Om het haakformalisme in zijn binair model om te zetten moet men een welbepaald universum kiezen. Die keuze legt het aantal posities van de binaire string vast. Het grote voordeel van een binaire string is dat ermee positiegewijze kan gerekend worden. Om dit te illustreren nemen we de binaire tabel van een twee-onderscheidingen universum die dus 2² posities heeft:

Deze tabel is niet anders dan de volgende die de vertaling geeft van welgevormde haakuitdrukkingen in binaire strings, merk op dat we de volgorde van de string aangepast hebben om de één-op-één vertaling van 0 met <> en 1 met <<>> mogelijk te maken:

We merken nu op dat er een perfecte overeenkomst is tussen een afbeelding van een relatie (bijvoorbeeld nevenschikking) tussen haakuitdrukkingen en een afbeelding van een positiegewijze relatie tussen de binaire uitdrukkingen.

Voorbeeld voor een nevenschikking

De nevenschikking van <a><b> en <a<b>><<a>b> is <a><b><a<b>><<a>b>, dit kan gereduceerd worden tot <a><b>. Positiegewijze nevenschikking van <><><><<>> en <<>><><><<>> leidt tot <><><><<>>, wat de binaire vorm is van <a><b>.

We merken nu op dat dit (met de gekozen vertaling naar de conventionele binaire voorstelling) overeenkomt met een bitsgewijze AND (0001 AND 1001 is 0001).

Dit is perfect uitbreidbaar naar hogere universa, bijvoorbeeld in een drie-onderscheidingen universum:

Voorbeeld voor een inbedding van de inbedding van nevenschikkingen

De inbedding van de inbedding van nevenschikkingen van a en <b> is <<a>b>. De inbedding van a is <a>, in binaire vorm <><<>><><<>>, de inbedding van <b> is b, in binaire vorm <<>><<>><><>, de positiegewijze nevenschikking van beide is <><<>><><>, de inbedding van deze laatste is <<>><><<>><<>>, en dit is de binaire vorm van <<a>b>.

We merken nu op dat dit met de gekozen vertaling naar de conventionele binaire voorstelling overeenkomt met een bitsgewijze OR (1010 OR 0011 is 1011).

Dit is perfect uitbreidbaar naar hogere universa, bijvoorbeeld in een drie-onderscheidingen universum:

Voorbeeld voor de transformatie

De transformatie van a en b is <<<a>b><a<b>>>. Het verband tussen de binaire voorstellingen, namelijk <<>><><<>><>, <<>><<>><><> en <><<>><<>><> is: gelijke binaire voorstelling op dezelfde positie geeft aanleiding tot <>, verschillende binaire voorstelling op dezelfde positie geeft aanleiding tot <<>>.

We merken nu op dat dit met de gekozen vertaling naar de conventionele binaire voorstelling overeenkomt met een bitsgewijze XOR (1010 XOR 1100 is 0110).

Dit is perfect uitbreidbaar naar hogere universa, bijvoorbeeld in een drie-onderscheidingen universum:

Andere bitsgewijze logische connectieven, FALSE en TRUE

Er kan gemakkelijk gecontroleerd wordt dat dit ook geldt voor de inbedding van de relaties tussen welgevormde haakuitdrukkingen, waarbij dan de tegenhangers in de bitsgewijze logische connectieven NOT, NOR, NAND en XNOR gevonden worden.

Het is belangrijk erop te wijzen dat indien men <> of <<>> in bitsgewijze logische connectieven zou omzetten men FALSE en TRUE zou bekomen, waarmee een belangrijke interpretatieve stap gezet wordt die het formele overstijgt en waarvan de a priori elders zullen onderzocht worden.

Modulo 2 benadering

Het gevolg is dat het binair formalisme ook als een modulo 2 formalisme kan gezien worden.