In het haakformalisme onderscheiden we maar drie fundamentele relaties; een unaire relatie (1 vormend element): de inbedding, een binaire relatie (2 vormende elementen): de nevenschikking en een ternaire relatie: het creatief product met 3 vormende elementen.

Het creatief product van x en y is als een nevenschikking van nevenschikkingen als volgt gedefinieerd: <a<x>><<a><y>>, waarbij a staat voor een toegevoegd punt (bijvoorbeeld een welgevormde haakuitdrukking). Het creatief product is gedefinieerd wat ook de invulling zou zijn van de drie constituerende elementen.

Het creatief product van x en y noteren we als (x⊗y)_a. Het punt a is dan de “toegevoegde haakuitdrukking”.

Elk punt is als een creatief product te noteren met gelijk welke toegevoegd element, immers (x⊗x)_a=<a<x>><<a><x>>=x.

Emergentie

Met het creatief product kunnen we de relatie uitdrukken tussen welgevormde haakuitdrukkingen als een eigenschap die toegevoegd wordt juist door de relatie zelf. Inderdaad, de relatie dat x en a dezelfde waarde hebben die verder niet gekend is kunnen we als creatief product met 2 vormende elementen schrijven als (<x>⊗x)_a∼<ax><<a><x>>=<<a<x>><<a>x>>∼(<a>⊗a)_x

Met het creatief product kunnen we dus modelleren hoe onderscheidingen universa andere eigenschappen krijgen door emergentie, onder welke voorwaarden aspecten aan universa toegevoegd kunnen worden, en onder welke voorwaarden ze eruit weggelaten kunnen worden. Met het creatief product wordt het dus mogelijk niet alleen de verandering zelf, maar ook de dynamiek (de beperkende voorwaarden, bijvoorbeeld x en a moeten dezelfde waarde hebben) van verandering en tijd te modelleren.

Het creatief product is niet commutatief

De definitie maakt duidelijk dat het creatief product niet commutatief is. (x⊗y)_a is in welgevormde haakuitdrukking <a<x>><<a><y>> en daarentegen is (y⊗x)_a in welgevormde haakuitdrukking <a<y>><<a><x>> en beide hebben niet in alle gevallen dezelfde waarde.

Het creatief product maakt geen onderscheid tussen nevenschikking en inbedding van de transformatie

Het is een productvorm die geen verschil maakt tussen nevenschikking en de inbedding van de transformatie, dat betekent dat <a<x>><<a><y>> niet kan onderscheiden worden van <a<x>>•<<a><y>>. En dus ook kan <<a<x>><<a><y>>> niet kan onderscheiden worden van <<a<x>>•<<a><y>>>. De punten <a<x>> en <<a><y>> sluiten elkaar dus uit, inderdaad: de conjunctie van beide is <<>>. Daarentegen is de disjunctie van beide onderscheiden van <>.

Met het creatief product kunnen we dus uitdrukken hoe universa evolueren (veranderen van toestand terwijl de toestanden elkaar uitsluiten).

We noteren: (x⊗y)_a∼<a<x>><<a><y>>↔<a<x>>•<<a><y>>

De inbedding van het creatief product

We bewijzen dat <(x⊗y)_a>∼<ax><<a>y>

Bewijs: we bewijzen dat <a<x>><<a><y>> XOR <ax><<a>y> altijd ervaren is.

<<a<x>><<a><y>><<ax><<a>y>>><<<a<x>><<a><y>>><ax><<a>y>>

<<<ax<a<x>><<a><y>>><<a>y<a<x>><<a><y>>>>><<<a<x><ax><<a>y>><<a><y><ax><<a>y>>>>

<ax><<a>y><a<x>><<a><y>>

<<<ax><a<x>>>><<<<a>y><<a><y>>>>

<a<<x><<x>>>><<a><<y><<y>>>>

<a<<x>x>><<a><<y>y>>

<a><<a>>

<>

QED

Gevolg: <(x⊗y)_a>∼<ax><<a>y>∼(<x>⊗<y>)_a

Noteer vanuit de toegevoegde onderscheiding geldt:

(x⊗y)_<a> ∼ <<a><x>><a<y>> en dus <(x⊗y)_<a>> ∼ <<a>x><ay> ∼ <(y⊗x)_a>∼<ay><<a>x>∼(<y>⊗<x>)_a

Er geldt dus (x⊗y)_a ∼ (y⊗x)_<a> en <(x⊗y)_a> ∼ <(y⊗x)_<a>> en (<x>⊗<y>)_a ∼ (<y>⊗<x>)_<a>

Het creatief product als disjunctie en conjunctie

Het creatief product (x⊗y)_a is als disjunctie geschreven: <a<x>><<a><y>> ∼ <<ax><<a>y>> als conjunctie geschreven. Binnen hetzelfde universum zijn dus deze twee punten niet van elkaar te onderscheiden.

