Het begrip “rotatie” hebben we begrepen als een model voor het creatief product (x⊗y)_ℵ. Hierdoor geïnspireerd kunnen we ook het begrip “reflectie” construeren.

We beschouwen een algemeen creatief product met de laatst toegevoegde onderscheiding (x⊗y)_ℵ. We bewijzen nu dat (x⊗<y>)_ℵ zich gedraagt als de (punt)reflectie van y ten opzichte van x. We bewijzen dat door aan te tonen dat de operatie die (x⊗<y>)_ℵ construeert een rotatie is met de inbedding van het creatief product, en dat het een involutie is.

Bewijs

We construeren eerst het creatief product (x⊗y)_ℵ met een willekeurige welgevormde haakuitdrukking z, dus we zetten ((x⊗y)_ℵ ⊗z)_ℵ om in een welgevormde haakuitdrukking:

((<ℵ<x>><<ℵ><y>>)⊗z)_ℵ

<ℵ<<ℵ<x>><<ℵ><y>>>><<ℵ><z>>

<ℵ<<<x>><<><y>>>><<ℵ><z>>

<ℵ<x>><<ℵ><z>>

We vervangen z nu door <<ℵ<x>><<ℵ><y>>> en dit is <(x⊗y)_ℵ> of ook (<x>⊗<y>)_ℵ namelijk de inbedding van het creatief product waarvan we vertrokken.

<ℵ<x>><<ℵ><ℵ<x>><<ℵ><y>>>

<ℵ<x>><<ℵ>y>

Hiermee hebben we (x⊗<y>)_ℵ geconstrueerd. Noemen we deze operatie a.

We hebben dus ((x⊗y)_ℵ ⊗(<x>⊗<y>)_ℵ)_ℵ berekend en (x⊗<y>)_ℵ geconstrueerd. De berekeningsprocedure ((x⊗y)_ℵ ⊗(<x>⊗<y>)_ℵ)_ℵ is de operatie die uitgevoerd wordt. Het is dus het creatief product C rechts vermenigvuldigen met zijn inbedding <C>. ((x⊗y)_ℵ ⊗(<x>⊗<y>)_ℵ)_ℵ=(x⊗y⊗<x>⊗<y>)_ℵ dank zij de associativiteit.

Op dit resultaat voeren we nu dezelfde operatie uit, we gaan dus a² berekenen. Dus we vertrekken van (x⊗<y>)_ℵ en gaan rechts vermenigvuldigen met zijn inbedding. Daarom vertrekken we terug van het creatief product (x⊗<y>)_ℵ met een willekeurige welgevormde haakuitdrukking z, dus we zetten ((x⊗<y>)_ℵ ⊗z)_ℵ om in een welgevormde haakuitdrukking:

((<ℵ<x>><<ℵ>y>)⊗z)_ℵ

<ℵ<<ℵ<x>><<ℵ>y>>><<ℵ><z>>

<ℵ<<<x>><<>y>>><<ℵ><z>>

<ℵ<x>><<ℵ><z>>

We vervangen z nu door <<ℵ<x>><<ℵ>y>> en dit is <(x⊗<y>)_ℵ> of ook (<x>⊗y)_ℵ namelijk de inbedding van het creatief product waarvan we vertrokken.

<ℵ<x>><<ℵ><ℵ<x>><<ℵ>y>>

<ℵ<x>><<ℵ><y>>

Hiermee hebben we (x⊗y)_ℵ geconstrueerd en dit is het creatief product waarvan we vertrokken zijn. De operatie is dus een involutie, a² is niet anders dan a.

QED

Speciale gevallen

We beschouwen de identiteit met de laatst toegevoegde onderscheiding (x⊗x)_ℵ. Dus (x⊗<x>)_ℵ gedraagt zich als de (punt)reflectie van x ten opzichte van x. De operatie die (x⊗<x>)_ℵ construeert is een rotatie met de inbedding van het creatief product en dit is ook ℵ•x. Een tweede rotatie levert (ℵ•x⊗<ℵ•x>)_ℵ en dus ℵ•ℵ•x en dit is weer x. Het is dus eveneens een involutie. Als ℵ niet anders is dan <> dan gaan we van x naar <x> en weer naar x. Dit is een rotatie over π. Als ℵ niet anders is dan <<>> dan gaan we van x naar x en weer naar x. Dit is een rotatie over 0. Als we ℵ zouden kwantificeren dan zouden we een hoek kwantificeren tussen 0 en π. Een kandidaat hiervoor is natuurlijk het aantal niveaus in de tralie. De onderscheidingen liggen allemaal op centraal niveau en dat zou betekenen dat we elke onderscheiding als rotatie over π/2 kunnen beschouwen.

