Uit het ene axioma van het haakformalisme kunnen we afleiden wat in de geometrische algebra als axioma moet geponeerd worden door de voorwaarden te onderzoeken waaronder het creatief product zich zal gedragen als het geometrisch product.
We zullen nu aantonen dat we hetzelfde bereiken wanneer we veronderstellen dat alle optredende welgevormde haakuitdrukkingen elkaar uitsluiten, of ook dat er alleen maar gewerkt wordt met orthogonale projectoren.
De associativiteit, de niet-commutativiteit en de distributiviteit van het geometrisch product ten opzichte van de som moesten door Clifford als axioma geïntroduceerd worden maar wij kunnen dat als bijkomende (beperkende) voorwaarden voor een creatief product introduceren, waardoor blijkt dat het creatief product abstracter is dan het geometrisch product.
Het creatief product is associatief dan en slechts dan als de toegevoegde onderscheidingen dezelfde waarde hebben en zich dus niet onderscheiden van elkaar, wat we kunnen interpreteren dat de geometrische algebra enkel met een laatst toegevoegde onderscheiding ℵ kan geconstrueerd worden.
De enige mogelijkheid voor het distributief zijn van het creatief product ten opzichte van de som is wanneer de toegevoegde onderscheiding niet verschillend is van <> of <<>> of dat de som een welgevormde haakuitdrukking is.
We onderzoeken daarom eerst dat de toegevoegde onderscheiding ℵ altijd dezelfde waarde heeft, stel <>. (x⊗y)a=<a<x>><<a><y>> wordt dan <<><x>><<<>><y>>=y en (y⊗x)a=<a<y>><<a><x>> wordt dan <<><y>><<<>><x>>=x. Dit zijn de twee eenheden van een associatief creatief product. Dus elke welgevormde haakuitdrukking kan beschouwd worden als een creatief product met toegevoegde onderscheiding <>. Dit is niet echt een beperking aangezien ℵ↔<> niet kan onderscheiden worden van ℵ. Inderdaad een welgevormde haakuitdrukking H kan niet onderscheiden worden van de H met waarde <>. Dit kan op twee manieren geïmplementeerd worden, eerst als een bijkomende eis die gesteld wordt wanneer de som van het haakformalisme overeenkomt met de som van de geometrische algebra, maar ook door de nevenschikking van het haakformalisme te laten overeenkomen met de som van de geometrische algebra, aangezien de distributiviteit van de disjunctie (conjunctie) met het creatief product altijd geldt. Dit laatste is natuurlijk krachtiger en de interpretatie als disjunctie van de sommen in een 3&1 patroon zal altijd <> opleveren. De interpretatie van de som als haakvectorsom ⊕ of als nevenschikking * zijn compatibel zoals aangetoond wordt in het onderzoek naar welgevormdheid van sommen.
Wanneer x=<y> dan is het creatief product anti-commutatief. We kunnen de anti-commutativiteit begrijpen als de manier waarop het vectorproduct (ingebedde transformatie) van het haakformalisme met behulp van het creatief product kan geïntroduceerd worden. Met de laatst toegevoegde onderscheiding, die steeds dezelfde is, worden alle basisvectoren van een universum geconstrueerd met behulp van de positieve kwadraten (x⊗x)a en de negatieve kwadraten (x⊗<x>)a.
We zullen het geometrisch product in het haakformalisme construeren door te veronderstellen dat in de algemene welgevormde haakuitdrukking (r•p⊗s•q)s•r de p, q, r en s elkaar wederzijds uitsluiten, en dus als AND-atomen kunnen geïnterpreteerd worden die het mogelijk maken om orthogonale projectoren te vormen die dan de 1-vectoren vormen van de geometrische algebra. We zetten hiervoor het stappenmodel in, model dat volledig op elkaar wederzijds uitsluitende punten gebaseerd is. We drukken een algemene welgevormde haakuitdrukking (r•p⊗s•q)s•r=<s•q>⊕<r•p>⊕<s•p>⊕r•q uit met de relaties die we in het stappenmodel afgeleid hebben:
p•q=p•q•r•s⊕<<>>⊕<r•s>
p•r=p•q•r•s⊕<<>>⊕<q•s> dus p•r⊕<>⊕<p•q•r•s>=<q•s>
p•s=p•q•r•s⊕<<>>⊕<q•r>
Hiermee wordt de welgevormde haakuitdrukking <s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q gelijk aan (<p•q•r•s>⊕<>⊕q•r)⊕(p•r⊕<>⊕<p•q•r•s>)⊕<r•p>⊕r•q=p•q•r•s⊕<<>>⊕<q•r>=p•s. Dit is dus het vectorproduct van de onderscheidingen die niet voorkomen in de “1” van het 3&1 patroon.
