheiding) waarbij er dus niets verandert. Dus we noteren (x⊗x₁⊗x₂...⊗x)_ℵ als de eenheidsrotatie.

Rotatie en hoek zijn semantisch onvermijdelijk met elkaar verbonden. We kunnen een hoek als volgt modelleren zonder dat we daarvoor geometrische intuïties of interpretaties nodig hebben.

De eenheidsrotatie wordt “op elk moment” (één ℵ) gerealiseerd door twee toestanden die elkaar uitsluiten: <ℵ<x>> en <<ℵ><x>>. Is er één ervaren (en ervaren is onvermijdelijk) dan moet de andere willekeurig zijn, ze zijn onvermijdelijk aan elkaar gerelateerd (we ervaren altijd iets en er gebeurt ook altijd iets anders, trouwens het enige axioma van het haakformalisme). Die relatie gaan we nu kwantificeren als een hoek. Als we veronderstellen dat elke toestand (in het grootste universum opgespannen door ℵ) een intensiteit heeft (in het binair model kunnen we zien dat het patroon voor de toestand een aantal maal herhaald wordt in dat universum), dan kunnen we spreken van een aantal M (geheel positief getal) toestanden die zich niet onderscheiden van <ℵ<x>>, het ene atoom en een tweede aantal N (geheel positief getal) van toestanden die zich niet onderscheiden van <<ℵ><x>>, het andere atoom. Aangezien de eenheden van die aantallen elkaar uitsluiten kunnen de aantallen opgeteld worden en M+N is het aantal toestanden die momentaan de eenheid x realiseren, eenheid die zich onderscheidt van de eenheden <ℵ<x>> en <<ℵ><x>> maar er wel simultaan mee is. Als we nu de intensiteit van de eenheid x als 1 nemen dan kunnen we normaliseren en we onderscheiden M/(M+N) versus N/(M+N) zodanig dat (M/(M+N) + N/(M+N) = 1). We hebben dus twee fracties van een totaliteit (namelijk 1) die onvermijdelijk aan elkaar gerelateerd zijn. De soort x bestaat dus uit slechts twee soorten toestanden, het zijn soorten toestanden omdat we veronderstellen dat ze een intensiteit hebben, iets dat invariant is voor de soort toestand en dus kan variëren onafhankelijk van de toestand. De hoek θ construeren we door te stellen dat cos²θ = M/(M+N) en sin²θ = N/(M+N). Dat is dus een momentane hoek (in radialen), getal dat in één actie (die associatief is met meerdere acties) altijd kan geconstrueerd worden, en waarvan de betekenis nog verder moet geëxpliceerd worden. We kunnen wel zeggen dat de betekenis te maken heeft met een verschil van de grootte van het opgespannen universum dat invariant is met het grootste universum dat momentaan is.

Voorbeeld

Een voorbeeld voor de drie eenheden zijn de eenheden “appel”, “peer” en “fruit”. Het aantal stukken fruit is niet anders dan de som van het aantal stukken “appel” en het aantal stukken “peer”, waarbij elke appel simultaan een stuk fruit is en ook elke peer simultaan een stuk fruit is. Dit is natuurlijk niet onvermijdelijk zo. Een voorbeeld van onvermijdelijkheid vinden we wel bij de eenheid “vlakke driehoek”. De drie hoeken zijn onvermijdelijk aan elkaar gerelateerd doordat hun som altijd gelijk moet zijn aan de hoek “π radialen”, op zijn beurt is dat dus niet zo voor een boldriehoek enz… Op die manier zien we hoe de begrippen “aantal” en “hoek” met elkaar gerelateerd zijn en de geometrie een bijkomende veronderstelling is.

Indien voor x₁ de waarde <<>> genomen wordt (de eenheid van de operatie van vectorvermenigvuldiging), dan zou men kunnen schrijven dat na een rotatie over 2π (die in het kort met het symbool ⊗_ℵⁿ kan aangeduid worden) men terug op de (scalaire) eenheid aankomt, of ⊗_ℵⁿ=<<>>. Hiermee wordt dus de n-de macht van de scalaire eenheid in het haakformalisme gemodelleerd onder de voorwaarde te starten met <<>> en het creatief product te vormen met de laatst toegevoegde onderscheiding. Een speciaal geval is dan ook de rotatie over π die een haakuitdrukking in zijn inbedding verandert en die we dus noteren als een creatief product met twee termen: (x₁⊗<x₁>)_ℵ. We moeten de betekenis daarvan onderzoeken door de reflectie te bestuderen. Dit betekent dat x₁en x₂ tegengestelde waarde hebben. Dit is belangrijk voor de volgende reden: het is altijd mogelijk om uit te drukken dat de toestanden x_i dezelfde waarde hebben, hoe uitgebreid we i ook nemen. Dit is echter niet zo wanneer we zouden willen uitdrukken dat toestanden een tegengestelde waarde hebben, dat kan niet voor meer dan twee toestanden. De gevolgen hiervan zullen ook in de andere exploraties met rotaties opduiken.

De welgevormde haakuitdrukking (x⊗y⊗z)_ℵ kunnen we dan ook schrijven als (x⊗x⊗y⊗y⊗z⊗z)_ℵ of (x⊗x⊗...⊗y⊗y⊗...⊗z⊗z⊗...)_ℵ. En dus nog korter als (x^m⊗yⁿ⊗z^p)_ℵ waarbij m, n en p vrij kunnen gekozen worden. Machten en rotaties zijn onvermijdelijk met elkaar verbonden en machten modelleren de eenheid van rotatie. In het gewone taalgebruik is rotatie een verandering (een operatie, een proces, …) dat iets invariant laat, een rotatie as.

