Uit de vormen die de afsplitsing van een even vector product kan aannemen kunnen we op nog een manier een voorwaarde afleiden om het creatief product associatief te maken en dus niet verschillend van het vectorproduct: de veronderstelling is e•f↔<<>> (dus e↔f of dus p•q↔r•s), ofwel e•f↔<> (dus e↔<f> of dus p•q↔<r•s>).
Beide voorwaarden zijn voldoende om de vectorsom van het atoom te reduceren naar één 2-vector (waar enkel nog de transformatie in functioneert die associatief is).
We bewijzen nu de twee mogelijkheden
H=e•f•q•s•(<>⊕<f>⊕e⊕<e•f>)
H=<e•f•p•s>•(<>⊕f⊕e⊕e•f)
H=e•f•q•r•(<>⊕<f>⊕<e>⊕e•f)
H=e•f•p•r•(<>⊕f⊕<e>⊕<e•f>)
worden onder die voorwaarde:
H=<q•s>•(<>⊕e⊕e⊕<<>>)=<q•s>•<e>=<q•s>•<p•q>=s•p
H=<<>•p•s>•(<>⊕<>)=s•p
H=<>•q•r•(<>⊕<>)=<q•r>=s•p
H=<>•p•r•(<>⊕<e>⊕<e>⊕<<>>)=<p•r>•e=<p•r>•p•q=<q•r>=s•p
H=e•f•q•s•(<>⊕<f>⊕e⊕<e•f>)
H=<e•f•p•s>•(<>⊕f⊕e⊕e•f)
H=e•f•q•r•(<>⊕<f>⊕<e>⊕e•f)
H=e•f•p•r•(<>⊕f⊕<e>⊕<e•f>)
worden onder die voorwaarde:
H=q•s•(<<>>)=q•s=p•r=p•s=q•r
H=<e•f•p•s>•<e>=<e•f•p•s>•<f>=e•p•s=f•p•s=q•s=p•r=p•s=q•r
H=q•r•e=q•r•f=q•s=p•r=p•s=q•r
H=p•r•(<<>>)=p•r=q•s=p•s=q•r
Onder elk van die bijkomende voorwaarden is het creatief product associatief, het wordt immers gereduceerd tot een vectorproduct dat associatief is. Dit is enkel mogelijk voor de afsplitsing van een even product van welgevormde haakuitdrukkingen.
Onder de voorwaarde p•q•r•s=<> (en dus H=s•p=s•q=<r•p>=<r•q>) geldt dat H=s•p⊕s•q⊕<r•p>⊕<r•q> of dus H=(p⊕q)•(<r>⊕s) in plaats van het onvoorwaardelijke <s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q.
Onder de voorwaarde p•q•r•s=<> geldt dus H=(r•p⊗s•q)s•r=(r•p⊗s•q)<p•q>=<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q=(r•p⊗s•q)ℵ met <p•q>↔r•s↔ℵ want we toonden ook op een andere manier aan dat de onvermijdelijkheid van het geven van een waarde aan een “laatst toegevoegde onderscheiding” (en dus de onmogelijkheid om verschillende “laatst toegevoegde onderscheidingen” te kiezen) eveneens het creatief product associatief maakt.
Onder de voorwaarde p•q•r•s=<<>> (en dus H=s•p=s•q=r•p=r•q) geldt dat H=s•p⊕s•q⊕r•p⊕r•q of dus H=(p⊕q)•(r⊕s) in plaats van het onvoorwaardelijke <s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q. Onder de voorwaarde p•q•r•s=<<>> geldt dus H=(r•p⊗s•q)s•r=(s•q⊗r•p)p•q=<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q=(r•p⊗s•q)ℵ =(s•q⊗r•p)<ℵ> met p•q↔r•s↔ℵ
Een proces waarin p•q (of r•s) de rol speelt van laatst toegevoegde onderscheiding, die dus niet ingebouwd is, bestaat dus uit stappen die associatief zijn en dus ook door een transformatie kunnen uitgedrukt worden. Als men vertrekt van atomen is het resultaat van de transformatie dat er onderscheidingen verloren gaan in de loop van het proces (convergentie, contractie) wanneer de laatst toegevoegde onderscheiding niet verschillend is van een atoom van het onderscheidingen universum dat er dan geen deel meer van uitmaakt, en dat er onderscheidingen toegevoegd worden (divergentie, expansie) indien de laatst toegevoegde onderscheiding deel gaat uitmaken van het opspannende onderscheidingen universum.
Merk op dat ook het creatief kwadraat vanuit diezelfde veronderstelling geconstrueerd wordt. Inderdaad, nemen we een algemene voorstelling van een creatief product:
H=(r•p⊗s•q)s•r=(r•p⊗s•q)<p•q>=<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q
Een kwadraat wordt geconstrueerd met de veronderstelling r•p↔s•q dus ook r•s↔p•q en p•q•r•s↔<<>>. Dat is het toekennen van een waarde. Dat is dus ook exact de veronderstelling van telbaarheid.
H=(r•p⊗r•p)s•r=(s•q⊗s•q)p•q=s•p=s•q=r•p=r•q
Dit geeft de dieper liggende reden waarom kwadraten en telbaarheid altijd samen (simultaan) optreden en aanleiding geven tot associatieve relaties.
Dit geeft ook aan dat kwadraten die negatief zijn moeten onderscheiden kunnen worden:
Een negatief kwadraat wordt geconstrueerd met de veronderstelling r•p↔<s•q> dus ook r•s↔<p•q> en p•q•r•s↔<>. Dat is ook het toekennen van een waarde. Inderdaad, nemen we een algemene voorstelling van een creatief product:
H=(r•p⊗s•q)s•r=(r•p⊗s•q)<p•q>=<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q
H=(r•p⊗<r•p>)s•r=(<s•q>⊗s•q)<p•q>=s•p=s•q=<r•p>=<r•q>
Ondanks het feit dat een agens altijd iets een waarde geeft, hoeft in het haakformalisme een punt geen waarde toegekend te krijgen. Noch r•p•s•q, noch r•p•<s•q> hoeven een waarde toegekend te hebben, we kunnen perfect werken met “dezelfde waarde” of “tegengestelde waarde”. We merken dan ook op dat de waarde van een kwadraat axiomatisch aangenomen wordt in andere formalismen zoals bijvoorbeeld de geometrische algebra of Clifford algebra's, wat in het haakformalisme dus niet moet maar natuurlijk perfect kan om telbaarheid te modelleren. Méér aannemen dan het ene axioma en de veronderstelling van elementen die telbaar zijn is niet nodig.