In het haakformalisme kan elke welgevormde haakuitdrukking H geschreven worden als een som van vier vectorproducten zoals ze geïntroduceerd werden met het creatief product patroon. We noteren bijvoorbeeld de welgevormde haakuitdrukking H als r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>. De vectorproducten zijn opgebouwd op basis van vier welgevormde haakvectoren p, q, r en s en de 2-vectoren kunnen ook geïnterpreteerd worden als de coëfficiënten in een vierdimensionale basis.

We veronderstellen nu een operatie die de welgevormde haakuitdrukking H₁ transformeert in de welgevormde haakuitdrukking H₂. In zijn algemeenheid kan deze operatie enkel een creatief product zijn aangezien sommige onderscheidingen zullen verdwijnen en andere onderscheidingen toegevoegd zullen moeten worden. Daarenboven weten we dat er hoe dan ook iets gemeenschappelijk moet zijn, dus zonder aan algemeenheid te verliezen kunnen we veronderstellen dat we de uitdrukking van H₁ kunnen gebruiken als de veronderstelde gemeenschappelijke hypothese. We moeten dus onderzoeken welke karakteristieken een operatie kan hebben die gaat van r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q> naar een u₁•r•q⊕u₂•<r•p>⊕u₃•<s•p>⊕u₄•<s•q> die eveneens een welgevormde haakuitdrukking is, namelijk H₂. Deze laatste uitdrukking is niet anders dan u₁•r•q⊕<u₂•r•p>⊕<u₃•s•p>⊕<u₄•s•q>. Dit blijft een welgevormde haakuitdrukking indien elke u_i een welgevormde haakuitdrukking is en indien het 3&1 patroon behouden blijft. Dit kan wanneer alle u_i dezelfde waarde hebben, wat die waarde ook zou zijn. Dus een voldoende (maar niet noodzakelijke) voorwaarde is <u_i>•<<u>_i>↔<> die niet anders is dan <u_i><<u>_i>↔<>. Dit is exact de voorwaarde dat elke u_i de karakteristiek heeft van een getal: elke u_i kan dus geïnterpreteerd worden als de intensiteit van de vectoren r•q; <r•p>; <s•p>; <s•q>. Dus de u_i zijn geen coëfficiënten omdat de vectoren niet idempotent zijn, maar we kunnen ze wel coördinaten noemen. De vier welgevormde haakuitdrukkingen die termen zijn van de som, namelijk r•q; <r•p>; <s•p>; <s•q>, kunnen als vector beschouwd worden die de inbedding is van het vectorproduct van de drie andere. Deze vectoren zijn geen projectoren (ze zijn niet idempotent voor het vectorproduct) maar ze zijn wel idempotent voor het creatief product en voor de nevenschikking.

u₁•r•q⊕<u₂•r•p>⊕<u₃•s•p>⊕<u₄•s•q> is op verschillende manieren te schrijven als creatief product, maar enkel als u₁•u₂•u₃•u₄ = <<>>, bijvoorbeeld u₁=u₂•u₃•u₄, wat wat we als volgt demonstreren: r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q> ∼ (r•p⊗s•q)_s•r ∼ (r•p⊗s•q)_<p•q> dus u₁•r•q⊕u₁•<u₁•u₂•r•p>⊕<u₃•s•p>⊕u₃•<u₃•u₄•s•q> ∼ (u₁•r)•q⊕u₁•(u₁•r)<u₂•p>⊕(u₃•s)•<p>⊕(u₃•s)•<u₃•u₄•q> ∼ (u₁•u₃•u₄•r)•u₃•u₄•q⊕u₁•(u₁•r)<u₂•p>⊕(u₂•u₃•s)•<u₂•p>⊕(u₃•s)•<u₃•u₄•q> ∼ (u₂•r•p⊗u₄•s•q)_{u2•u3•s•r}

