We hebben aangetoond dat een creatief product op drie manieren in een tweedimensionale orthogonale basis uit te drukken is.

We bewijzen nu dat alle welgevormde haakuitdrukkingen op vier manieren in een driedimensionale basis uit te drukken zijn waarbij er een nieuwe mengeling van standpunten optreedt. We bewijzen dit door het creatief product H als een som van drie producten van het idempotente type (<>⊕h) uit te drukken. Zo zijn er vier vormen mogelijk, waarbij elke vorm twee mogelijkheden heeft die gebaseerd zijn op dezelfde projectoren:

In de projectoren is q niet aanwezig.

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=<p•q>•(<>⊕<p•r>)⊕p•q•(<>⊕<p•s>)⊕r•p•(<>⊕<r•s>)

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=<r•q>•(<>⊕<p•r>)⊕s•q•(<>⊕<p•s>)⊕r•p•(<>⊕<r•s>)

In de projectoren is p niet aanwezig.

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=p•q•(<>⊕<q•r>)⊕<p•q>•(<>⊕q•s)⊕<q•r>•(<>⊕r•s)

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=p•r•(<>⊕<q•r>)⊕s•p•(<>⊕q•s)⊕<q•r>•(<>⊕r•s)

In de projectoren is r niet aanwezig.

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=r•s•(<>⊕<p•s>)⊕<r•s>•(<>⊕<q•s>)⊕s•p•(<>⊕<p•q>)

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=r•p•(<>⊕<p•s>)⊕<r•q>•(<>⊕<q•s>)⊕s•p•(<>⊕<p•q>)

In de projectoren is s niet aanwezig.

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=r•s•(<>⊕<p•r>)⊕<r•s>•(<>⊕q•r)⊕r•p•(<>⊕p•q)

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=p•s•(<>⊕<p•r>)⊕s•q•(<>⊕q•r)⊕r•p•(<>⊕p•q)

QED

Merk op dat we deze welgevormde haakuitdrukking als patroon kunnen noteren als a₁•(<>⊕h₁)⊕a₂•(<>⊕h₂)⊕a₃•(<>⊕h₃) of nog als a₁•e₁⊕a₂•e₂⊕a₃•e₃ waarbij de projectoren als projectie as niet orthogonaal hoeven te zijn met elkaar. Uiteraard herkennen we h_i als een telbare soort. Merk op dat elke projectie as een orthogonale as heeft van het idempotente type (<>⊕<h_i>). De som heeft zes termen, vergelijk dit met H=h₁⊕h₂⊕h₃ die nooit een welgevormde haakuitdrukking kan zijn maar toch geschreven kan worden als H=(<>⊕h₁)⊕(<>⊕h₂)⊕(<>⊕h₃)=h₁⊕h₂⊕h₃. De coëfficiënten van de projectoren zijn dus essentieel om een welgevormde haakuitdrukking te bekomen.

Het product van twee projectoren van het type (<>⊕h_i) is terug een projector. We kunnen hierbij vier gevallen onderscheiden. Meer mogelijkheden zijn er niet. Inderdaad: vier welgevormde haakuitdrukkingen p, q, r, s die twee-aan-twee vermenigvuldigd worden geven zes 2-vectoren: p•q, p•r, p•s, q•r, q•s, r•s. Deze geven aanleiding tot bijvoorbeeld het type <<>>⊕a⊕b⊕a•b enkel op de volgende vier verschillende manieren

<<>>⊕p•q⊕p•s⊕q•s=(<>⊕<p•s>)•(<>⊕<q•s>)=(<>⊕<p•s>)•(<>⊕<p•q>)=(<>⊕<q•s>)•(<>⊕<p•q>) in het p, q, s universum

<<>>⊕p•r⊕p•s⊕r•s=(<>⊕<p•s>)•(<>⊕<r•s>)=(<>⊕<p•r>)•(<>⊕<r•s>)=(<>⊕<p•r>)•(<>⊕<p•s>) in het p, r, s universum