Onder deze voorwaarden is het creatief product dus niet anders dan een 2-vector en is dus associatief. De bijgevoegde onderscheiding is r•s, hierbij sluiten r en s elkaar uit, dus hun conjunctie heeft waarde <<>>. Ze kunnen dus niet beide waarde <> hebben, inderdaad, om de distributiviteit uit te drukken moeten we nu veronderstellen dat r•s=<>, ze hebben tegengestelde waarde en dus r•s•q=<q> of s•q=<r•q> en met dezelfde veronderstelling dat r•s=<>, geldt dus r•s•p=<p> of s•p=<r•p> en dus <s•q>⊕<r•p>⊕<s•p>⊕r•q wordt r•q⊕s•p⊕<s•p>⊕r•q=<r•q>. Er geldt dus dat <r•q>=s•p en dus p•q•r•s=<>. Hiermee hebben we alle voorwaarden uitgedrukt waaronder het creatief product niet verschillend is van het geometrisch product.
We bouwen nu de som van de welgevormde haakuitdrukking in delen op:
<s•q>⊕<r•p> is het deel van de som dat gemeenschappelijk is voor het niet commuterend creatief product en dus gelijk aan p•r⊕<>⊕<p•q•r•s>⊕<r•p>=<>⊕<p•q•r•s> en dus een projector. Als projector heeft de overeenkomstige bitstring enkel positieve bits en don’t cares. Dit maakt het dus mogelijk om een eenduidig getal hieraan te verbinden dat we kunnen berekenen met de intensiteiten van de welgevormde haakuitdrukkingen s•q en r•p, de termen van het creatief product. Dit gedeelte is de nul vector voor elkaar uitsluitende punten waarbij p•q•r•s=<>. Dit gedeelte is een scalair (<<>>) voor elkaar uitsluitende punten waarbij p•q•r•s=<<>>.
<s•p>⊕r•q is het deel van de som dat elkaars inbedding is voor het niet commuterend creatief product en dus gelijk aan <p•q•r•s>⊕<>⊕q•r⊕r•q=<>⊕<p•q•r•s>⊕<q•r>. Er geldt ook dat <s•p>⊕r•q=(<>⊕p•q•r•s)•s•p. Dit is een gewogen projector want (<>⊕p•q•r•s) is de orthogonale projector van deze in het eerste deel. Dit gedeelte is de nul vector voor p•q•r•s=<<>>. Dit gedeelte is niet anders dan s•p voor elkaar uitsluitende punten waarbij p•q•r•s=<>. Dit deel van de som volgt dus het bitstring patroon van de totale som want
de totale som is <<>>⊕p•q•r•s⊕<q•r>=s•p.
De totale som is dus ook (<>⊕<p•q•r•s>)•<<>>⊕(<>⊕p•q•r•s)•s•p. Deze manier van voorstellen kunnen we relateren met de disjunctie. De disjunctie van r•p en s•q is in het algemeen <s•q>⊕<r•p>⊕<<>>⊕<p•q•r•s>, als we nu veronderstellen dat de p, q, r en s elkaar wederzijds uitsluiten (de conjunctie is dan <<>>) dan kunnen we de eerste twee termen van de som vervangen (want <s•q>⊕<r•p>=<>⊕<p•q•r•s>) en dan geldt voor de disjunctie: <>⊕<p•q•r•s>⊕<<>>⊕<p•q•r•s>=p•q•r•s. Het creatief product van r•p en s•q is in dit geval s•p en is dus uit te drukken in functie van de disjunctie van de termen r•p en s•q, de disjunctie is immers het vectorproduct van het creatief product s•p en zijn gecommuteerde vorm q•r, want de gecommuteerde vorm is dan (s•q⊗r•p)s•r=<s•q>⊕<r•p>⊕<r•q>⊕s•p=(p•r⊕<>⊕<p•q•r•s>)⊕<r•p>⊕<r•q>⊕(p•q•r•s⊕<<>>⊕<q•r>)=r•q. Dit is dus ook het vectorproduct van de onderscheidingen die niet voorkomen in de “1” van het 3&1 patroon.
