Een orthogonale involutie kunnen we definiëren voor zowel welgevormde haakuitdrukkingen als voor gecollapste haakuitdrukkingen.

Welgevormde haakuitdrukkingen

We definiëren dat twee welgevormde haakuitdrukkingen orthogonaal zijn als hun conjunctie niet verschillend is van <<>>.

We kunnen hier dan ook het orthogonaliteitssymbool invoeren: “a_i sluiten elkaar uit ten opzichte van a_inf” kunnen we ook noteren als a_i⊥a_j voor i≠j, merk op dat a_inf impliciet in het symbool vervat zit: dit is een orthogonaliteit ten opzichte van een infimum of beperkt repertorium.

Deze relatie heeft de volgende eigenschappen:

1. a_sup ↔ <<>> (het is onmogelijk het supremum te ervaren)

2. Als a_i⊥a_j voor i≠j dan ook a_j⊥a_i voor i≠j

3. Als <b_k>a_i ↔ <> en a_i⊥a_j voor i≠j dan ook b_k⊥a_j (en dat is de eis van consequentie)

Noteer dat orthogonaliteit mogelijk is in een universum waar alle punten de waarde <<>> hebben. Punten zijn orthogonaal ten opzichte van een bepaald infimum: in de ene vrijheid kan ik op een consequente manier wel realiseren wat ik niet kan in een andere vrijheid.

Een orthogonale involutie is op te bouwen vanuit het creatief product. We kunnen elke welgevormde haakuitdrukking schrijven in een 3&1 patroon. We bewijzen nu dat de orthogonale involutie van een welgevormde haakuitdrukking de operatie is die twee van de vier termen van de 3&1 som inbedt. Dit betekent dat twee orthogonale welgevormde haakuitdrukkingen kunnen geschreven worden als elkaars gecommuteerde variant in een creatief product op voorwaarde dat de gecommuteerde varianten verschillend zijn (dit is niet anders dan a_i⊥a_j voor i≠j en dan ook a_j⊥a_i voor i≠j).

Bewijs met als voorbeeld (r•p⊗s•q)_s•r en (s•q⊗r•p)_s•r

De conjunctie van (r•p⊗s•q)_s•r en (s•q⊗r•p)_s•r wordt in het haakmodel uitgedrukt door

<<<<<s•r>><r•p>><<s•r><s•q>>><<<s•r><r•p>><<<s•r>><s•q>>>>

Beschouw nu een vectorproduct als gehanteerd symbool (zodanig dat we de dubbele haken kunnen weglaten zonder verwarring te creëren) en dus dit is niet anders dan

<<<s•r<r•p>><<s•r><s•q>>><<<s•r><r•p>><s•r<s•q>>>>

<<<s•r<r•p><<<s•r><r•p>><s•r<s•q>>>><<s•r><s•q><<<s•r><r•p>><s•r<s•q>>>>>>

<<<s•r<r•p><s•q>><<s•r><s•q><r•p>>>>

<<r•p><s•q><<s•r><<s•r>>><s•q><r•p>>

<<r•p><s•q><<s•r>s•r><s•q><r•p>>

<<r•p><s•q>>

De conjunctie van de creatieve producten die elkaars gecommuteerde variant zijn is dus niet anders dan de conjunctie van de termen. De conjunctie heeft waarde <<>> enkel wanneer zowel r•p als s•q waarde <> hebben. We krijgen hierin nog meer inzicht door een volledige tabel te construeren:

We zien dat <s•q><r•p> altijd waarde <> heeft behalve in vier gevallen (4 op 16, is dus 1 op 4). In deze gevallen hebben p•q en r•s dezelfde waarde, maar dan kan het niet anders dat de eenheden van het creatief product identiek zijn. Inderdaad: (r•p⊗s•q)_s•r=(r•p⊗s•q)_<p•q> geldt in het algemeen geval, dat is niet anders dan (r•p⊗s•q)_s•r=(s•q⊗r•p)_p•q, en in het geval dat p•q en r•s dezelfde waarde hebben is dit dus (r•p⊗s•q)_a=(s•q⊗r•p)_a wat betekent dat r•p=s•q. QED. Dezelfde waarde voor beide is in concreto dus <>.

