De binaire benadering van het haakformalisme kan gezien worden als een modulo2 benadering.
We zullen aantonen dat een modulo3 benadering kan gezien worden als de vectorvertaling van het haakformalisme. We zullen immers aantonen dat alle welgevormde haakuitdrukkingen en alle gecollapste haakuitdrukkingen elementen zijn van een vector veld: het haakvectorveld. Om dit te ontwikkelen zullen we een nieuw begrip invoeren: een haakvector.
Om een vectorruimte op te bouwen op basis van het haakformalisme moeten we eerst het wiskundig formele begrip “veld” uitleggen. We gebruiken hierbij het begrip “verzameling” dat wiskundig een weinig bevredigende invulling krijgt, maar in het haakformalisme helemaal niet nodig is gezien zijn holistische benadering. Het haakformalisme wordt dan ook niet beperkt door een interpretatie die verzamelingen nodig heeft.
Een veld is een verzameling die is uitgerust met de bewerkingen optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling, waarbij de verzameling voor deze bewerkingen gesloten is. Daarnaast moeten zowel optelling als vermenigvuldiging associatief en commutatief zijn en moet ook de vermenigvuldiging distributief zijn ten opzichte van de optelling.
Een wiskundige structuur (V, ⊕ , •) die bestaat uit een niet-lege verzameling V, waarop twee bewerkingen zijn gedefinieerd die voldoen aan een aantal voorwaarden, is een veld als de twee groepsstructuren waarop het veld wordt gebaseerd: (V, ⊕) en (V \{ø}, •) commutatieve groepen zijn.
Een eerste stap is het definiëren van een binaire operatie, een product operatie die perfect compatibel moet zijn met het haakformalisme en binnen elk universum gesloten is.
Als we het haakformalisme onderzoeken op alle mogelijke combinaties van twee punten dan blijkt dat er een combinatie bestaat die geen eisen oplegt aan de waarde van de punten: <a<b>><<a>b>. Met een nieuw symbool noteren we dit als a•b waarbij de beide punten niet moeten herhaald worden. Dit komt overeen met het reeds geïntroduceerde <a↔b> of <a>↔b of a↔<b>
a•b heeft de waarde “ja”, dan en slechts dan wanneer a en b verschillende waarden hebben, zonder dat die hoeven gekozen te worden. In contrast hiermee staat dat <<a><b>> de waarde “ja” heeft, dan en slechts dan wanneer zowel a als b de waarde “ja” hebben, waarbij dus die bepaalde en dezelfde waarde moet gekozen worden, of in contrast staat ook ab waarbij minstens een van de beide punten de waarde <> moet hebben wil ab de waarde “ja” hebben.
a•b heeft dus hetzelfde karakter als de enkelvoudige punten (a, b, ...). Bij het enkelvoudig punt a zijn we ook niet verplicht te kiezen, we kunnen altijd a de waarde “ja” geven, of <a>, en daar de consequenties van onderzoeken. a•b is dus potentieel zoals een a en een b. Merk op dat a•b en zijn inbedding zich op het centraal niveau bevinden, daar waar zich ook a en b en hun inbedding bevinden, wat hun gemeenschappelijk karakter typeert.
We stellen nu vast dat a•b en <a>•<b> niet van elkaar te onderscheiden zijn, beide worden ze door dezelfde haakuitdrukking <a<b>><<a>b> voorgesteld. Dus a•b lijkt een goede kandidaat te zijn voor een productvorm waarbij punten met gelijke signatuur (+ en +, of - en -) tot een identieke uitkomst leiden. De eenheid van deze operatie blijkt <<>> te zijn aangezien a•<<>> identiek is met a. Als we de eenheid van signatuur veranderen in deze operatie, verandert ook de signatuur van a, dus a•<> is identiek met <a> (wat allemaal gemakkelijk te checken is met de haakvorm van a•b en de eenvoudige axioma's van het haakformalisme). Er geldt ook dat a•a identiek is met <<>> zodanig dat a zijn eigen invers is.