In de veronderstelling van de geometrische algebra beschouwen we dus de volgende tralie, die we hier in zijn tabelvorm voorstellen (want <s•q>⊕<r•p>=<>⊕<p•q•r•s> (of s•q⊕r•p=<<>>⊕p•q•r•s) is de voorwaarde die kan bijgevoegd worden in de algemene tralie met 16 punten).
|
|
<<>> |
|
|
(r•p⊗s•q)s•r |
|
(s•q⊗r•p)s•r |
|
|
p•q•r•s |
|
Het infimum is p•q•r•s en kan twee waarden aannemen. Onder de veronderstellingen van de geometrische algebra gelden dus:
Voor p•q•r•s=<> dus <r•q>=s•p en ook <r•p>=s•q
(r•p⊗s•q)s•r=s•p=<r•q>
(s•q⊗r•p)s•r=r•q=<s•p>
Het creatief product heeft een potentiële waarde en is anti-commutatief.
Voor p•q•r•s=<<>> dus r•q=s•p en ook r•p=s•q
(r•p⊗s•q)s•r=s•p=r•q
(s•q⊗r•p)s•r=s•p=r•q
Het creatief product heeft een potentiële waarde en is commutatief.
Merk op dat al deze voorwaarden perfect uitgedrukt worden in de volgende drievoudige gelijkheid:
(r•p⊗s•q)s•r=(<>⊕<p•q•r•s>)•<<>>⊕(<>⊕p•q•r•s)•s•p=s•p
Of: de conjunctie <>⊕<s•p>⊕q•r⊕<p•q•r•s> van s•p en <r•q> is niet verschillend van s•p.
(r•p⊗s•q)s•r=(<>⊕<p•q•r•s>)•<<>>⊕(<>⊕p•q•r•s)•r•q=r•q
Of: de conjunctie <>⊕s•p⊕<q•r>⊕<p•q•r•s> van <s•p> en r•q is niet verschillend van r•q.
We drukken dit nu uit in het haakmodel:
<<s•p>r•q>↔s•p
<s•p><<s•p>r•q>↔s•p<s•p>
<s•p><r•q>↔<>
<<s•p><r•q>>↔<<>>
en ook
<<s•p>r•q>•r•q↔s•p•r•q
<<<s•p>r•q><r•q>><<s•p>r•q r•q >↔s•p•r•q
<<r•q>><<s•p>r•q>↔s•p•r•q
<<s•p>><<r•q>>↔s•p•r•q
Zodanig dat ook de volgende tralie geldt:
|
|
<<>> |
|
|
s•p |
|
r•q |
|
|
p•q•r•s |
|
Een andere manier van interpreteren is: in de orthogonale basis opgespannen door het vectorproduct (niet verschillend van de disjunctie) van de termen van het product wordt het product voorgesteld door het koppel [<<>>, s•p]. De diagonale vorm van deze basis is (<>⊕<p•s>)•p•s⊕(<>⊕p•s)•p•q•r•s. In de basis van het creatief product met elkaar uitsluitende termen zijn de componenten dus [p•s, p•q•r•s].
In het algemeen (met componenten die elkaar niet uitsluiten) geldt dat (r•p⊗s•q)s•r=<s•q>⊕<r•p>⊕<s•p>⊕r•q=(<>⊕<p•q•r•s>)•s•q⊕(<>⊕p•q•r•s)•s•p en dus het koppel [s•q, s•p].
Merk op dat ook de projectoren perfect gemodelleerd zijn.
((<>⊕r•p)⊗(<>⊕s•q))s•r=<>⊕(r•p⊗s•q)s•r=<>⊕s•p
((<>⊕s•q)⊗(<>⊕r•p))s•r=<>⊕(s•q⊗r•p)s•r=<>⊕<s•p>
Onder de veronderstelling dat er geldt dat <r•q>=s•p zien we hier een product van orthogonale projectoren dat een nieuwe projector is, namelijk <>⊕s•p (of <>⊕<r•q>) en de constructie van zijn orthogonaal <>⊕<s•p> (of <>⊕r•q).
