De structuur van de werkelijkheid hebben we formeel gemodelleerd door ook een modulaire afbeelding te gebruiken. Zo begrijpen we de binaire benadering van het haakformalisme als een modulo2 benadering en de vectorvertaling van het haakformalisme als een modulo3 benadering.

De modulo2 benadering vereist enkel het inzicht in een verschil: twee aspecten zijn onvermijdelijk simultaan aanwezig maar onderscheiden zich. De modulo3 benadering voegt daar een neutrale positie aan toe die kan uitdrukken dat men een standpunt kan innemen waarin het modulo2 onderscheid niet relevant is, wat kan geïnterpreteerd worden dat alle aspecten van de werkelijkheid dezelfde waarde hebben (ofwel “ja” ofwel “neen”) zonder dat een beslissing moet genomen worden wat die waarde wel is.

Die structuur laat ons toe relaties tussen eenheden te modelleren en aan elk van die eenheden kan een intensiteit toegewezen worden.

Men kan zich nu afvragen of dit verder uitbreidbaar is. Uiteindelijk is het rekenen modulo m een operatie die ook voldoet aan de vereiste rekenregels voor getalsom en getalproduct (dit zijn voorbeelden van binaire operaties zoals conjunctie en disjunctie dat zijn) die de eenheid van de operatie ongemoeid laten en enkel ageren op de intensiteiten. Inderdaad gelden de volgende gelijkheden:

• a(mod m)+b(mod m)=(a+b)(mod m) met neutraal element 0(mod m) en eenheid 1(mod m)

• a(mod m)×b(mod m)=(a×b)(mod m) met neutraal element 1(mod m) en eenheid 1(mod m).

Het modulo rekenen maakt gebruik van de natuurlijke getallen en uiteindelijk is elke waarneming van de intensiteit van een eenheid een natuurlijk getal (we nemen een “natuurlijk getal aantal” koeien waar, of we nemen een “natuurlijk getal aantal” eenheden waar van de kleinste eenheid die we kunnen waarnemen). De andere getallen ontstaan wanneer men met natuurlijke getallen berekeningen uitvoert (en dus wanneer men modellen bouwt met getallen die hierdoor een relatie krijgen met elkaar die al dan niet waarneembaar is in werkelijkheid).

Daarenboven is het modulo rekenen een rekenen met patronen die ontstaan in getallen door een transformatie, een operatie (in dit geval een deling, het invers ten opzichte van de eenheid met behulp van een product). Van zodra men verder gaat dan modulo3 kunnen we vaststellen dat nieuwe eenheden ontstaan die anders zijn dan elkaars involutie. Inderdaad: a(mod m) kan een andere eenheid zijn dan b(mod m) zonder dat de restklasse /-1 of /+1 is, en ook hun som(mod m) kan verschillend zijn van nul. Van zodra men verder gaat dan modulo3 ontstaan dus nieuwe categorieën van getallen en we kunnen ons afvragen welk hun relatie is. Hier raken we aan de getaltheorie want daar wordt ook die vraag gesteld.

We gaan daarom één stap verder en onderzoeken nu wat de voorwaarden zijn om een modulo4 model van de werkelijkheid te construeren.

De modulo4 benadering telt 4 restklassen: /0, /1, /2, /3 die ook als volgt kunnen genoteerd worden /0, /+1, /+2=/-2, /-1. Hierin nemen de even getallen die geen viertal zijn een positie in die een symmetrie kan uitdrukken en rechtstreeks gelinkt is met modulo2.

Een modulo4 benadering van welgevormde haakuitdrukkingen zullen we vanuit de voorwaarden opbouwen voor het inzetten van getallen en we lijsten eerst wat die dan wel zijn.

