Aan elke welgevormde haakuitdrukking h kunnen we drie projectoren verbinden en dus drie ruimten:

1. <<>> versus <>

2. <>⊕<h> versus <<>>⊕h

3. <>⊕h versus <<>>⊕<h>

De ruimten <>⊕<h> en <>⊕h genereren een splitsing waarbij transformaties met willekeurige haakuitdrukkingen zich als de componenten van tweedimensionale getallen gedragen, of anders gezegd als coëfficiënten van orthogonale basisvectoren.

Bewijs:

Stel S=s₁•(<>⊕<h>)⊕s₂•(<>⊕h)

Stel T=t₁•(<>⊕<h>)⊕t₂•(<>⊕h)

S⊕T=s₁•(<>⊕<h>)⊕s₂•(<>⊕h)⊕t₁•(<>⊕<h>)⊕t₂•(<>⊕h)=(s₁⊕t₁)•(<>⊕<h>)⊕(s₂⊕t₂)•(<>⊕h)

S•T=(s₁•(<>⊕<h>)⊕s₂•(<>⊕h))•(t₁•(<>⊕<h>)⊕t₂•(<>⊕h))

=s₁•(<>⊕<h>)•t₁•(<>⊕<h>)⊕s₁•(<>⊕<h>)•t₂•(<>⊕h)⊕s₂•(<>⊕h)•t₁•(<>⊕<h>)⊕s₂•(<>⊕h)•t₂•(<>⊕h)

=(s₁•t₁)•(<>⊕<h>)⊕(s₂•t₂)•(<>⊕h) aangezien de ruimten idempotent zijn en dat er geldt dat (<>⊕h)•(<>⊕<h>)=X

Dus sommen en producten volgen hetzelfde schema

S⊕T=(s₁⊕t₁)•(<>⊕<h>)⊕(s₂⊕t₂)•(<>⊕h)

S•T=(s₁•t₁)•(<>⊕<h>)⊕(s₂•t₂)•(<>⊕h)

QED

Uitbreiding

Het enige dat we moesten veronderstellen is idempotentie en een product dat de nulvector is. De constructie is dus gemakkelijk uit te breiden tot basissen en meerdere dimensie als volgt: neem (<>⊕h_i), deze projector is idempotent, construeer nu een (<>⊕h_j) met (<>⊕h_i)•(<>⊕h_j)=X. Hoe groter het onderscheidingen universum hoe meer zo’n projectoren kunnen geconstrueerd worden, wat gemakkelijk in het bitstring model te bewijzen is.

Besluit en gevolgen

S⊕<S>=(s₁⊕<s₁>)•(<>⊕<h>)⊕(s₂⊕<s₂>)•(<>⊕h)=X

S•<S>=(s₁•s₁)•(<>⊕<h>)⊕(s₂•s₂)•(<>⊕h)=<>

In koppelvorm in de basis [<>⊕<h>, <>⊕h] kunnen we schrijven:

(s₁, s₂)⊕(t₁, t₂)=(s₁⊕t₁, s₂⊕t₂ )

(s₁, s₂)•(t₁, t₂)=(s₁•t₁, s₂•t₂ )

Merk op dat er niets verondersteld is over de componenten van de koppels (dus s₁, s₂, t₁, t₂). We beschikken dus over een universele basis waarin haakuitdrukkingen (die op zich al structuren zijn) zich met de klassieke som- en product-regels als getallen zullen gedragen. Dus: wanneer we (<>⊕<h>) en (<>⊕h) beschouwen als basisvectoren van een orthogonale idempotente basis (en dus als projectoren), dan kunnen we de vectorvermenigvuldiging met willekeurige haakuitdrukkingen beschouwen als een vermenigvuldiging met telbare coëfficiënten in die basis. Dit is de manier waarop we coëfficiënten zullen definiëren. Dit betekent dat coëfficiënten geen getallen moeten zijn maar structuren kunnen zijn die zich gedragen volgens de klassieke operaties op getallen. Klassieke getallen zullen dus vanuit deze structuren kunnen geconstrueerd worden door daar de bijkomende en transparante voorwaarde te stellen dat we aspecten s₁ en s₂ (die mogelijkerwijze simultaan andere aspecten realiseren) als evenwaardige labels kunnen beschouwen voor een gemeenschappelijk simultaan aspect. Deze getallen zijn dubbelgetallen in het algemeen geval, er zijn dus altijd twee structuren betrokken zoals (s₁, s₂).

