Veel inzichten die dank zij het haakformalisme transparant kunnen gemodelleerd worden hebben te maken met de gevolgen van een dikwijls impliciete veronderstelling in de klassieke wetenschappen. Deze impliciete veronderstelling is de volgende: de beschouwde punten kunnen niet simultaan verwezenlijkt worden. Met ander woorden: er wordt verondersteld dat hun logische AND (of conjunctie) onmogelijk is. Dit uit zich bijvoorbeeld als ruimte-tijd: geen deeltje kan zich simultaan in twee verschillende gebieden in de ruimte-tijd bevinden. Dat leidt ook tot de paradoxen in de kwantum wereld waarbij men uiteindelijk moest gaan aanvaarden dat bijvoorbeeld elektronen zich niet onderscheiden van elkaar. Soms wordt dit nog verengd tot de veronderstelling dat de enige punten die niet simultaan verwezenlijk kunnen worden atomen zijn en aangezien een atoom van een tralie een relatie is tussen alle onderscheidingen van een tralie veronderstelt men dan impliciet dat het onderscheidingen universum gekend is en vastligt. Men wil dan alles aanpakken vanuit een atomair wereldbeeld.
Dit heeft vergaande gevolgen waarvan het voornaamste wellicht is dat hierdoor een inzicht in de disjunctie verduisterd wordt, namelijk: er is een verschil tussen “de inbedding van een transformatie” (wat logisch overeenkomt met een XOR) en “de nevenschikking” (wat logisch overeenkomt met een OR) wat onmiddellijk duidelijk wordt door beide tabellen met elkaar te vergelijken.
Wanneer de conjunctie van twee welgevormde haakuitdrukkingen onmogelijk is zullen we zeggen dat ze elkaar uitsluiten. Het onvermijdelijke duaal staat dan voor elkaar insluiten: de disjunctie van twee welgevormde haakuitdrukkingen is onvermijdelijk ervaren.
We zullen nu bewijzen dat enkel in het geval van elkaar uitsluitende punten (de logische AND is onmogelijk te kiezen) er geen verschil is tussen de logische XOR en de logische OR. We zullen ook aantonen dat de logische XOR de logische OR impliceert of correcter: de logische XOR realiseert simultaan de logische OR.
We beschouwen twee onderscheidingen: a en b. Veronderstel dat er geldt dat de XOR van a en b en de OR van a en b dezelfde ervaringswaarde hebben.
Te bewijzen: aANDb heeft ervaringswaarde <<>>, formeel <<a><b>>↔<<>>
Bewijs:
1. Tussenstap
We merken eerst op dat <<a><b>>↔<<>> ook kan geschreven worden als <a><b>↔<>. We merken dan op dat <a><b>↔ <> niet te onderscheiden is van <a><b>.
Wat we dus moeten bewijzen is dat <a><b> af te leiden is uit de uitdrukking "de XOR van a en b en de OR van a en b hebben dezelfde ervaringswaarde".
2. Uitdrukking waarvan moet vertrokken worden
We beginnen om de woordelijke uitdrukking "de XOR van a en b en de OR van a en b hebben dezelfde ervaringswaarde" formeel om te zetten. We zetten die om in een haakuitdrukking in verschillende stappen:
aXORb is <a<b>><<a>b>, dit noemen we haakuitdrukking (1)
aORb is ab, dit noemen we haakuitdrukking (2)
Twee punten x en y hebben dezelfde ervaringswaarde als geldt: <<x<y>><<x>y>>. Hierin vervangen we nu x door de uitdrukking (1) en y door de uitdrukking (2):
<<<a<b>><<a>b><ab>><<<a<b>><<a>b>>ab>> en dit noemen we (3). Dit is dus de formele haakuitdrukking voor "de XOR van a en b en de OR van a en b hebben dezelfde ervaringswaarde".
3. Formeel bewijs
We moeten dus bewijzen dat (3) te reduceren is tot <a><b>. Alternatief zouden we ook kunnen bewijzen dat er geldt (3)↔<a><b>, beide hebben altijd dezelfde ervaringswaarde.
4. Start bewijs
(3) kunnen we vereenvoudigen door toepassen van de stellingen.
We herhalen de uitdrukking (3) en onderstrepen het deel waarmee we beginnen bij de reductie:
<<<a<b>><<a>b><ab>><<<a<b>><<a>b>>ab>>
Merk op dat dat deel welgevormd is. Voor alle duidelijkheid voegen we een aantal blanco posities tussen die dit illustreren: <<<a<b>><<a>b><ab>>< <<a<b>><<a>b>>ab >>
We passen nu het gevolg van stelling 7 toe.
Stelling 7 geeft dat er geldt: <pq>q ↔ <p>q, en het gevolg geeft dat de q kan geschrapt worden in elke ingebedde haak binnen de eerste haak.
We merken dit patroon in de nevenschikking die onderlijnd werd waarbij het patroon geldt zowel voor q als a als voor q als b.