• Elke welgevormde haakuitdrukking kan geschreven worden als een transformatie van het type e•f•q•s•(<>⊕<f>⊕e⊕<e•f>) = <e•f•p•s>•(<>⊕f⊕e⊕e•f) = e•f•q•r•(<>⊕<f>⊕<e>⊕e•f) = e•f•p•r•(<>⊕f⊕<e>⊕<e•f>) en de veronderstelling dat e•f↔<<>>, dus e↔f of dus p•q↔r•s is het creatief product (r•p⊗s•q)s•r=(r•p⊗s•q)<p•q>=<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q associatief en dit is ook een voorwaarde die men moet aannemen voor het telbaar zijn van entiteiten. De welgevormde haakuitdrukking krijgt dan de waarde s•p=s•q=r•p=r•q en is dus ook de som van deze vier. Het vectorproduct is associatief, zoals vereist voor getallen. Het universum dat opgespannen wordt door de “eenheden” die dezelfde waarde toegekend kregen (waarde die niet bekend is) bestaat dan uit slechts vier punten: <<>>, e⊕e, <e>⊕<e>, <> (of volledig gelijkwaardig <<>>, f⊕f, <f>⊕<f>, <>). Merk op dat we expliciet de som vermelden omdat sommeren een essentiële voorwaarde is om te kunnen tellen. Deze vier punten vormen de tralie van de klassieke hypothese. Het resultaat van deze veronderstelling is een gewogen eenheid, een vectorproduct van twee welgevormde haakuitdrukkingen.

• Het kwadraat van het creatief product wordt eveneens geconstrueerd met de veronderstelling r•p↔s•q dus ook r•s↔p•q en p•q•r•s↔<<>> of dus e•f↔<<>>. Dat is eveneens het toekennen van een waarde. Deze voorwaarde is dezelfde voorwaarde die men moet aannemen voor het telbaar zijn van entiteiten. De vier componenten van het creatief product zijn van dezelfde soort, hebben dezelfde ervaringswaarde die verder niet gekend moet zijn. Alle welgevormde haakuitdrukkingen kunnen als creatief product uitgedrukt worden. Het creatief kwadraat is idempotent, we kunnen dus veronderstellen dat we enkel werken met de creatieve kwadraten van welgevormde haakuitdrukkingen en dan kunnen we ze behandelen als telbare entiteiten en dus kunnen we getallen inzetten. Idempotentie is de onderliggende eigenschap van een soort, een telbare eenheid. De algemene 3&1 som is dan ook een som van kwadraten van het creatief product.

• Alle welgevormde haakuitdrukkingen kunnen zich gedragen als coëfficiënten (getallen in een bepaalde basis), en uiteindelijk ook als coördinaten.

• Wanneer we optellen met conjuncties (en hiermee dus de positieve richting definiëren, de richting van toenemende onderscheidingen) dan “zijn” alle getallen conjuncties met waarde <<>> die dus voldoen aan het 3&1 patroon. Die getallen worden opgesplitst in twee mogelijkheden die contradualerende atomen zijn en voor elke conjunctie (getal) is er een conjunctie (getal) waarmee het product gelijk is aan 1. We hebben immers gezien dat elke eenheid kan voorgesteld worden door het product <ℵ<p>>•<<ℵ><q>> dat niet verschillend is van de disjunctie <ℵ<p>><<ℵ><q>> en kan geschreven worden als (p⊗q)_ℵ. Wanneer p en q elkaar uitsluiten dan is dit niet verschillend van p•q en dus ook pq. De eenheid is dus minstens één minder dan een atoom met waarde <<>>. <ℵ<p>> en <<ℵ><q>> zijn contradualerende AND-atomen en slechts als vectorsom voor te stellen (als vectorproduct zijn ze enkel met <<>> voor te stellen).

• We kunnen de getallen a(mod m) op een nieuwe manier bekijken en expliciteren als dubbelgetallen (als een 1-splitsing). Bijvoorbeeld: neem 11(mod 4), dit is niet anders dan de vrije keuze (dus de disjunctie) tussen de dubbelgetallen (8+3) of (12-1) en dus in 1-splitsing formaat (8, +3) of (12, -1). Dus de verhouding 11/4 is niet anders dan de disjunctie van (2, +3/4) en (3, -1/4).