<<>>⊕p•q⊕p•r⊕q•r=(<>⊕<p•q>)•(<>⊕<p•r>)=(<>⊕<p•q>)•(<>⊕<q•r>)=(<>⊕<p•r>)•(<>⊕<q•r>) in het p, q, r universum

<<>>⊕q•r⊕q•s⊕r•s=(<>⊕<q•r>)•(<>⊕<q•s>)=(<>⊕<q•r>)•(<>⊕<r•s>)=(<>⊕<q•s>)•(<>⊕<r•s>) in het q, r, s universum

Dit zijn andersduale haakuitdrukkingen (elke onderscheiding vervangen door zijn inbedding levert dezelfde haakuitdrukking).

Dit zijn projectoren van atoomburen in hun drie onderscheidingen universum. Dit zijn projectoren van atomen in drie twee onderscheidingen universa.

Dit inzicht geeft ons nu de mogelijkheid te bepalen onder welke voorwaarde het product van twee projectoren de nul vector oplevert, en dus de drie projectoren twee-aan-twee orthogonaal zijn.

In de projectoren is q niet aanwezig

Als in de projectoren q niet aanwezig is leidt het product van twee projectoren tot de constructie van de projector van A₁, een atoom in het universum gebaseerd op drie onderscheidingen, universum waarin q niet optreedt.

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=<p•q>•(<>⊕<p•r>)⊕p•q•(<>⊕<p•s>)⊕p•r•(<>⊕<r•s>)

(<>⊕<p•r>)•(<>⊕<p•s>)=<<>>⊕p•s⊕p•r⊕r•s=(<>⊕(<>⊕p•s⊕p•r⊕r•s)) met A₁=<>⊕p•s⊕p•r⊕r•s

(<>⊕<p•r>)•(<>⊕<r•s>)=<<>>⊕p•s⊕p•r⊕r•s

(<>⊕<p•s>)•(<>⊕<r•s>)=<<>>⊕p•s⊕p•r⊕r•s

<<>>⊕p•s⊕p•r⊕r•s is een projector gebaseerd op een atoom in het deeluniversum waarin q niet optreedt (met andere woorden: waarin q de waarde <<>> heeft), immers: <<>>⊕p•s⊕p•r⊕r•s=(<>⊕(<>⊕p•s⊕p•r⊕r•s)) met A₁=<>⊕p•s⊕p•r⊕r•s en A₁ is een welgevormde haakuitdrukking, namelijk <<<p•s>><<p•r>>>, die niet te onderscheiden is van <<<p•s>><<r•s>>>, die niet te onderscheiden is van <<<p•r>><<r•s>>>, wat uiteindelijk op een universum van twee onderscheidingen af te beelden is.

<<>>⊕p•s⊕p•r⊕r•s is een projector voor de drie assen en gedraagt zich dus als centraal punt, immers:

(<<>>⊕p•s⊕p•r⊕r•s)•(<>⊕<p•s>)=<>⊕<p•s>⊕<p•s>⊕<>⊕<p•r>⊕<r•s>⊕<r•s>⊕<p•r>=<<>>⊕p•s⊕p•r⊕r•s

(<<>>⊕p•s⊕p•r⊕r•s)•(<>⊕<r•s>)=<>⊕<r•s>⊕<p•s>⊕<p•r>⊕<p•r>⊕<p•s>⊕<r•s>⊕<>=<<>>⊕p•s⊕p•r⊕r•s

(<<>>⊕p•s⊕p•r⊕r•s)•(<>⊕<p•r>)=<>⊕<p•r>⊕<p•s>⊕<r•s>⊕<p•r>⊕<>⊕<r•s>⊕<p•s>=<<>>⊕p•s⊕p•r⊕r•s

Dus in de veronderstelling dat A₁=<>⊕p•s⊕p•r⊕r•s=<<>> is het centraal punt <<>>⊕p•s⊕p•r⊕r•s=(<>⊕(<>⊕p•s⊕p•r⊕r•s)) de al-nul vector en zijn de drie projectoren twee-aan-twee orthogonaal. De conjunctie van de drie orthogonale projectoren is dan onmogelijk. Immers: de conjunctie van twee is <>⊕(<<>>⊕p•r)⊕(<<>>⊕p•s)⊕(<>⊕<p•r>)•(<>⊕<p•s>)=<>⊕(<<>>⊕p•r)⊕(<<>>⊕p•s)=<<>>⊕p•s⊕p•r=<r•s> en de conjunctie met de derde orthogonale projector (<>⊕<r•s>) is dan <>⊕(<<>>⊕r•s)⊕r•s⊕(<>⊕<r•s>)•<r•s>=<r•s>⊕r•s⊕<<>>=<<>>.