Onder de veronderstelling dat er geldt dat r•q=s•p zien we geen nieuwe projector maar de projector van een van de termen van het creatief product.
Merk op: voor welgevormde haakuitdrukkingen geldt anti-symmetrie, niet voor projectoren.
Voor p•q•r•s=<> geldt:
((<>⊕r•p)⊗(<>⊕<r•p>))s•r=<>⊕(r•p⊗<r•p>)s•r=<>⊕s•p
((<>⊕<r•p>)⊗(<>⊕r•p))s•r=<>⊕(<r•p>⊗r•p)s•r=<>⊕<s•p>
We zien dat het product van orthogonale projectoren een nieuwe soort projector is.
Voor p•q•r•s=<<>> geldt:
((<>⊕r•p)⊗(<>⊕r•p))s•r=<>⊕(r•p⊗r•p)s•r=<>⊕r•p
((<>⊕r•p)⊗(<>⊕r•p))s•r=<>⊕(r•p⊗r•p)s•r=<>⊕r•p
We zien een kwadraat van een projector die een term is van het product, dus geen nieuwe soort projector.
We bestuderen de mogelijkheden van s•p (en dus ook r•q)
Wanneer heeft s•p de waarde <<>>? Als s en p dezelfde waarde hebben, stel deze gelijk aan t
(r•p⊗s•q)s•r=(<>⊕<p•q•r•s>)•<<>>⊕(<>⊕p•q•r•s)•s•p=s•p wordt dan
(r•t⊗t•q)t•r=(<>⊕<q•r>)•<<>>⊕(<>⊕q•r)•<<>>=<<>>
In het algemeen geval is dat dan
(r•t⊗q•t)r•t=<r•t>⊕<q•t>⊕<>⊕<q•r> en dat is de conjunctie van r•t en q•t, en dit is <<>> als ze elkaar uitsluiten zoals we verondersteld hebben.
Wanneer heeft s•p de waarde <>? Als s en p tegengestelde waarde hebben, stel s gelijk aan t en p gelijk aan <t>
(r•p⊗s•q)s•r=(<>⊕<p•q•r•s>)•<<>>⊕(<>⊕p•q•r•s)•s•p=s•p wordt dan
(<r•t>⊗q•t)r•t=(<>⊕q•r)•<<>>⊕(<>⊕<q•r>)•<>=<q•r>
In het algemeen geval is dat dan
(<r•t>⊗q•t)r•t=r•t⊕<q•t>⊕<<>>⊕q•r en dat is de disjunctie van <r•t> en q•t en inderdaad is over de waarde hiervan niets verondersteld. We veronderstelden <r•t>⊕<q•t>⊕<>⊕<q•r>=<<>> of dus <q•t>=<>⊕<r•t>⊕q•r en dus wordt r•t⊕<q•t>⊕<<>>⊕q•r gelijk aan r•t⊕<>⊕<r•t>⊕q•r⊕<<>>⊕q•r=<q•r> zoals verwacht.
De disjunctie van <r•t> en q•t kunnen we nu interpreteren als de disjunctie van een intensiteit en een eenheid. Dus als <r•t> een intensiteit is dan is q•t een eenheid, en als <r•t> een eenheid is, dan is q•t een intensiteit.
<r•t>q•t is als haakuitdrukking: <<r<t>><<r>t>><q<t>><<q>t>
<<r<t><q<t>><<q>t>><<r>t<q<t>><<q>t>>>
<<r<t><q>><<r>tq>> en dit is (<t><q>⊗tq)r
want (<x>⊗<y>)a=<<a<x>><<a><y>>>
We hebben een willekeurige haakuitdrukking ook als een som van drie gewogen projectoren kunnen uitdrukken. Bijvoorbeeld H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=<r•q>•(<>⊕<p•r>)⊕s•q•(<>⊕<p•s>)⊕r•p•(<>⊕<r•s>). De veronderstelling van orthogonaliteit van de projectoren leidt tot een centraal punt waarbij dan in dit geval H=<<>>⊕<s•q>⊕q•r⊕r•s. We onderzoeken nu wat deze disjunctie is met elkaar uitsluitende p, q, r, s, door gebruik te maken van het stappenmodel.