Gevolg: aangezien AND-atomen enkel als conjunctie kunnen geschreven worden en OR-atomen enkel als disjunctie kunnen geschreven worden zullen deze als tweede term van het product enkel <> of <<>> kunnen hebben. Bijvoorbeeld: (<<>>⊗y)_a ∼ <a<<<>>>><<a><y>> ∼ <<a><y>>. Op die manier kunnen we een universum inductief uitbreiden.

Vernesting

In de relatie van simultaneïteit bevindt het creatief product (x⊗y)_a zich altijd tussen de conjunctie en de disjunctie van de termen. Het is die vernesting die voor de tralie structuur zorgt.

We bewijzen dat de conjunctie <<x><y>>ruimer is dan het creatief product <a<x>><<a><y>>.

<<<x><y>>><a<x>><<a><y>>

<x><y><a><<a>>

<x><y><a>a

<x><y><>

<>

QED

We bewijzen dat de disjunctie xy fijner is dan het creatief product

<<a<x>><<a><y>>>xy

<<a<>><<a><>>>xy

<>xy

<>

QED

Noteer dat het vectorproduct of zijn inbedding geen relatie van simultaneïteit heeft met het creatief product.

Bijvoorbeeld: geldt <xy><<x><y>><<a<x>><<a><y>>>, of is creatief product ruimer dan transformatie?

<<a<x><xy><<x><y>>><<a><y><xy><<x><y>>>>

<<a<x>y><<a><y>x>>

Neen, deze uitdrukking kan niet verder gereduceerd worden.

Geldt <x<y>><<x>y><a<x>><<a><y>>, of is transformatie ruimer dan creatief product?

Neen, deze uitdrukking kan niet verder gereduceerd worden.

Creatief product en vector product

We onderzoeken wanneer het creatief product van x en y niet verschillend is van het vectorproduct

Wanneer nu enkel de gelijke rijen behouden worden dan blijkt dat dit enkel het geval is als x en y elkaar uitsluiten (hun conjunctie is <<>>):

Dat is enkel een noodzakelijke voorwaarde, niet voldoende want de gelijkheid is afhankelijk van de waarde van de toegevoegde onderscheiding. Is a gelijk aan <<>> dan kan alleen maar de eerste term van (x⊗y)_a waarde <> hebben, heeft a waarde <> dan kan alleen maar de tweede term van (x⊗y)_a waarde <> hebben. Het is enkel als beide termen waarde <<>> hebben dat de vergelijking opgaat, wat ook de waarde is van de toegevoegde onderscheiding.

De tabel maakt ook duidelijk dat er in dat geval geen verschil is tussen het creatief product, het vectorproduct en de nevenschikking van de termen.

Interpretatie van het creatief product

De tabel van de uitdrukking illustreert de volgende interpretatie: heeft a waarde <>, dan volgt de uitdrukking de waarde van y, heeft a waarde <<>>, dan volgt de uitdrukking de waarde van x.

Dit kan geïnterpreteerd worden als: “indien a, dan y, zoniet x” of in computer terminologie “if... then..., else...”. Op die manier geformuleerd is het creatief product een productie regel omdat het op een voorspelbare manier mogelijk maakt om door een keuze een gewenste andere keuze te maken. Het creatief product modelleert dus toepasbare kennis (een op een beheerste manier herhaalbare relatie tussen aspecten van de werkelijkheid die ontstaat als resultaat van empirie of een “trial and error” methode).

We moeten dit goed begrijpen: a een waarde geven betekent geen verschil kunnen maken met <> (of met <<>>), daarbij voeren we dus een transformatie uit en daarmee collapst de tralie naar een tralie met minder potentiële (mogelijk te kiezen) punten (punten die nog geen waarde toegekend kregen). Wanneer we dit doen vanuit het creatief product dan kunnen we EXACT voorspellen welke welgevormde haakuitdrukking, dus welke potentiële structuur bereikt zal worden, het is ofwel x ofwel y. Zowel x als y kunnen staan voor volwaardige potentiële tralies die daarenboven geen relatie moeten hebben met elkaar. Het is die voorspellende kracht die we toepasbare kennis noemen: de tralie van de werkelijkheid wordt als volwaardige tralie getransformeerd.

Visualisatie

Het creatief product kan gevisualiseerd worden als de drie Boromeïsche ringen waarvoor geldt dat ze een onverbrekelijke eenheid vormen zonder dat ze twee-aan-twee met elkaar verbonden zijn.