• Er is duidelijk een isomorfisme tussen het 2-splitsing universum en de quaternionen (som van vier telbare eenheden) en dat isomorfisme kan als matrix operator ingezet worden waarin de operator enkel getallen als cellen heeft.

Dus om welgevormde haakuitdrukkingen, die atomen zijn in een universum en elkaar dus uitsluiten, als getallen (of coördinaten) te kunnen inzetten, dan moeten we sommen van producten met elkaar kunnen optellen en vermenigvuldigen, in het geval van telbare eenheden (die elkaar uitsluiten) zijn dat dus kwadraten. De eis om dezelfde eenheid te kunnen gebruiken wordt dan de eis dat alle bewerkingen (getalsom en getalproduct) die eenheid ongemoeid laten en daar zijn vermoedelijk meer veronderstellingen bij nodig dan in het geval van conjunctie en disjunctie. Dit moeten we in een taal kunnen uitdrukken die van (atoom)patronen uitgaat:

• dus moet de som van een welbepaald patroon van “som van 4 kwadraten” (elke term van de som (r•p⊗s•q)_s•r=<r•p>•<<>>⊕<s•q>•<<>>⊕<s•p>•<<>>⊕r•q•<<>> kan als een kwadraat geschreven worden), dat ook een gewogen atoom kan voorstellen, geschreven kunnen worden als terug dat welbepaald patroon van “som van kwadraten”, dit is dus de eis dat de “soort som” niet verandert door te sommeren.

• dus moet het product van datzelfde welbepaald patroon van “som van 4 kwadraten” geschreven kunnen worden als terug dat welbepaald patroon van “som van kwadraten”, dit is dus de eis dat dezelfde “soort som” niet verandert door te vermenigvuldigen.

We zien hier een nieuwe abstractie opduiken: een “soort som van 4 kwadraten” die dus de functie inneemt van een telbare eenheid.

De eerste eis vergt geen bijkomende voorwaarden, maar de tweede eis is meer intrigerend: als er een patroon (een soort-karakteristiek of vorm-karakteristiek) moet gelden voor een getalproduct, symbolisch dus voorgesteld als (soort)×(soort) = (soort) dan moet dat ook gelden voor elk priemgetal. Dit zijn immers getallen die enkel als product van zichzelf met 1 kunnen voorgesteld worden. Zij zijn dus niet te bekomen als product van twee andere getallen en voor de vermenigvuldiging zijn ze dus een nieuwe soort, een nieuwe eenheid. Dit betekent dus dat er moet gelden voor ELK priemgetal dat het van een bepaalde soort is van een som van kwadraten van getallen.

Pierre de Fermat

Nu blijkt dat aan deze bijkomende voorwaarde verrassend eenvoudig te voldoen is. Inspirerend hierbij was het onderzoek van de Vlaamse wiskundige René Coppitters (De universele getaltheorie, Wortegem-Petegem, uitgegeven in eigen beheer 1998). We doen dit door een volgende stap te nemen met de modulaire methodiek. We laten ons inspireren door het al heel lang bekende feit (Pierre de Fermat, Euler) dat alle oneven priemgetallen die een som van twee kwadraten zijn bij deling door 4 rest 1 geven. Die priemgetallen kunnen dus beschouwd worden als behorend tot de “soort 1”, op dezelfde manier als dat we de restklassen modulo3 als “van een andere soort” beschouwd hebben en bijvoorbeeld de “soort -1” en de “soort 0” konden definiëren. Het is daarenboven opvallend dat er maar één even getal als som van twee kwadraten kan geschreven worden, en dat is het getal 2 dat gelijk is aan de som: 1²+1². Maar de vorm van de som van twee kwadraten kan ook geïnterpreteerd worden als een verschil van twee kwadraten, want een van de kwadraten kan “als kwadraat” ingebed zijn, dus a²-b². Merk op dat de vorm a²-b² geschreven kan worden als het product (a+b)(a-b). Dus, als a²-b² een priemgetal moet zijn, is (a-b)=1 de enige mogelijkheid, en dit resulteert altijd in een unieke oplossing voor a en b (dit werd reeds door Pierre de Fermat opgemerkt).