Met deze operatie kunnen trouwens alle punten bereikt worden van een onderscheidingentralie op basis van twee andere (wat niet kan gezegd worden voor de inbedding van de nevenschikking of <<a><b>> vorm, noch voor de nevenschikking of ab vorm: zij dwingen een samenstelling uitsluitend in één richting, voor <<a><b>> in de richting van <<>>, voor ab in de richting van <>).
We vormen nu producten als a•b, a•b•c, a•b•c•d, enz... Het zijn stuk voor stuk nieuwe punten die hetzelfde karakter hebben als de constituerende punten (a, b, c, enz...), en slechts uit de waarde van de constituerende punten een waarde kunnen krijgen. Zij zijn dus, op dezelfde manier als de constituerende onderscheidingen een potentiële basis om een universum op te bouwen.
Zoals a, b, a•b bevinden zij zich in alle onderscheidingen universa waarvan hun termen onderscheidingen zijn, op het centraal niveau.
Een tweede stap is het definiëren van een binaire operatie die alle karakteristieken heeft van een som en die perfect compatibel moet zijn met het haakformalisme.
We merken op dat we met de productvorm op een coherente manier een signatuur in het haakformalisme binnengebracht hebben. Een punt en zijn inbedding hebben, als we ze een waarde toekennen, een tegengestelde signatuur. Als <<>> fungeert als eenheid bij het product dan zouden we deze ook als +1 kunnen voorstellen en <> zou dan als -1 kunnen voorgesteld worden, waarbij we ons kunnen afvragen of we hier niet het embryo van een som operatie mee gedefinieerd hebben. Hierbij zou dan een nul als som kunnen ontstaan die de uitdrukking zou zijn van het axioma dat <> en <<>> niet in elkaar te transformeren zijn en/of dat sommige punten op de waarde van sommige structuren geen invloed hebben.
Het blijkt dat dit kan als men de onderscheidingen als vectoren beschouwt en de vectorcomponenten als de getallen -1 en +1 neemt en deze sommeert en vermenigvuldigt modulo 3 (met restklassen 0/, +1/, -1/ in plaats van 0/, +1/, +2/).
De groepstructuur (V, ⊕) stemt in dit geval overeen met de eindige commutatieve groep van de verzameling van de restklassen mod 3 of Z3 , of dus (V, ⊕) ≈ (Z3 , ⊕).
De somtabel:
|
⊕ |
<> |
X |
<<>> |
|
<> |
<<>> |
<> |
X |
|
X |
<> |
X |
<<>> |
|
<<>> |
X |
<<>> |
<> |
De groep (V, ⊕) ≈ (Z3 , ⊕) is een cyclische groep, waarbij de groep zowel wordt voortgebracht door het element <<>> (restklasse +1/) als door het element <> (restklasse –1/). De notatie X gebruiken we hier als de restklasse 0/.
Immers:
<>
<> ⊕ <> = <<>>
<> ⊕ <> ⊕ <> = X
X ⊕ <> = <>
...
en
<<>>
<<>> ⊕ <<>> = <>
<<>> ⊕ <<>> ⊕ <<>> = X
X ⊕ <<>> = <<>>
...
Het is duidelijk dat de groepsstructuur (V, ⊕) ≈ (Z3 ,⊕) beschikt over een neutraal element voor de optelling: X , en elk element in deze groep beschikt over een symmetrisch element:
het symmetrisch element van <> is <<>>
het symmetrisch element van <<>> is <<<>>> = <>
het symmetrisch element van X is <X> = X
het symmetrisch element van a is <a>
De andere groepsstructuur (V \{ø}, •) stemt overeen met elementen uit de eindige commutatieve groep van de verzameling van de restklassen (mod 3) of Z3 , of dus (V \{ø}, •) ≈ (Z3 ,•).
De vermenigvuldiging van twee elementen p en q uit de groep (V \{ø}, •) wordt dus genoteerd als p•q = q•p, en komt overeen met de inbedding van de transformatie ↔.