De drie projectoren spannen dus een Euclidische ruimte op. In dat geval kunnen we in het patroon dat we noteren als a₁•(<>⊕h₁)⊕a₂•(<>⊕h₂)⊕a₃•(<>⊕h₃) of nog als a₁•e₁⊕a₂•e₂⊕a₃•e₃ de (a₁, a₂, a₃) de cartesiaanse coëfficiënten noemen die op een unieke manier een potentieel punt vastleggen. Merk op dat dit geen getallen moeten zijn.

We hebben aangetoond dat de conjunctie van de vier projectoren die gebaseerd zijn op het creatief product patroon gelijk is aan <<>>. We hebben nu aangetoond dat datzelfde geldt voor de drie projectoren die de driedimensionale cartesiaanse basis opspannen.

We kunnen de waardetoekenning p•s⊕p•r⊕r•s=<> aan het centraal punt nu als volgt uitdrukken in de projectoren:

(<>⊕<p•r>)=p•s⊕p•r⊕r•s⊕<p•r>=p•s⊕r•s

(<>⊕<p•s>)=p•s⊕p•r⊕r•s⊕<p•s>=p•r⊕r•s

(<>⊕<r•s>)=p•s⊕p•r⊕r•s⊕<r•s>=p•s⊕p•r

Noteer dat dit volledig met orthogonaliteit overeenkomt, bijvoorbeeld: (p•s⊕r•s)•(p•r⊕r•s)=r•s⊕p•r⊕p•s⊕<<>>=<>⊕<<>>

Met deze waardetoekenning wordt H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=<p•q>•(<>⊕<p•r>)⊕p•q•(<>⊕<p•s>)⊕p•r•(<>⊕<r•s>) niet verschillend van:

<p•q>•(p•s⊕r•s)⊕p•q•(p•r⊕r•s)⊕p•r•(p•s⊕p•r)=

<s•q>⊕<p•q•r•s>⊕q•r⊕p•q•r•s⊕r•s⊕<<>>=

<<>>⊕<s•q>⊕q•r⊕r•s en dit is de disjunctie van s•q en <r•q>

Of volledig gelijkwaardig:

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=<r•q>•(<>⊕<p•r>)⊕s•q•(<>⊕<p•s>)⊕r•p•(<>⊕<r•s>) wordt

<r•q>•(p•s⊕r•s)⊕s•q•(p•r⊕r•s)⊕r•p•(p•s⊕p•r)=

<p•q•r•s>⊕<s•q>⊕p•q•r•s⊕q•r⊕r•s⊕<<>>=

<<>>⊕<s•q>⊕q•r⊕r•s en dit is de disjunctie van simultaan drie mogelijkheden

• s•q en <r•q>, namelijk <s<q>><<s>q><<r<q>><<r>q>>

• s•q en <r•s>, namelijk <s<q>><<s>q><<r<s>><<r>s>>

• <s•r> en <r•q>, namelijk <<s<r>><<s>r>><<r<q>><<r>q>>

De drie haakuitdrukkingen kunnen vereenvoudigd worden tot dezelfde welgevormde haakuitdrukking in drie onderscheidingen, namelijk <<<s>r<q>><s<r>q>>. Dit is de conjunctie van <s>r<q> en s<r>q.