De coëfficiënten worden gevormd door de welgevormde haakuitdrukkingen die gesommeerd en/of vermenigvuldigd worden met elkaar als creatief product te schrijven waarin de welgevormde haakuitdrukking die de basis construeert dezelfde toegevoegde onderscheiding is

Bewijs

S=s₁•(<>⊕<h>)⊕s₂•(<>⊕h)∼<s₁>⊕<s₁•h>⊕<s₂>⊕s₂•h∼<s₁>⊕<s₂>⊕<s₁•h>⊕s₂•h∼(<s₁>⊕<s₂>)•<<>>⊕(<s₁>⊕s₂)•h∼(s₁⊗s₂)_h

en analoog T=t₁•(<>⊕<h>)⊕t₂•(<>⊕h)∼(t₁⊗t₂)_h

QED

Dit brengt ons ook het speciaal geval dat elk vectorproduct kan geschreven worden als creatief product van twee punten die elkaars inbedding zijn, immers neem S=s•(<>⊕<h>)⊕<s>•(<>⊕h)∼<s>⊕<s•h>⊕s⊕<s>•h∼<s>⊕s⊕<s•h>⊕<s•h>∼(<s>⊕s)•<<>>⊕(<s>⊕<s>)•h∼(s⊗<s>)_h∼s•h

Een paar voorbeelden met enkel andersduale punten tonen aan hoe universeel zo’n basissen ingezet kunnen worden.

We hebben: (r•p⊗s•q)_s•r=<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q. Dit schrijven we nu in de basis van s•r:

(<r•p>⊕<s•q>)•<<>>⊕(<r•p>⊕s•q)•s•r∼<r•p>⊕<s•q>⊕<r•p•s•r>⊕s•q•s•r∼<r•p>⊕<r•p•s•r>⊕<s•q>⊕s•q•s•r∼r•p•(<>⊕<s•r>)⊕s•q•(<>⊕s•r). Dus r•p en s•q kunnen als getallen geïnterpreteerd worden.

Er is echter nog een basis voor dezelfde uitdrukking <s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q die aanleiding geeft tot een andere opsplitsing, namelijk <s•q>⊕<r•p> en <s•p>⊕r•q. We kunnen ze schrijven als de gewogen orthogonale projectoren s•q•(<>⊕<p•q•r•s>) en s•p•(<>⊕p•q•r•s) en dus (r•p⊗s•q)_s•r∼(s•q⊗s•p)_{p•q•r•s}. Dit is de meest eenvoudige opsplitsing van dat universum (orthogonale 1-splitsing) die alle relevante onderscheidingen meeneemt. Zo zijn er twee vormen met deze laatst toegevoegde onderscheiding:

s•(q⊗p)_{p•q•r•s}∼(s•q⊗s•p)_{p•q•r•s} ∼<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q.

p•(r⊗s)_{p•q•r•s}∼(r•p⊗s•p)_{p•q•r•s}∼(<r•p>⊕<s•p>)•<<>>⊕(<r•p>⊕s•p)•p•q•r•s∼<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>⊕r•q.

We merken op dat enerzijds de voorwaarde p•q•r•s=<<>> de som <s•p>⊕r•q doet verdwijnen, de voorwaarde p•q•r•s=<> doet anderzijds de som <s•q>⊕<r•p> verdwijnen.

De voorwaarde p•q•r•s=<<>> impliceert dat de vier 1-vectoren dezelfde waarde hebben of dat ze per twee dezelfde waarde hebben die verschillend kan zijn zoals expliciet duidelijk wordt in de onderstaande tabel.

De voorwaarde p•q•r•s=<> impliceert dat drie 1-vectoren dezelfde waarde hebben en de vierde de andere waarde zoals ook expliciet duidelijk wordt in de onderstaande tabel.

Om dit meer te expliciteren: we kunnen enkel die rijen bewaren die voldoen aan de voorwaarde p•q•r•s=<<>> om duidelijker te demonstreren dat de voorwaarde de disjunctie is van “twee aan twee dezelfde waarde” en “alle vier dezelfde waarde”:

De voorwaarde p•q•r•s=<> drukt daarentegen een unieke voorwaarde uit: drie hebben dezelfde waarde en één de andere waarde.

De tabel maakt ook duidelijk dat elke 1-vector, 2-vector, 3-vector zich op centraal niveau bevindt in het grootste universum. Hetzelfde geldt voor hun inbedding.