Het begrip “rotatie” is dus een model voor het creatief product onder voorwaarde dat men een laatst toegevoegde onderscheiding beschouwt (x⊗y)_ℵ waarvoor (x⊗x)_ℵ of (y⊗y)_ℵ, het creatief kwadraat, de eenheid is. De eenheid hoeft geen waarde toegekend te krijgen. Hiermee hebben we de cyclische groep C_n geconstrueerd in het haakformalisme en (x₁⊗x₂⊗x₃⊗x₄⊗x₅...⊗x_n=x_n)_ℵ wordt dan de notering in het haakformalisme van een rotatie over 2π/n en (x₁⊗x₂⊗x₃⊗x₄⊗x₅...⊗x_n=x₁)_ℵ de notering in het haakformalisme van een rotatie over 2π. We kunnen de hypothese formuleren dat de mogelijke rotatiehoeken gegeven worden door de intensiteit van de laatst toegevoegde onderscheiding aangezien de punten die tussen x₁ en x_n mogelijk zijn bepaald worden door het grootste relevante universum dat “in éénmaal” door de laatst toegevoegde onderscheiding opgedrongen wordt. Dit is duidelijk wanneer we een rotatie beschouwen tussen elkaar uitsluitende toestanden: we kunnen maar een beperkt aantal toestanden onderscheiden.

Het hele haakformalisme, met zijn modulo2 en modulo3 benadering kan begrepen worden als zijnde opgebouwd met behulp van rotaties. Het begrip “rotatie” is niet anders dan een uitbreiding tot n van het modulo-x begrip (de eindige cyclische groepen van orde n zijn isomorf met de verzameling restklassen modulo n met de optelling als bewerking).

Eigen aan het begrip “rotatie” is dat er minstens één aspect en soms meerdere invariant zijn voor die bewerking. Bijvoorbeeld: als we een object roteren dan blijven de afstanden, hoeken enz... tussen punten van het object invariant. Zelfs indien dat niet het geval is dan blijft er nog een invariant over: het draaipunt (in twee dimensies), de as (drie dimensies), het vlak (vier dimensies). De rotatie heeft een richting en een zin en die aspecten zijn dus ook gemodelleerd in het haakformalisme.

We kunnen elk creatief product als een conjunctie construeren van <p>x (x is fijner dan p) en <x>q (q is fijner dan x), namelijk <<<p>x><<x>q>>. Dit is niet anders dan <px><<x><q>> of (<p>⊗q)_x. Dus x bevindt zich tussen p en q en x is simultaan met p in het ervaren en q is simultaan met x in het gebeuren. Dat kan met één x, maar ook met meerdere die eventueel meerdere malen voorkomen, bijvoorbeeld: (<p>⊗x₁⊗x₂⊗...⊗x_n⊗q)_x.

Elke welgevormde haakuitdrukking h₁ kan in een h₂ geroteerd worden in een groter universum met de constructie (h₁⊗h₂)_ℵ. Dit kan dan op zijn beurt verder geroteerd worden naar bijvoorbeeld (h₁⊗h_n)_ℵ. De eis van associativiteit is de enige beperking op de mogelijke paden in de rotaties. We kunnen dat inzien door een aantal mogelijke rotaties van atomen in twee onderscheidingen te bestuderen. Elk atoom in drie onderscheidingen is de uitdrukking van een rotatie van twee eenheden in elkaar: een atoom in twee onderscheidingen en een waarde. We lijsten hieronder de 8 AND-atomen als creatief product (en dus als rotatie). In een drie onderscheidingen universum kunnen we elke onderscheiding als de laatst toegevoegde beschouwen.

Alle atomen in drie onderscheidingen zijn uit te drukken als een rotatie naar twee eenheden: een atoom in twee onderscheidingen en <<>>. Hoewel ze elkaar uitsluiten (de conjunctie van <<>> met een welgevormde haakuitdrukking heeft altijd waarde <<>>) toch zijn ze ook simultaan. Wanneer de toegevoegde onderscheiding steeds dezelfde is, kan elk atoom in een ander geroteerd worden en ook invariantie wordt gemodelleerd: alle atomen bevinden zich op dezelfde afstand van <<>>. Bijvoorbeeld: de rotatie van <<a><b>> in <ab> wordt gemodelleerd als (<<a><b>>⊗<ab>)_c en dit is niet anders dan het associatief proces (<<a><b>>⊗<<>>⊗<<>>⊗<ab>)_c. Dit is op zijn beurt niet anders dan bijvoorbeeld (<<a><b>>⊗a⊗b⊗<ab>)_c.

Noteer: rotatie kan ook gemodelleerd worden met andere toegevoegde onderscheidingen. Bijvoorbeeld met toevoeging van a•b•c, vergeleken met a, merken we een “omkering” bij vier van de acht welgevormde haakuitdrukkingen.

Als de drie onderscheidingen dezelfde waarde hebben die verder niet gekend is (waardoor we telbaarheid modelleren), noem deze u, dan reduceert deze tabel zich tot de twee atomen van het één onderscheiding universum en <<>>. Het enige verschil dat dan nog overblijft zijn de volgende rotaties:

Er blijft dus maar één onderscheiding over. Wanneer we dan beide atomen kwantificeren, kwantificeren we het effect van dynamiek voor elke situatie waarin de onderscheidingen dezelfde waarde hebben.