We gaan nu het getal 4 als modulo gebruiken. Inderdaad, alle getallen kunnen gedeeld worden door vier en dus in vier restklassen ondergebracht worden na deling door 4, namelijk de restklasse /0, /1, /2, /3. Uiteraard kunnen dan alle priemgetallen enkel in drie van die vier restklassen verschijnen.

Een eerste vaststelling is dat alle priemgetallen, behalve het getal 2, in het patroon a²-b² kunnen geschreven worden. Het enige priemgetal dat in de restklasse /2 kan terechtkomen is 2 zelf. Ofwel zullen alle andere priemgetallen dan in de restklasse 1 terechtkomen, ofwel komen ze terecht in de restklasse 3. Aangezien alle priemgetallen kunnen gedeeld worden door 4 betekent dit dat deze onderverdeling geldt voor alle priemgetallen.

Onze hypothese is nu dat elk priemgetal kan geschreven worden als volgt (waarbij a en b gehele getallen zijn)

1. ofwel als a²+b²

2. ofwel als a²-b²

3. ofwel in beide vormen

Het enige priemgetal dat als een som van twee kwadraten in de restklasse /2 kan terechtkomen is 2 zelf. Voor sommige priemgetallen hebben we de vrije keuze welk patroon we gebruiken, a²-b² of a²+b², dat zijn de priemgetallen uit de restklasse /1. Die priemgetallen realiseren dus een disjunctie van twee patronen. Hier ontstaat dus een tralie met als supremum het getal 1 en infimum de getallen met als patroon “a²-b² of a²+b²”, (merk op: deze “of” is niet exclusief) en twee patronen op centraal niveau: “a²-b²” enerzijds en “a²+b²” anderzijds. Een duidelijke 1-splitsing die we kunnen normeren met a² om dan 1+(b/a)² en 1-(b/a)² op centraal niveau te vinden.

In de onderstaande tabel demonstreren we dat voor de 25 priemgetallen kleiner dan 100. In de tabel zijn de koppels getallen (a, b) weergegeven die de priemgetallen vormen uit de eerste kolom. Dit zijn geordende koppels wat duidelijk wordt bij de berekening van het patroon a²-b² dat een positief getal moet opleveren. Geordende koppels hebben we kunnen modelleren in het 1-splitsing universum en op deze manier is alles wat we nu gaan exploreren compatibel met alle andere onderzoeken.

Een extensieve lijst aanleggen is uiteraard geen bewijs en een bewijs kan slechts geleverd worden als de relaties met een welgevormde haakuitdrukking volledig begrepen zijn (en de relatie met de 3&1 som).

De vermenigvuldiging van priemgetallen van dezelfde soort zal terug een getal van dezelfde soort opleveren. Het duale van de werkelijkheid herkennen we dan als we opmerken dat er telkens twee oplossingen zullen zijn, dus een product is op twee manieren te schrijven als een som (of verschil) van twee kwadraten. (We gebruiken hier de nevenschikking als een alternatieve vorm voor het getalproduct ×)

Voor (a²+b²)(c²+d²) = x² + y² geldt

Oplossing 1: x = ac - bd en y = bc + ad

Oplossing 2: x = ac + bd en y = bc – ad

De som van vier kwadraten herkennen we in (a²+b²)(c²+d²) = a²c²+b²c²+a²d²+b²d² en we merken op dat dit geen 3&1 som is. Getallen zullen dus niet zomaar af te beelden zijn op een welgevormde haakuitdrukking met een eenheid als som van vier eenheden met dezelfde waarde. Een afbeelding op een niet welgevormde haakuitdrukking moet dan wel mogelijk zijn.

Voor (a²-b²)(c²-d²) = x² – y² geldt

Oplossing 1: x = ac - bd en y = bc - ad

Oplossing 2: x = ac + bd en y = bc + ad

De som van vier kwadraten herkennen we in (a²-b²)(c²-d²) = a²c²-b²c²-a²d²+b²d² en we merken op dat dit eveneens geen 3&1 som is.