Bewijs voor <s<q>><<s>q><<r<q>><<r>q>>

<<<s<q>><<s>q>r<q>><<s<q>><<s>q><r>q>>

<<<s>r<q>><s<r>q>>

Bewijs voor <s<q>><<s>q><<r<s>><<r>s>>

<<<s<q>><<s>q>r<s>><<s<q>><<s>q><r>s>>

<<<q>r<s>><q<r>s>>

Bewijs voor <<s<r>><<s>r>><<r<q>><<r>q>>

<<<<s<r>><<s>r>>r<q>><<<s<r>><<s>r>><r>q>>

<<<s>r<q>><s<r>q>>

QED

De resulterende disjunctie kan op vier manieren geschreven worden als een creatief product:

H=(<>⊗s•q)_s•r=<<>>⊕<s•q>⊕r•s⊕q•r=<>•(<>⊕<r•s>)⊕s•q•(<>⊕r•s)=(<>⊗X)_s•r⊕(X⊗s•q)_s•r

H=(<>⊗<s•r>)_<s•q>=<<>>⊕<s•q>⊕r•s⊕q•r=<>•(<>⊕s•q)⊕<s•r>•(<>⊕<s•q>)=(<>⊗X)_s•q⊕(X⊗<s•r>)_s•q

H=(<>⊗<q•r>)_<s•q>=<<>>⊕<s•q>⊕r•s⊕q•r=<>•(<>⊕s•q)⊕<r•q>•(<>⊕<s•q>)=(<>⊗X)_<s•q>⊕(X⊗<q•r>)_<s•q>

H=(<r•s>⊗<r•q>)_<r•q>=<<>>⊕<s•q>⊕r•s⊕q•r=<r•s>•(<>⊕r•q)⊕<r•q>•(<>⊕<r•q>)=(<r•s>⊗X)_<r•q>⊕(X⊗<q•r>)_<r•q>

Slechts drie van de vier gebruiken een verschillende orthogonale basis. Inderdaad, de twee uitdrukkingen met de projectoren van s•q zijn een tautologie voor zelfs een deel van de 3&1 som:

H=<>•(<>⊕s•q)⊕<s•r>•(<>⊕<s•q>)=<>•(<>⊕s•q)⊕<r•q>•(<>⊕<s•q>).

Hieruit volgt:

<s•r>•(<>⊕<s•q>)⊕r•q•(<>⊕<s•q>)=<>•(<>⊕s•q)⊕<<>>•(<>⊕s•q)=X

<s•r>•(<>⊕<s•q>)=<r•q>•(<>⊕<s•q>)

r•s⊕q•r=r•q⊕r•s

Het is alsof in H de onderscheiding p=<<>> verondersteld is maar dat is niet zo, immers die veronderstelling genereert r•q⊕<r>⊕<s>⊕<s•q> en dit is (s⊗r)_q of dus <q<s>><<q><r>>. Beide welgevormde haakuitdrukkingen zijn niet identiek zoals in de volgende tabel bewezen wordt:

H=(r•p⊗s•q)_s•r wordt onder deze voorwaarden van orthogonaliteit immers met dezelfde toegevoegde onderscheiding r•s gereduceerd tot H=(<>⊗s•q)_s•r=<<>>⊕<s•q>⊕r•s⊕q•r en het is hierdoor duidelijk dat r•p vervangen wordt door <>. Dus A₁=<>⊕p•s⊕p•r⊕r•s die in de veronderstelling van orthogonaliteit niet verschillend is van <<>> wordt dan geschreven als <>⊕p•s⊕p•r⊕r•s=<<>> en dus geldt <<>>⊕p•s⊕r•s=<<>> waaruit volgt dat <p•s>=r•s. H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=<r•q>•(<>⊕<p•r>)⊕s•q•(<>⊕<p•s>)⊕r•p•(<>⊕<r•s>) wordt dan inderdaad niet anders dan s•q•(<>⊕r•s)⊕<>•(<>⊕<r•s>)=<<>>⊕<s•q>⊕r•s⊕q•r.