(<<>>⊗<>)_ℵ is <ℵ<>><<ℵ><<>>> is ℵ

(<>⊗<<>>)_ℵ is <ℵ<<>>><<ℵ><>> is <ℵ>

Stel dat we y als ℵ•x nemen, dus <ℵ<x>><<ℵ>x>? Het vertrekpunt is (x⊗ℵ•x)_ℵ en dit is <ℵ<x>><<ℵ><<ℵ<x>><<ℵ>x>>> en dit is ℵ•x

(x⊗<y>)_ℵ wordt dan (x⊗<ℵ•x>)_ℵ

<ℵ<x>><<ℵ>y> wordt dan <ℵ<x>><<ℵ><ℵ<x>><<ℵ>x>>

<ℵ<x>><<ℵ><<><x>><x>>

<ℵ<x>><<ℵ><x>>

x

De operatie a levert dus x.

We gaan op het resultaat nu nog eens a uitvoeren, namelijk (x⊗<x>)_ℵ en het resultaat is niet anders dan ℵ•x, terug een involutie

Een derde rotatie levert (ℵ•x⊗<ℵ•x>)_ℵ en dus ℵ•ℵ•x en dit is weer x.

Deze operatie is dus niet anders dan het vectorproduct met ℵ.

Neem nu als vertrekpunt (x⊗<ℵ•x>)_ℵ en dit is x

Een eerste rotatie levert <ℵ<x>><<ℵ><<ℵ<x>><<ℵ>x>>> of dus <ℵ<x>><<ℵ>x>=ℵ•x

Een tweede rotatie levert (ℵ•x⊗<ℵ•x>)_ℵ en dit is x

Een derde rotatie levert (x⊗<x>)_ℵ en dit is ℵ•x

Deze operatie is dus niet anders dan het vectorproduct met ℵ.

We merken nu op dat in het speciaal geval, namelijk het geval waarbij we een waarde toekennen aan x, (<<>>⊗<y>)_ℵ = <<ℵ>y> zich gedraagt als de reflectie van y ten opzichte van <<>> en (<<>>⊗<<>>)_ℵ=<<>> zich gedraagt als de reflectie van <> ten opzichte van <<>>. En (<<>>⊗<>)_ℵ=ℵ gedraagt zich als de reflectie van <> ten opzichte van <<>>. Een a² die zich niet onderscheidt van <<>> kan enkel maar gelijk zijn aan (<<>>⊗<<>>)_ℵ

Gevolg

We berekenen nu ((<x>⊗<y>)_ℵ⊗((x⊗y)_ℵ ⊗(<x>⊗<y>)_ℵ)_ℵ)_ℵ. Aangezien het creatief product met de laatst toegevoegde onderscheiding associatief is, is dit niet anders dan ((<x>⊗<y>)_ℵ⊗(x⊗y)_ℵ ⊗(<x>⊗<y>)_ℵ)_ℵ of nog (<x>⊗<y>⊗x⊗y⊗<x>⊗<y>)_ℵ

We berekenen in twee stappen: ((<x>⊗<y>)_ℵ⊗<ℵ<x>><<ℵ>y>)_ℵ

<ℵ<<<ℵ<x>><<ℵ><y>>>>><<ℵ><<ℵ<x>><<ℵ>y>>>

<ℵ<ℵ<x>><<ℵ><y>>><<ℵ><<ℵ<x>><<ℵ>y>>>

<ℵx><<ℵ>y>

Dit is niet anders dan (<x>⊗<y>)_ℵ, de inbedding van (x⊗y)_ℵ. Dit is dus een rotatie over π.

Merk op dat een rotatie over π niet het invers is van een rotatie. Vermenigvuldigen we immers (<x>⊗<y>)_ℵ en zijn inbedding (x⊗y)_ℵ met elkaar dan bekomen we niet de eenheid van een van de rotaties, maar een reflectie.

<ℵ<<ℵx><<ℵ>y>>><<ℵ><<ℵ<x>><<ℵ><y>>>>

<ℵ<<x><<>y>>><<ℵ><<<><x>><<y>>>>

<ℵx><<ℵ><y>>