s•q=q•r•s⊕<<>>⊕<r>
s•r=q•r•s⊕<<>>⊕<q>
q•r=q•r•s⊕<<>>⊕<s>
<<>>⊕<s•q>⊕r•s⊕q•r=<<>>⊕<q•r•s>⊕<>⊕r⊕q•r•s⊕<<>>⊕<q>⊕q•r•s⊕<<>>⊕<s>=<>⊕r⊕<q>⊕<s>⊕q•r•s
Met (zie stappenmodel) s⊕q⊕r=<>⊕s•q•r geldt <s>⊕<q>=<<>>⊕r⊕<s•q•r>, dus <>⊕r⊕<<>>⊕r⊕<s•q•r>⊕q•r•s=<r> en dat is het punt dat niet voorkomt in de 1 (namelijk <s•q>) van het 3&1 patroon <<>>⊕<s•q>⊕q•r⊕r•s. Dus dat patroon doet zich weer voor in de veronderstellingen van de geometrische algebra. Onder die veronderstellingen geldt dat H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=<<>>⊕<s•q>⊕r•s⊕q•r=<r>. Dus r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=<<>>⊕<s•q>⊕r•s⊕q•r veronderstelt r•p=<> en <<>>⊕<s•q>⊕r•s⊕q•r=<r> veronderstelt s=<<>> en q=<<>>.
We kunnen hetzelfde ook met orthogonale projectoren bereiken en merken daarom op dat er een isomorfie is van de som van die orthogonale projectoren met een product van welgevormde haakuitdrukkingen (de vectorsom van projectoren gedraagt zich identiek als het vectorproduct van de overeenkomstige welgevormde haakuitdrukkingen). Laten we de overeenkomstige orthogonale projectoren aanduiden met een accent, om niet in de verleiding te komen ze als welgevormde haakuitdrukkingen te behandelen. We beschouwen dus de orthogonale projectoren p', q', r' en s'. Dus er geldt dat p=<<>>⊕p', q=<<>>⊕q', r=<<>>⊕r', s=<<>>⊕s'. Er geldt dat alle termen met accent idempotent zijn zowel voor het creatief product als voor het vectorproduct (de inbedding van de transformatie) en dat het vectorproduct van de termen onderling niet verschillend is van de nulvector (bijvoorbeeld: r'•p'=X). Er geldt dan ook dat s•p=<<>>⊕s'⊕p', s•q=<<>>⊕s'⊕q', r•p=<<>>⊕r'⊕p', r•q=<<>>⊕r'⊕q', s•p•q=<<>>⊕s'⊕p'⊕q' enz… en uiteindelijk p•q•r•s=<<>>⊕p'⊕q'⊕r'⊕s'
De geometrische algebra stelt dat het geometrisch product van 1-vectoren een som is van een symmetrisch en een anti-symmetrisch deel.
We drukken nu een algemene welgevormde haakuitdrukking (r•p⊗s•q)s•r=<s•q>⊕<r•p>⊕<s•p>⊕r•q uit met deze gegevens:
<s•q>=<>⊕<s'>⊕<q'>
<r•p>=<>⊕<r'>⊕<p'>
<s•p>=<>⊕<s'>⊕<p'>
r•q=<<>>⊕r'⊕q'
We bouwen nu de som van de welgevormde haakuitdrukking in delen op:
<s•q>⊕<r•p>=<<>>⊕<p'>⊕<q'>⊕<r'>⊕<s'> en met de voorwaarde p'=<>⊕p enz... is dit <>⊕<p>⊕<q>⊕<r>⊕<s>. Dit is een projector want als p, q, r en s elkaar uitsluiten is <p>⊕<q>⊕<r>⊕<s> ofwel <<>> (bij de 4 AND-atomen in een twee onderscheidingen universum), ofwel een welgevormde (potentiële) haakuitdrukking. Dit betekent dat <s•q>⊕<r•p>=<>⊕<p>⊕<q>⊕<r>⊕<s> enkel don’t cares heeft en hoogbits. Noteer dat deze term gelijk is aan de nulvector wanneer s•q=<r•p> of dus p•q•r•s=<>.