Bespreking

Elke welgevormde haakuitdrukking kan als een 3&1 patroon voorgesteld worden, dus als som van vier welgevormde haakuitdrukkingen, gebaseerd op vier onderscheidingen, maar kan ook als een som van zes welgevormde haakuitdrukkingen als gewogen projectoren in vier onderscheidingen uitgedrukt worden. De voorwaarde die er voor zorgt dat deze projectoren orthogonaal zijn reduceert de welgevormde haakuitdrukking dan wel tot een nieuwe welgevormde haakuitdrukking, en niet tot een gecollapste haakuitdrukking (zoals door het opleggen van een voorwaarde gewoonlijk gebeurt). Hierin zijn er maar drie van de vier onderscheidingen meer aanwezig en die spannen een volwaardige tralie op als deeltralie van de tralie die door de vier onderscheidingen opgespannen wordt. De resulterende welgevormde haakuitdrukking kan dan zowel als een conjunctie als een disjunctie beschouwd worden en zal dus invarianten vertonen voor gelijk welk soort operatie.

In de projectoren is p niet aanwezig

Als in de projectoren p niet aanwezig is leidt het product van twee projectoren tot de constructie van A₂, een atoom in een universum waarin p niet optreedt.

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=p•q•(<>⊕<q•r>)⊕<p•q>•(<>⊕q•s)⊕<q•r>•(<>⊕r•s)

(<>⊕<q•r>)•(<>⊕q•s)=<<>>⊕<q•s>⊕q•r⊕<r•s>

(<>⊕<q•r>)•(<>⊕r•s)=<<>>⊕<q•s>⊕q•r⊕<r•s>

(<>⊕q•s)•(<>⊕r•s)=<<>>⊕<q•s>⊕q•r⊕<r•s>

<<>>⊕<q•s>⊕q•r⊕<r•s> is een projector voor de drie assen en gedraagt zich dus als centraal punt en is de projector gebaseerd op het atoom A₂=<>⊕<q•s>⊕q•r⊕<r•s> in het deeluniversum waarin p niet optreedt, die als welgevormde haakuitdrukking kan geschreven worden als <<<q•s>><q•r>>, die niet te onderscheiden is van <<<q•s>><<r•s>>>, die niet te onderscheiden is van <<q•r><<r•s>>>.

Dus in de veronderstelling dat A₂=<>⊕<q•s>⊕q•r⊕<r•s>=<<>> is het centraal punt de al-nul vector en zijn de drie projectoren twee-aan-twee orthogonaal.

In de projectoren is r niet aanwezig

Als in de projectoren r niet aanwezig is leidt het product van twee projectoren tot de constructie van A₃, een atoom in een universum waarin r niet optreedt.

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=r•s•(<>⊕<p•s>)⊕<r•s>•(<>⊕<q•s>)⊕s•p•(<>⊕<p•q>)

(<>⊕<p•s>)•(<>⊕<q•s>)=<<>>⊕q•s⊕p•s⊕p•q

(<>⊕<p•s>)•(<>⊕<p•q>)=<<>>⊕q•s⊕p•s⊕p•q

(<>⊕<q•s>)•(<>⊕<p•q>)=<<>>⊕q•s⊕p•s⊕p•q

<<>>⊕q•s⊕p•s⊕p•q is een projector voor de drie assen en gedraagt zich dus als centraal punt en is de projector gebaseerd op het atoom A₃=<>⊕q•s⊕p•s⊕p•q in het deeluniversum waarin r niet optreedt, die als welgevormde haakuitdrukking kan geschreven worden als <<<q•s>><<p•s>>>, die niet te onderscheiden is van <<<q•s>><<p•q>>>, die niet te onderscheiden is van <<<p•s>><<p•q>>>.

Dus in de veronderstelling dat A₃=<>⊕q•s⊕p•s⊕p•q=<<>> is het centraal punt de al-nul vector en zijn de drie projectoren twee-aan-twee orthogonaal.

In de projectoren is s niet aanwezig

Als in de projectoren s niet aanwezig is leidt het product van twee projectoren tot de constructie van A₄, een atoom in een universum waarin s niet optreedt.