In de klassieke hypothese sluiten de vier p, q, r en s elkaar uit. Een vectorproduct is dan een atoombuur (in tegenstelling met de veronderstelling bij de kwantum hypothese) en in een twee onderscheidingen universum te tellen. Hierdoor is het mogelijk infinitesimalen te introduceren en scalaire velden. Een scalair veld introduceert een zin op de richting uitgaande van de coëfficiënten van de afgeleiden en definieert een groter ten opzichte van een kleiner vectorproduct. Als de zin van de eenheidsvector in de zin van de grotere waarden gekozen wordt, dan wordt de coëfficiënt van het vectorproduct een coördinaat genoemd. Een scalair veld zal in de vier richtingen een andere intensiteit hebben. We zullen dus voor één scalair veld vier getallen bekomen X_i met i=1, 2, 3, 4 die enkel zin hebben met de vier lokaal impliciete elkaar uitsluitende standpunten: de welgevormde haakvectoren p, q, r en s. We noteren dus X₁•r•q⊕X₂•<r•p>⊕X₃•<s•p>⊕X₄•<s•q> waarmee we dus elke atoombuur gewogen hebben met een getal en hiermee de lokale intensiteit van de atoombuur in het scalair veld modelleren. Merk op dat X₁•r•q⊕X₂•<r•p>⊕X₃•<s•p>⊕X₄•<s•q> een welgevormde haakuitdrukking is omdat elke term uit de som een welgevormde haakuitdrukking is en het haakformalisme onafhankelijk is van de betekenis die men aan de gebruikte symbolen wil geven. Dit betekent dus ook dat we op formeel niveau afstand kunnen nemen van het 3&1 patroon als we dat willen door geschikte symbolen te kiezen voor welgevormde haakuitdrukkingen met meer dan vier elementen in de som. Dit wordt duidelijk door het volgende voorbeeld: stel X₁=<Y> dan wordt X₁•r•q⊕X₂•<r•p>⊕X₃•<s•p>⊕X₄•<s•q> geschreven als <Y•r•q>⊕X₂•<r•p>⊕X₃•<s•p>⊕X₄•<s•q> en dit is een vorm die op het eerste zicht niet voldoet aan het 3&1 patroon. Dit neemt echter niet weg dat we kunnen blijven eisen dat de coördinaten dezelfde waarde moeten hebben.

Hiermee hebben we het begrip coördinaat ingevoerd als de vier getallen (scalairen) die op een unieke manier een welgevormde haakuitdrukking (een mogelijks te ervaren gebeurtenis) kunnen coderen in een scalair veld dat vanuit vier standpunten beschreven wordt.

Verschillende welgevormde haakuitdrukkingen zullen in het algemeen verschillende coördinaten toegewezen krijgen en vanuit het inzicht in de processnelheid moet dat gerelateerd zijn met een momentaan waargenomen onderscheidingen universum. Dit onderscheidingen universum is gebonden aan een agens-in-context en kan dus veranderen, wat niet anders is dan de betekenis die we geven aan tijd. Die momentane waarnemingen karakteriseren een stabiliteit, namelijk de agens-in-context, die niet anders is dan een relatie tussen die waarnemingen. Die relatie heeft de structuur van een tralie en modelleert wat onafhankelijk is van de momenteel waargenomen coördinaten.

Een coördinaatonafhankelijke structuur wordt ook een tensor genoemd. Een tensor is dus een 3&1 patroon dat onafhankelijk is van de keuze van de vier welgevormde haakuitdrukkingen die gebruikt worden als opbouwende elementen en die we in het haakformalisme ook standpunten genoemd hebben omdat ze in het 3&1 patroon in een 2-vector optreden. Een tensor vertegenwoordigt dus een structuur van telbare eenheden, structuur die vanuit verschillende standpunten (agentia-in-context) kan waargenomen worden, met verschillende meetinstrumenten bijvoorbeeld die afhankelijk van het standpunt andere intensiteiten zal genereren, en waar men toch tot dezelfde conclusie voor zal komen. Als het onderscheidingen universum fijn genoeg is, dan doet het er niet toe welke meetcontexten men gebruikt om dit waar te nemen. De structuur die men waarneemt kan dan coördinaatonafhankelijk zijn maar de verschillende componenten van de tensor zijn niet gelijk, met andere woorden: de componenten van de array zijn wel afhankelijk van het standpunt. Naargelang het standpunt veranderen de componenten op een zodanige manier dat een bepaalde structuur, die hier dus als H weergegeven wordt, dezelfde blijft.