Aangezien elk getal als een product van priemgetallen kan geschreven worden, hebben we dus bewezen dat elk getal als een som (of verschil) van kwadraten kan geschreven worden.

Bijvoorbeeld: neem 19 (als patroon is dit een verschil van twee kwadraten, namelijk 10²-9²) en neem 29 (als verschil van twee kwadraten is dit 15²-14²). Het product van beide is 19×29=551. Dit moet terug hetzelfde patroon zijn (een verschil van twee kwadraten). Wat is dat dan? Dus ac-bd is 150-126=24 en bc-ad is 135-140=-5 dus 24²-5²=551 is een eerste oplossing. Of ac+bd is 150+126=276 en 135+140=275 dus 276²-275²=551 is de tweede oplossing.

We kunnen nu grotere getallen als product van priemgetallen construeren en de uitwerking (a²+b²)(c²+d²)(e²-f²) = (a²c²+b²c²+a²d²+b²d²)(e²-f²) = (a²c²+b²c²+a²d²+b²d²)e²-(a²c²+b²c²+a²d²+b²d²)f² toont aan dat dit altijd zal resulteren in een viervoud plus tekens, of in een viervoud van tekens waarvan de helft een viervoud plus tekens is en de andere helft hiervan een viervoud min tekens.

Modulo vier en kwadraten

We tonen nu aan dat het kwadraat van gelijk welk geheel getal ofwel een viervoud is ofwel van de soort “restklasse 1” is. Dit geeft dus voor kwadraten een strikt binaire opsplitsing die dus isomorf is met modulo2 en dus kunnen we kwadraten gebruiken om de structuur van de werkelijkheid met getalsymbolen te reconstrueren. Inderdaad: neem een willekeurig getal, bevindt het zich in restklasse 0 dan is dat ook zo voor het kwadraat want 0²=0, bevindt het zich in restklasse 1 dan is dat ook zo voor het kwadraat want 1²=1, bevindt het zich in restklasse 2 dan bevindt het kwadraat zich in restklasse 0 want 2²=4, bevindt het zich in restklasse 3 dan bevindt het kwadraat zich in restklasse 1 want 3²=9 en 9=8+1. De operatie in dit modulo2 model is het product: het product van twee kwadraten van dezelfde soort levert 0 of 1 op. Merk op: dit zijn getallen en geen laagbit versus hoogbit. Dus het product van dat product levert eveneens 0 of 1 op. Het product van kwadraten gedraagt zich dus als een disjunctie van gecollapste haakuitdrukkingen met als waarden 1 en 0 en is dus in te zetten in het model van relevantie. Merk op dat de som van kwadraten niet altijd een kwadraat is, de som is dus geen operatie die gesloten is, enkel het product is gesloten.

De stelling van Pythagoras

De modulo4 structuur herkennen we bijvoorbeeld ook in de stelling van Pythagoras. Immers: veronderstel dat a=c en b=d dus (a²+b²)(c²+d²) = x² + y² wordt dan (a²+b²)² = x² + y², en dat zijn dus de drie kwadraten uit de stelling van Pythagoras. We kunnen ook begrijpen dat dit speciaal geval één van beide oplossingen van de vergelijking (a²+b²)(c²+d²) = x² + y² nul maakt. Immers (a²+b²)(c²+d²) = x² + y² geldt

Oplossing 1: x = ac - bd en y = bc + ad en als a=c en b=d dan is x=0

Oplossing 2: x = ac + bd en y = bc – ad en als a=c en b=d dan is y=0

De stelling van Pythagoras ontstaat dus uit het haakformalisme met nog twee bijkomende voorwaarden van het niet onderscheiden van twee punten. De geometrische interpretatie van de stelling van Pythagoras volgt uit de vaststelling dat deze stelling ook voor projectoren geldt, inderdaad voor de projector (<>⊕p) geldt dat zijn kwadraat niet verschillend is van de projector, de projector is idempotent en is dus een nieuwe soort, een “eenheid op een as”. Wanneer geldt dus (<>⊕p)=(<>⊕x)⊕(<>⊕y)? Zowel (<>⊕x) als (<>⊕y) als (<>⊕p) hebben enkel positieve bits. Een som van (<>⊕x)⊕(<>⊕y) kan enkel positieve bits opleveren als (<>⊕x) en (<>⊕y) twee verschillende ruimtes opspannen en enkel don't care bits gemeenschappelijk hebben, namelijk de don't care bits van (<>⊕p). Dus (<>⊕x) en (<>⊕y) moeten in dat geval orthogonaal zijn aangezien hun product de al-nul vector is.