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=r•s•(<>⊕<p•r>)⊕<r•s>•(<>⊕q•r)⊕r•p•(<>⊕p•q)

(<>⊕<p•r>)•(<>⊕q•r)=<<>>⊕<q•r>⊕p•r⊕<p•q>=(<>⊕(<>⊕<q•r>⊕p•r⊕<p•q>)) met A₄=<>⊕<q•r>⊕p•r⊕<p•q>

(<>⊕<p•r>)•(<>⊕p•q)=<<>>⊕<q•r>⊕p•r⊕<p•q>

(<>⊕q•r)•(<>⊕p•q)=<<>>⊕<q•r>⊕p•r⊕<p•q>

<<>>⊕<q•r>⊕p•r⊕<p•q> is een projector voor de drie assen en gedraagt zich dus als centraal punt en is de projector gebaseerd op het atoom A₄=<>⊕<q•r>⊕p•r⊕<p•q> in het deeluniversum waarin s niet optreedt, die als welgevormde haakuitdrukking kan geschreven worden als <<<q•r>><p•r>>, die niet te onderscheiden is van <<<q•r>><<p•q>>>, die niet te onderscheiden is van <<p•r><<p•q>>>.

Dus in de veronderstelling dat A₄=<>⊕<q•r>⊕p•r⊕<p•q>=<<>> is het centraal punt de al-nul vector en zijn de drie projectoren twee-aan-twee orthogonaal.

Besluit

We hebben aangetoond dat elke welgevormde haakuitdrukking een driedimensionale ruimte definieert. Dit is een ruimte met twee orthogonale projectie assen. We hebben nu ook de voorwaarde geconstrueerd in het haakformalisme voor de constructie van een vierdimensionale ruimte met drie orthogonale projectie assen. Hierbij kan de conjunctie van twee assen wel ervaren worden maar de conjunctie van drie assen niet. De disjunctie van de drie assen is dan altijd ervaren, het is onmogelijk dat dit anders zou zijn. Dit beschrijft de keuzevrijheid die een agens heeft in een (fysische) driedimensionale ruimte met drie orthogonale projectie assen. De voorwaarde is de waardetoekenning aan een atoom in een twee onderscheidingen universum waardoor de projector die op dat atoom gebaseerd is de al-nul vector wordt en als oorsprong kan beschouwd worden van het ingenomen standpunt.

We merken op dat de orthogonaliteit op een andere manier blijkt, in de driedimensionale ruimte met twee orthogonale projectie assen geldt de orthogonaliteit zonder bijkomende voorwaarden (namelijk <>⊕<h> is altijd orthogonaal met <>⊕h), in de vierdimensionale ruimte met drie orthogonale projectie assen geldt de orthogonaliteit onder de voorwaarde dat een waarde toegekend werd aan een punt. Dit kan een subtiel verschil lijken aangezien elke agens altijd iets ervaart, maar het is juist de uitdrukking van die tautologie: waardetoekenning leidt altijd tot een ruimte met cartesiaanse coëfficiënten. Daarenboven kunnen we door het toekennen van een waarde aan iets (bijvoorbeeld een atoom) het begrip “tijd” modelleren. Dit betekent ook dat sommige punten elkaar zullen uitsluiten, onmogelijk samen te ervaren zijn. Uit wat we nu begrepen hebben betekent dit dat voor elk “punt in de tijd” er een driedimensionale orthogonale ruimte kan geconstrueerd worden wat dan het intuïtieve begrip van fysisch ruimtelijke punten kan verklaren, het is immers onmogelijk iets anders te ervaren. Dit is een potentiële werkelijkheid (“indien... dan...”) gebaseerd op drie onderscheidingen die op zijn potentiële relaties kan onderzocht worden. Het is blijkbaar onvermijdelijk dat een driedimensionale werkelijkheid in de tijd verandert (we ervaren immers altijd iets en het is dan onvermijdelijk dat er ook iets anders gebeurt). Deze constructie kan dan echter niet losgekoppeld worden van de keuze van een actueel ingenomen standpunt dat de oorsprong genoemd wordt en zo wordt elk punt van de ruimte geassocieerd met een richting en een afstand vanuit die oorsprong. Zo wordt dan de euclidische ruimte gereconstrueerd in het haakformalisme en vinden we de cartesiaanse coëfficiënten terug (die we beter niet de naam coördinaten geven, omdat een coördinaat voorbehouden is voor de vier dimensionale werkelijkheid). Inderdaad: als we het patroon noteren als a₁•(<>⊕h₁)⊕a₂•(<>⊕h₂)⊕a₃•(<>⊕h₃) of nog als a₁•e₁⊕a₂•e₂⊕a₃•e₃ en daarenboven veronderstellen dat de projectoren orthogonaal zijn met elkaar, en dus het atoom dat gerelateerd is aan de drie projectoren ervaren is, dan zijn a₁, a₂, a₃ de drie cartesiaanse coëfficiënten vanuit de gekozen oorsprong, namelijk het gekozen standpunt met een gekozen waarde. De drie coëfficiënten kunnen een uniek punt in die ruimte representeren, punt dat genoteerd wordt als de vector (a₁ a₂ a₃). Merk op dat er niets verondersteld wordt over de telbaarheid, de coëfficiënten moeten geen getallen zijn. Merk op dat er niets verondersteld wordt over een fysische interpretatie van de projectoren.