Het belangrijke is nu dat deze multiplicatieve groep niet beschikt over een nulelement: dit wordt per definitie altijd uitgesloten, daar anders de groepstructuur niet houdbaar is.
Dit betekent dan ook dat (V \{ø}, •) ≈ (Z3 ,•) slechts 2 elementen bevat i.p.v. 3 in de additieve versie van deze groep.
De producttabel:
|
• |
<> |
<<>> |
|
<> |
<<>> |
<> |
|
<<>> |
<> |
<<>> |
Ook de groep (V \{ø}, •) ≈ (Z3 ,•) is een cyclische groep, waarbij de groep nu uitsluitend wordt voortgebracht door het element <> (restklasse –1/).
Immers:
<>
<> • <> = <<>>
<> • <> • <> = <>
...
Een vectorveld (V, ⊕ , •) is in dit geval steeds een eindig veld met een exact aantal elementen. Het wordt gegenereerd door het aantal enkelvoudige onderscheidingen dat er initieel bij betrokken is. Om dit - waar nodig - beter te specificeren kunnen we de voorstellingswijze daar dan ook aan aanpassen en bv. het eindig vectorveld dat kan gestructureerd worden uitgaande van twee onderscheidingen b en a voor te stellen als: (Vb, a , ⊕ , •). Een dergelijk vectorveld kunnen we dan ook een 2-dimensionaal eindig vectorveld noemen, daar het vertrekt van 2 onderscheidingen. Op deze wijze wordt het dan mogelijk om onderscheid te maken tussen het vectorveld (Vc,b,a , ⊕ , •) met dimensie 3 en de erin bevatte vector-velden (Vb,a , ⊕ , •) , (Vc,a , ⊕ , •) en (Vc,b , ⊕ , •) met dimensie 2.
De volgende eigenschappen kunnen gemakkelijk bewezen worden door enkel de somtabel en producttabel te consulteren en worden hieronder op een klassieke wijze geformaliseerd. Hierbij zullen de kwantificaties en gebruikte symbolen refereren naar de predicaten logica als een interpretatie van het haakformalisme in een eindige dimensie en de verzamelingsymbolen naar de verzamelingenleer als een interpretatie van het haakformalisme. Beide kennisdomeinen zijn niet fundamenteel voor het haakformalisme, maar zijn er interpretaties van en worden elders uitgewerkt.
A) ∀p,q ∈ V : p ⊕ q ∈ V en p • q ∈ V Of: (V, ⊕ , •) is gesloten.
B) ∀p, q, r ∈ V : (p ⊕ q) ⊕ r = p ⊕ (q ⊕ r) en (p•q)•r = p•(q•r)
C)∃X ∈ V zodat ∀p ∈ V : p ⊕ X = X ⊕ p = p
D) ∀p ∈ V is er een <p> ∈ V waarvoor p ⊕ <p> = X en <p> ⊕ p = X
E) ∀p, q ∈ V : p ⊕ q = q ⊕ p
F) ∀p, q, r ∈ V : p•(q ⊕ r) = p•q ⊕ p•r
G) ∃<<>> ∈ V zodat ∀p ∈ V : p•<<>> = <<>>•p = p
H) ∀p ∈ V : p–1 ≠ X zodat p•p–1 = <<>> = p–1•p en: ∀p ∈ V is p–1 = p
I) ∀p, q ∈ V : p • q = q • p
J) X ≠ <<>> en X ≠ <>
K) ∀p, q ∈ V : p – q = p ⊕ <q>
L) ∀p,q ∈ V : p/q = p • q–1 = p • q
De voorwaarden A) tot F) drukken uit dat (V, ⊕ , •) een ringstructuur heeft. Daar ook aan alle andere voorwaarden G) tot J) is voldaan moeten we besluiten dat (V, ⊕ , •) een veld is. De voorwaarden K) en L) zijn specifiek voor het veld (V, ⊕ , •) en stellen aftrekken en delen voor in het haakvectorveld.