De voorwaarden voor de constructie van een euclidische ruimte R³, die zonder verdere beperkingen naar een ruimte Rⁿ kan uitgebreid worden, zijn dus uit het haakformalisme op een transparante manier af te leiden.

Besluit

De structuur van de werkelijkheid zoals ze in het haakformalisme gemodelleerd wordt en operationeel onderbouwd wordt, induceert een modulaire structuur in de gehele getallen en verklaart waarom de priemgetallen daar een speciale plaats in innemen: priemgetallen zijn de entiteiten van de getallen, het zijn de soorten die toelaten om som en product op getallen toe te passen. Het verklaart ook de speciale positie van kwadraten van getallen.

Het modulo4 model is in te zetten voor getallen, dus patronen met dezelfde waarde, waarde die niet gekend is. Het is het modulo4 model dat de getallen binnenbrengt in het haakformalisme en het doet dit in de vorm van koppels (x, y) die hiermee een relatie uitdrukken tussen x en y. De relaties die ontstaan kunnen we op abstract niveau onderzoeken en dit hebben we het “splitsing”-model van het haakformalisme genoemd.

De modulo4 benadering laat ook toe om de complexe getallen (en dus naast de eenheid 1, ook de eenheid i of √-1) te introduceren als volgt: er is een isomorfisme tussen de vorm (a²+b²)(c²+d²) = x² + y² en de vormen zonder kwadraten (a+b√-1)(c+d√-1)=(ac – bd) + (bc + ad)√-1 (“oplossing 1”) en (a+b√-1)(c√-1+d)=(ac + bd)√-1 - (bc – ad) (“oplossing 2”). We kunnen de complexe getallen dus begrijpen als het onvermijdelijke gevolg van het gebruik van de getalsom en het getalproduct wanneer we die in een 1-splitsing model moeten laten passen. Complexe getallen kunnen we immers ook schrijven als getalkoppels (a, b) en met deze koppels zijn we dan wel in staat om de structuur van de werkelijkheid te modelleren. We kunnen dat dus ook met matrices modelleren.

De structuur van de werkelijkheid kan dus ook met getallen weergegeven worden enkel door gebruik te maken van de getalsom en het getalproduct van kwadraten van getallen in geordende koppels. Wat we hiervoor nodig hebben zijn de gehele getallen: 0, 1, 2, 3 en niet meer dan dat. Wat we met getallen modelleren is dan de structuur opgespannen door onderscheidingen met allemaal dezelfde waarde, waarde die verder niet gekend is maar die we in concrete voorbeelden kunnen aangeven met <<>>. De laatst toegevoegde onderscheiding zal zich hier voordoen als het grootste priemgetal en de complexiteit van structuur die kan weergegeven worden zal afhangen van het minimaal aantal priemgetallen dat nodig is om alle gebruikte getallen een plaats te geven.

De getallen die gebruikt worden om structuur te modelleren kunnen onderscheiden worden van de getallen die gebruikt worden om de intensiteit van een structuur weer te geven. Dit kan als volgt visueel voorgesteld worden: een koppel getallen legt een verhouding vast en de rechte met die verhouding is een afbeelding van de intensiteit. Merk op dat dit ook geen “geometrische intuïtie” veronderstelt.

Verder uit te werken

Met die getallen is een nieuw soort invers te definiëren met behulp van de priemgetallen die zowel als a²+b² te schrijven zijn als als a²-b² te schrijven zijn. Dit moet nog uitgewerkt worden.