In het haakformalisme is er slechts één gereserveerd symbool: <> (of zijn inbedding <<>>). In het vector isomorfisme van het haakformalisme hebben we het al een scalair genoemd. Alle andere symbolen die zouden geïntroduceerd worden moeten als een welgevormde haakuitdrukking kunnen voorgesteld worden en dat is de enige eis die gesteld wordt. We gaan nu een bijkomende eis stellen en dus het gebruik van sommige symbolen hierdoor verder beperken. Die symbolen zullen we dan getallen noemen.
Het axioma van het getal is een bijkomende eis die gesteld wordt aan symbolen die we getallen willen noemen: de transformatie S van symbolen twee-aan-twee kan niet onderscheiden worden van <>. Er wordt dus een collaps van de tralie uitgevoerd waarin die symbolen voorkomen als gevolg van de eis S↔<>. Dit betekent dat men twee symbolen moet introduceren en dat de twee dezelfde waarde moeten hebben, waarde die niet gekend moet zijn. Dat soort symbolen “zijn” dan getallen, hebben alle karakteristieken van getallen, zijn er equivalent mee, kunnen als getal gebruikt worden.
Merk op dat dit een structuur eigenschap is, en dat de symbolen zelf eveneens voor structuren kunnen staan.
S is een ingebedde vectorvermenigvuldiging, en in welgevormde haakuitdrukking staat S dus voor de transformatie van twee symbolen. Neem als voorbeeld van symbolen a en b, dan staat S dus voor <<a<b>><<a>b>>, in equivalente notering <a•b>. Geldt de collaps <<a<b>><<a>b>>↔<>, dan zijn a en b getallen.
Het axioma kunnen we dan ook als volgt uitdrukken: een vectorvermenigvuldiging die een waarde krijgt kan niet onderscheiden worden van een scalair.
Het is deze eis die zin geeft aan de nul, de modulo3 benadering van het haakformalisme en die de operatie ⊕ definieert. Inderdaad: wanneer er geldt dat S↔<>, dan geldt ook dat (<<>>⊕S)=(<<>>⊕<>)=X. En uiteraard geldt dan ook: wanneer er geldt dat S↔<<>>, dan geldt ook dat (<>⊕S)=(<>⊕<<>>)=X.
Het vectorproduct (de transformatie) is een unieke relatie van enkel maar twee aspecten. Aangezien er maar twee mogelijke waarden zijn kan men van twee punten zeggen dat ze ofwel dezelfde waarde, ofwel tegengestelde waarde hebben, maar van drie of meer punten kan men wel zeggen dat ze dezelfde waarde hebben maar niet dat ze tegengestelde waarde hebben. Enkel gelijkwaardigheid kan uitgebreid worden.
Voert men meerdere symbolen in dan moeten ze twee-aan-twee gelijkwaardig zijn. Er moet dus gelden dat (<<>>⊕S1)⊕(<<>>⊕S2)⊕...⊕(<<>>⊕Sn)=X, wat de gelijkwaardigheid van n-1 symbolen uitdrukt.
Hier staat de ⊕ duidelijk voor een logische AND: alle componenten van de som moeten de waarde X hebben.
Ook de logische OR kunnen we uitdrukken: (<<>>⊕S1)•(<<>>⊕S2)•...•(<<>>⊕Sn)=X. Dit betekent: het is voldoende dat een component van de som de waarde X heeft, en dat geldt voor een willekeurige keuze van component.
Het centraal axioma van het haakformalisme wordt dus uitgedrukt door het patroon (<<>>⊕S)•(<<>>⊕<S>)=X, en inderdaad, dit geldt altijd en is de uitdrukking van de orthogonaliteit van (<<>>⊕S) en (<<>>⊕<S>) of ook (<>⊕S) en (<>⊕<S>). Orthogonaliteit is een geometrisch begrip, maar inzicht hierin vereist geen geometrische intuïties of axiomas. Het is de uitdrukking van de fundamentele logische disjunctie (het enige axioma van het haakformalisme).
Hiermee is natuurlijk een tralie op te bouwen. Deze tralie komt volledig overeen met de tralie die we opbouwen met behulp van de relatie van relevantie.
Gelijkwaardigheid is een belangrijk en “beladen” begrip. Als getallen gelijkwaardig zijn dan drukt dat niet uit dat ze gelijk zijn, het drukt wel uit dat we gelijk welk getal zouden kunnen kiezen als een soort referentie. Anders gezegd: als we erin slagen om een relatie uit te drukken met behulp van getallen, dan is die relatie onafhankelijk van de gekozen schaal, de relatie heeft een karakteristiek die zich op gelijk welke schaal laat uitdrukken, alle schalen zijn gelijkwaardig. Met een eenvoudig voorbeeld: “verdubbelen” of “halveren” zijn relaties tussen getallen, onafhankelijk van hoe groot ze zijn, maar sommige relaties kunnen we niet halveren zonder de essentie weg te nemen (“een halve koe is geen koe maar een kadaver”, “de elementaire elektrische lading blijkt niet kleiner te kunnen zijn dan 1,602176634×10−19 Coulomb”, “de kleinste waarde van een euromunt is 1 cent”). We zullen dat inzicht op een didactische manier stap voor stap ontwikkelen.