Als gevolg van het axioma dat we altijd iets ervaren, zijn aan elk uniek ervaren drie punten op een unieke manier toe te wijzen. De uniciteit van de drie punten en de onmogelijkheid om drie projectoren simultaan te ervaren (en dus de onvermijdelijkheid van het ervaren van de disjunctie van de drie projectoren) is het begrip (fysische) ruimte zoals ze in het haakformalisme gemodelleerd kan worden. Juist doordat het onmogelijk is om niet te ervaren is het onmogelijk simultaan twee verschillende (fysisch) ruimtelijke punten in te nemen (conjunctie) hoewel het onvermijdelijk is dat men de overeenkomstige keuzevrijheid met de drie projectoren ervaart (disjunctie) en daarenboven is dit onlosmakelijk verbonden met het begrip “tijd”.

We hebben ook een tweede vorm geconstrueerd. Beide zijn uitdrukkingen van dezelfde welgevormde haakuitdrukking H in dezelfde basis maar met andere coëfficiënten. Met een voorbeeld: H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=<p•q>•(<>⊕<p•r>)⊕p•q•(<>⊕<p•s>)⊕r•p•(<>⊕<r•s>)=<r•q>•(<>⊕<p•r>)⊕s•q•(<>⊕<p•s>)⊕r•p•(<>⊕<r•s>) en dus de cartesiaanse coördinaten (<p•q>, p•q, r•p) versus (<r•q>, s•q, r•p). Enkel in het laatste geval zijn de coördinaten onafhankelijk van elkaar. Het eerste geval is dus een tweedimensionaal vlak in een driedimensionale cartesiaanse ruimte, diagonaal tussen twee assen.

De voorwaarde voor orthogonaliteit van de projectoren geldt onder andere wanneer de drie punten die de tweedimensionale ruimte opspannen dezelfde waarde hebben (wat die ook zou zijn, dus allemaal niet verschillend van <<>>, ofwel, allemaal niet verschillend van <>). Dit is duidelijk vanuit de volgende tabel voor het geval dat p niet voorkomt in de projectoren. Dit is uiteraard niet de enige mogelijkheid.

Gevolg

De som van de vier mogelijke driedimensionale basissen is terug een uitdrukking voor H

<p•q>•(<>⊕<p•r>)⊕p•q•(<>⊕<p•s>)⊕p•r•(<>⊕<r•s>)⊕

p•q•(<>⊕<q•r>)⊕<p•q>•(<>⊕q•s)⊕<q•r>•(<>⊕r•s)⊕

r•s•(<>⊕<p•s>)⊕<r•s>•(<>⊕<q•s>)⊕s•p•(<>⊕<p•q>)⊕

r•s•(<>⊕<p•r>)⊕<r•s>•(<>⊕q•r)⊕r•p•(<>⊕p•q)