<<a<b>><<a>b>>ab
We kunnen dus a schrappen binnen de ingebedde haken
<<<b>><<>b>>ab
We kunnen dus ook b schrappen binnen de ingebedde haken
<<<>><<>>>ab
Nu passen we axioma 2 toe (<<>> is altijd te schrappen):
<>ab
Nu passen we Stelling 4 toe (<> slorpt alle nevengeschikte punten op) en het resultaat is
<>
Het onderstreepte gedeelte van de uitdrukking (3) kan dus vervangen worden door <>, wat resulteert in <<<a<b>><<a>b><ab>><<>>>
Hierop passen we axioma 2 toe waarbij <<>> verdwijnt:
<<<a<b>><<a>b><ab>>>
Dit is een uitdrukking tussen dubbele haken waarop we stelling 6 toepassen die zegt dat de dubbele haken kunnen verwijderd worden:
<a<b>><<a>b><ab> en we noemen deze uitdrukking (4)
We onderlijnen nu terug een welgevormd deel in (4) dat we verder gaan reduceren:
<a<b>><<a>b><ab>
Dit deel is dus
<<a>b><ab>
Hierop passen we stelling 6 toe die zegt dat we altijd dubbele haken kunnen invoegen:
<<a><<b>>><ab>
Hierop passen we stelling 9 toe, die zegt: <<a1p><a2p>...<aip>...<anp>> ↔ <<a1><a2>...<ai>...<an>>p met n eindig
We zien dus dat we de haak <ab> binnen dubbele haken kunnen brengen.
<<a<ab>><<b><ab>>>
Hierop passen we stelling 6 toe die zegt dat we altijd dubbele haken kunnen invoegen:
<<a<ab>><<b><a<<b>>>>>
We passen nu stelling 7 toe met a in het eerste welgevormd deel
<<a<b>><<b><a<<b>>>>>
We passen nu stelling 7 toe met b in het tweede welgevormd deel
<<a<b>><<b><a<>>>>
Nu passen we stelling 4 toe (<> slorpt alle nevengeschikte punten op) en het resultaat is
<<a<b>><<b><<>>>>
Met axioma 2 kunnen we <<>> weglaten:
<<a<b>><<b>>>
We kunnen dubbele haken weglaten (stelling 6)
<<a<b>>b>
We passen terug stelling 7 toe:
<<a<>>b>
Stelling 4 zegt dat <> opslorpt:
<<<>>b>
Axioma 2 laat toe om <<>> te schrappen:
<b>
Nu kunnen we het onderlijnde deel in uitdrukking (4) vervangen door zijn gereduceerde vorm en dit geeft:
<a<b>><b>
Hierop passen we dan weer stelling 7 toe
<a><b>
Dus de totale uitdrukking (3), namelijk <<<a<b>><<a>b><ab>><<<a<b>><<a>b>>ab>> hebben we gereduceerd tot <a><b>.
QED
aXNORb is <<a<b>><<a>b>>, dit noemen we haakuitdrukking (1)
aANDb is <<a><b>>, dit noemen we haakuitdrukking (2)
Twee punten x en y hebben dezelfde ervaringswaarde als geldt: <<x<y>><<x>y>>. Hierin vervangen we nu x door de uitdrukking (1) en y door de uitdrukking (2) en reduceren onmiddellijk:
<<<<a<b>><<a>b>><<<a><b>>>><<<<a<b>><<a>b>>><<a><b>>>>
<<<<a<b>><<a>b>><a><b>><<a<b>><<a>b><<a><b>>>>
<<<<<>>><a><b>><<a<b>><<a<<a>b>><b<<a>b>>>>>
<<<a<b>><<a<<>b>><b<<a>>>>>>
<<<a<b>><<a>>>>
<<<a<b>>a>>
ab
QED
Bewijs:
We drukken de hypothese uit in welgevormde haakuitdrukking en bewijzen dat deze te reduceren is tot <>.
De inbedding van de transformatie van a en b is <a<b>><<a>b>
De nevenschikking van a en b is ab
De simultaneïteit van beide uitdrukkingen is <<a<b>><<a>b>>ab
We reduceren:
<<a<b>><<a>b>>ab
<<<>><<>>>ab door toepassing van stelling 7 zowel voor a als voor b
<>ab door toepassing van axioma 2
<> door toepassing van stelling 4
QED
aXNORb is <<a<b>><<a>b>>
aANDb is <<a><b>>
<<<a><b>>><<a<b>><<a>b>> is de uitdrukking die te bewijzen is
<<<a><b>>><<a<b>><<a>b>>
<a><b><<a<b>><<a>b>>
<a><b><<<><b>><b>>
<a><b><<b>>
<a><b>b
<>
QED
Stel dat b fijner is dan a, dus dat er geldt dat <a>b niet verschillend is van <>. Volledig equivalent is dat <<a>b> niet verschillend is van <<>>. Hier moeten we niet tussen kiezen.
Stel nu dat we niet weten dat b fijner is dan a, het zou ook kunnen zijn dat a fijner is b, en stel dat we dat willen onderzoeken. Logisch geredeneerd zouden we de disjunctie van <a>b en a<b> kunnen onderzoeken, maar als welgevormde haakuitdrukking is dit <a>ba<b> en die uitdrukking heeft altijd de waarde <> maar niet omwille van de relatie tussen a en b maar omwille van de relatie tussen “a en <a>” of “b en <b>”. De te onderzoeken uitdrukking kan correcter als <<a>b><a<b>> geschreven worden die we onderzoeken op zijn verschillend zijn van <<>>.