<s•p>⊕r•q=<p'>⊕q'⊕r'⊕<s'> en met p'=<>⊕p enz... is dit <p>⊕q⊕r⊕<s> en als p, q, r en s elkaar uitsluiten is dit een vectorproduct (bij de 4 AND-atomen in een twee onderscheidingen universum is dat het vectorproduct van de twee onderscheidingen), ofwel een gecollapst vectorproduct (het vectorproduct in een groter universum, in bitstring met zowel hoogbits als laagbits met de andere bits don't cares, een deeluniversum van het grotere universum). Noteer dat deze term gelijk is aan de nulvector wanneer s•q=r•p of dus p•q•r•s=<<>>.
<s•q>⊕<r•p>⊕<s•p>⊕r•q=<<>>⊕<p'>⊕<q'>⊕<r'>⊕<s'>⊕<p'>⊕q'⊕r'⊕<s'>=<<>>⊕s'⊕p'=s•p en dit is dan de totale som. Dit is dus het vectorproduct van de onderscheidingen die niet voorkomen in de “1” van het 3&1 patroon.
In dit specifiek geval geldt dus dat (r•p⊗s•q)s•r=s•p
Hetzelfde doen we met de gecommuteerde vorm van dit creatief product, namelijk (s•q⊗r•p)s•r=<s•q>⊕<r•p>⊕s•p⊕<r•q>
<s•q>=<>⊕<s'>⊕<q'>
<r•p>=<>⊕<r'>⊕<p'>
s•p=<<>>⊕s'⊕p'
<r•q>=<>⊕<r'>⊕<q'>
Dus <s•q>⊕<r•p>⊕s•p⊕<r•q>=<<>>⊕r'⊕q'=r•q
In dit specifiek geval is dus (s•q⊗r•p)s•r=r•q
In beide gevallen is het creatief product niet verschillend van het vectorproduct. Het vectorproduct is associatief. Dit is een eis om het creatief product te kunnen interpreteren als het geometrisch product. Beide vormen (hier dus s•p of r•q) zijn een uitdrukking van een welgevormde haakuitdrukking, in zijn interpretatie als 2-vector, in dezelfde grotere ruimte waar die 2-vectoren een basisvector zijn. Met de eis van distributiviteit geldt dat r•s=<> en dus r•s•p=<p> zodanig dat s•p=<r•p> en de twee vormen zijn dan <r•p> en r•q.
Dus, onder de veronderstelling dat p, q, r en s elkaar uitsluiten, is de welgevormde haakuitdrukking niet anders dan wat ook bekomen wordt onder de veronderstelling dat het creatief product of dus het geometrisch product anti-commutatief is, en inderdaad moet dit als een axioma van de geometrische algebra geïntroduceerd worden (maar niet in het haakformalisme). Het creatief product wordt gestuurd door de waarde van p•q•r•s. Want wanneer s•q=r•p (de gecommuteerde creatieve producten zijn gelijk, dus p•q•r•s=<<>>), dan is de totale som niet verschillend van <s•q>⊕<r•p> en dus (s•q of dus r•p), en wanneer s•q=<r•p> (de gecommuteerde creatieve producten zijn elkaars inbedding, dus p•q•r•s=<>), dan is de totale som niet verschillend van <s•p>⊕r•q en met s•r•s•q=s•r•<r•p> is de totale som niet anders dan s•p of dus <r•q>. We merken op dat s•p ook de welgevormde haakuitdrukking is van het creatief product onder voorwaarde van elkaar uitsluitende 1-vectoren maar dan zonder dat p•q•r•s een waarde kreeg.
Laten we daarom eens expliciet kijken naar de andere voorwaarde. Wanneer er geldt dat r•q=s•p dan geldt er dat p•q•r•s=<<>>. Dit is dus de bijkomende voorwaarde p•q•r•s=<<>>⊕p'⊕q'⊕r'⊕s'=<<>> en dus p'⊕q'⊕r'⊕s' moet de nulvector zijn. Dit maakt onmiddellijk duidelijk dat een mogelijke 3-vector in deze interpretatie, neem p•q•r=<<>>⊕p'⊕q'⊕r'=<<>>⊕<s'>=<>⊕<s> (aangezien <s>=<>⊕<s'>). Dit geldt voor de vier 3-vectoren, namelijk p•q•r=<>⊕<s>, p•q•s=<>⊕<r>, p•r•s=<>⊕<q>, q•r•s=<>⊕<p>. Een 3-vector is, onder deze voorwaarde, de projector van de inbedding van een 1-vector.