We verzamelen op basis van dezelfde coëfficiënten, waarvoor we eerst de uitdrukkingen voorbereiden:

p•q•(<<>>⊕p•r)⊕p•q•(<>⊕<p•s>)⊕p•r•(<>⊕<r•s>)⊕

p•q•(<>⊕<q•r>)⊕p•q•(<<>>⊕<q•s>)⊕q•r•(<<>>⊕<r•s>)⊕

r•s•(<>⊕<p•s>)⊕r•s•(<<>>⊕q•s)⊕s•p•(<>⊕<p•q>)⊕

r•s•(<>⊕<p•r>)⊕r•s•(<<>>⊕<q•r>)⊕r•p•(<>⊕p•q)

Samen levert dit op:

p•q•(<<>>⊕p•r)⊕p•q•(<>⊕<p•s>)⊕p•q•(<>⊕<q•r>)⊕p•q•(<<>>⊕<q•s>)⊕p•r•(<>⊕<r•s>)⊕q•r•(<<>>⊕<r•s>)⊕r•s•(<>⊕<p•s>)⊕r•s•(<<>>⊕q•s)⊕r•s•(<>⊕<p•r>)⊕r•s•(<<>>⊕<q•r>)⊕s•p•(<>⊕<p•q>)⊕r•p•(<>⊕p•q) of

p•q•(<<>>⊕p•r⊕<>⊕<p•s>⊕<>⊕<q•r>⊕<<>>⊕<q•s>)⊕p•r•(<>⊕<r•s>)⊕q•r•(<<>>⊕<r•s>)⊕r•s•(<>⊕<p•s>⊕<<>>⊕q•s⊕<>⊕<p•r>⊕<<>>⊕<q•r>)⊕s•p•(<>⊕<p•q>)⊕r•p•(<>⊕p•q) en gereduceerd:

p•q•(p•r⊕<p•s>⊕<q•r>⊕<q•s>)⊕r•s•(<p•s>⊕q•s⊕<p•r>⊕<q•r>)⊕p•r•(<>⊕<r•s>)⊕<q•r>•(<>⊕r•s)⊕s•p•(<>⊕<p•q>)⊕r•p•(<>⊕p•q)

Dit is inderdaad de som van vier maal dezelfde H zoals hieronder uit de splitsing duidelijk wordt:

p•q•(p•r⊕<p•s>⊕<q•r>⊕<q•s>)⊕

r•s•(<p•s>⊕q•s⊕<p•r>⊕<q•r>)⊕

p•r•(<>⊕<r•s>)⊕<q•r>•(<>⊕r•s)⊕

s•p•(<>⊕<p•q>)⊕r•p•(<>⊕p•q)

QED

Een groepering op basis van zes deels orthogonale projectoren kan ook als volgt:

<p•q>•(<>⊕<p•r>)⊕r•s•(<>⊕<p•r>)⊕

p•q•(<>⊕<p•s>)⊕r•s•(<>⊕<p•s>)⊕

p•r•(<>⊕<r•s>)⊕<q•r>•(<>⊕r•s)⊕

p•q•(<>⊕<q•r>)⊕<r•s>•(<>⊕q•r)⊕

<r•s>•(<>⊕<q•s>)⊕<p•q>•(<>⊕q•s)⊕

s•p•(<>⊕<p•q>)⊕r•p•(<>⊕p•q)

Dit is een som van 12 gewogen projectoren, wat ook resulteert in vijf orthogonale basissen:

(<>⊕<p•r>)•(<p•q>⊕r•s)⊕(<>⊕<p•s>)•(p•q⊕r•s)⊕

p•r•(<>⊕<r•s>)⊕<q•r>•(<>⊕r•s)⊕

p•q•(<>⊕<q•r>)⊕<r•s>•(<>⊕q•r)⊕

<r•s>•(<>⊕<q•s>)⊕<p•q>•(<>⊕q•s)⊕

s•p•(<>⊕<p•q>)⊕r•p•(<>⊕p•q)

Elke component van de orthogonale basis gedraagt zich als een eenheid of een dimensie (het zijn er hier dus 10) en de coëfficiënt in die basis gedraagt zich als een intensiteit of “maat”.