Elke welgevormde haakuitdrukking H is dus een tensor, ook wanneer men de klassieke hypothese veronderstelt. De ervaringswaarde van H zal zich dan voordoen (in plaats van als <> of <<>>) als een bepaald getal dat staat voor de lokale intensiteit van een punt in de werkelijkheid (of zoals in de interpretatie van de relativiteitstheorie een ruimte-tijd punt). Dit getal zal dus afhankelijk zijn van het ingenomen standpunt terwijl de structuur dat niet is. Het tensorveld wordt gedefinieerd door een getalwaarde (van een tensor) te associëren met elk ruimte-tijd punt. Dit betekent dat elk ruimte-tijd punt een intensiteit kan hebben en dus een welgevormde haakuitdrukking met een ervaringswaarde. Het tensorveld is dus het onderscheidingen universum als scalair veld zoals een getalfunctie een “verzameling gerelateerde getallen” is, dit veld volgt onvermijdelijk vanuit de klassieke hypothese dat men enkel elkaar uitsluitende punten als onderscheidingen hanteert. Het tensorproduct is dan een voorbeeld van het creatief product met een laatst toegevoegde onderscheiding omdat het tensor product de dimensionaliteit van het tensorveld vergroot (zoals het creatief product) en associatief is (zoals het creatief product met een laatst toegevoegde onderscheiding).

Elke welgevormde haakuitdrukking definieert dus een lokaal coördinatenstelsel dat kan beschreven worden door vier standpunten, dus vier welgevormde haakuitdrukkingen als haakvectoren (geen projectoren, coördinaten zijn in dit geval geen componenten van een vector) die “in een andere richting wijzen”, en elke richting heeft een zin. In een scalair veld (de klassieke hypothese) heeft elke welgevormde haakuitdrukking in zijn lokaal universum vier coördinaten. Dat zijn dus de componenten van een enkelvoudige array. Het begrip array wordt gebruikt wanneer men wil vermijden dat deze getallen als componenten van een vector (een projector in het haakformalisme) zouden geïnterpreteerd worden. Om een welgevormde haakuitdrukking met een intensiteit in een scalair veld te kunnen voorstellen moet het aantal componenten van arrays dus voldoen aan het aantal basisvectoren (of dimensies) die in het vector model van het haakformalisme gegeven wordt door 3n+1, vier standpunten in een vier dimensionale basis zijn daarbij altijd te construeren.

Dit maakt ook duidelijk hoe coördinaten in de kwantum hypothese kunnen gedefinieerd worden: het vectorproduct van elkaar uitsluitende welgevormde haakuitdrukkingen kan dan niet meer als atoombuur beschouwd worden en de velden zijn niet meer scalair.

Elk lokaal coördinatenstelsel kan een evolutie vertonen met een laatst toegevoegde onderscheiding, evolutie die met 10 vectoren kan beschreven worden waarvan de som gelijk is aan de al-nul vector. We kunnen dat illustreren door c als laatst toegevoegde onderscheiding te nemen en hiervan het vectorproduct te maken met de toestanden in twee onderscheidingen: het resultaat is 10 welgevormde haakuitdrukkingen op centraal niveau.

De som van deze 10 punten is de alnul vector, en de alnul vector is de uitdrukking van evenwicht (zoals <<>>⊕<<<>>>=X, (a⊕<b>)⊕<(a⊕<b>)>=X, (a⊕<b>)⊕(b⊕<c>)⊕(c⊕<a>)=X, enz…) en nilpotentie.