Wanneer er geldt dat r•q=<s•p> dan geldt er dat p•q•r•s=<>. Dit is dus de bijkomende voorwaarde p•q•r•s=<<>>⊕p'⊕q'⊕r'⊕s'=<> en dus p'⊕q'⊕r'⊕s'=<<>>. Dit maakt onmiddellijk duidelijk dat een mogelijke 3-vector in deze interpretatie, neem p•q•r=<<>>⊕p'⊕q'⊕r'=<<>>⊕<<>>⊕<s'>=<<>>⊕<<>>⊕<<>>⊕<s>=<s> (aangezien <s'>=<<>>⊕<s>). Dit geldt voor de vier 3-vectoren, namelijk p•q•r=<s>, p•q•s=<r>, p•r•s=<q>, q•r•s=<p>. Een 3-vector is, onder deze voorwaarde, de inbedding van een 1-vector. Veronderstel nu dat de laatst toegevoegde onderscheiding s is en dat deze niet verschillend is van <>, dan moeten p, q en r niet verschillend zijn van <<>> en er geldt: p•s=<>, q•s=<>, r•s=<>, of de 2-vectoren hebben waarde <> en een 3-vector met deze als component heeft ook waarde <>.
Een 1-vector die een andere uitsluit is van het type v=<>⊕v’, dus v’=<<>>⊕v, bijvoorbeeld in bitstring 1111⊕1110=000x. Neem nu p'⊕q'⊕r'⊕s'=000x⊕00x0⊕0x00⊕x000=xxxx=X en dit is de nulvector.
Neem nu de inbedding van v en vorm zijn projector, dus <v>=<>⊕<v’>, dus <v’>=<<>>⊕<v>, bijvoorbeeld in bitstring 1111⊕0001=xxx0. Neem nu <p'>⊕<q'>⊕<r'>⊕<s'>=xxx0⊕xx0x⊕x0xx⊕0xxx=0000, en dus p'⊕q'⊕r'⊕s'=<<>>.
Dit maakt duidelijk dat de twee mogelijkheden voor een welgevormde haakuitdrukking, namelijk v en <v> bereikt worden door de twee mogelijkheden p•q•r•s en <p•q•r•s> in het hoogste onderscheidingen universum.
Elke welgevormde haakuitdrukking kunnen we ook schrijven als een gewogen som van drie projectoren, bijvoorbeeld:
H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=<r•q>•(<>⊕<p•r>)⊕s•q•(<>⊕<p•s>)⊕r•p•(<>⊕<r•s>)
Als we nu de veronderstelling introduceren dat de drie projectoren onderling orthogonaal zijn wordt H niet verschillend van <<>>⊕<s•q>⊕q•r⊕r•s en dit is de disjunctie van s•q en <r•q> (of s•q en <r•s>, of <s•r> en <r•q>) en is dus een welgevormde haakuitdrukking in drie onderscheidingen.
Als we nu veronderstellen dat de drie onderscheidingen elkaar wederzijds uitsluiten dan is de disjunctie niet verschillend van een 3-vector, in dit geval dus q•r•s.
In de geometrische algebra is dit gekend als een trivector en die kwantificeert een volume.
Uitgaande van eenvoudige veronderstellingen hebben we geometrie afgeleid uit het haakformalisme en zojuist hebben we bewezen dat dit ook betekent dat de punten in een geometrie elkaar wederzijds uitsluiten en dat alle mogelijke projectoren gewogen projectoren zijn van drie wederzijds orthogonale projectoren die samen een nulpunt genereren. Dit is een belangrijk resultaat omdat het de impliciete veronderstelling van een geometrische benadering van de werkelijkheid expliciet maakt en dus duidelijk maakt wat de kracht maar ook de grens is van een geometrische beschrijving van de werkelijkheid.