Besluit: als de gecommuteerde versies van een creatief product verschillen en hun conjunctie niet verschillend is van <<>> dan zijn ze orthogonaal. Een orthogonale involutie is in dat geval het commuteren van een creatief product.

Deze orthogonaliteit wordt veroorzaakt door een symmetrische inwendige involutie (één component van elk onafhankelijk standpunt wordt ingebed).

Met vier termen zijn er zes mogelijkheden om een gecommuteerde variant te maken. Elke variant heeft zijn inbedding waarmee hij natuurlijk orthogonaal is.

Dus elke welgevormde haakuitdrukking is orthogonaal met zeven andere. Dit is het patroon van een AND-atoom in drie onderscheidingen, atoom dat ook orthogonaal is met zeven andere.

Voor de conjuncties zijn er drie types: de termen hebben geen gemeenschappelijke component en de termen hebben wel een gemeenschappelijke component, met twee mogelijke invullingen. Het eerste geval illustreren we met de welgevormde haakvectoren s•q⊕<r•p>⊕<r•q>⊕<s•p> en s•q⊕<r•p>⊕r•q⊕s•p. Hierbij hebben s•q en <r•p> geen component gemeenschappelijk. We berekenen het product om dan de conjunctie te vormen:

De conjunctie is dus <>⊕s•q⊕<r•p>⊕<p•q•r•s>

Het tweede (met r•s) en derde (met p•q) geval illustreren we met de welgevormde haakvectoren <s•q>⊕<r•p>⊕<r•q>⊕s•p en s•q⊕<r•p>⊕r•q⊕s•p. Hierbij hebben <r•p> en s•p de component p gemeenschappelijk. We berekenen het product om dan de conjunctie te vormen:

<r•s>

De conjunctie is <>⊕s•q⊕r•p⊕r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕r•p⊕<r•q>⊕<s•p>⊕<r•s>

<>⊕<r•p>⊕s•p⊕<r•s> en dit is de conjunctie van zowel r•p en <s•p>, als van r•p en r•s, als van <s•p> en r•s.

Het derde geval zal dan de term <p•q> bevatten.

Gecollapste haakuitdrukkingen

We definiëren een involutie die enkel werkzaam is op willekeurige signatuurbits (modulo3 bits) en don't cares (de modulo3 nul die met een x aangegeven wordt). Voor deze involutie is het onderscheid in termen van signatuurbits irrelevant. Dit wordt duidelijk bij een voorstelling in modulo3 bits waar we een typografisch punt gebruiken als het aangeven van een locatie waar ofwel een +, ofwel een – mogelijk is. Deze voorstelling hebben we ontwikkeld om de relatie van relevantie te definiëren.

Om de orthogonale involutie (of orthogonalisering) te construeren van de bitvoorstelling van een punt worden al de plaatsen met een typografisch punt vervangen door een don't care en omgekeerd.

Bijvoorbeeld:

(.xxxxxx.)is de orthogonale involutie van (x......x).

(.xxx)is de orthogonale involutie van (x...).

(xxxxxxxx)is de orthogonale involutie van (........).

Dit geldt wat ook de signatuur invulling zou zijn van de typografische punten. Dus: behalve voor het laatste voorbeeld moet men een beslissing nemen wat de inwendige structuur moet zijn van de haakvector. De orthogonalisering van een punt kan dus slechts bepaald worden indien men kiest voor een universum dat kan voorgesteld worden met een beperkt en gekend aantal bits omdat alle bits betrokken moeten zijn.

Constructie van een orthogonale involutie met gecollapste haakuitdrukkingen

Een orthogonale involutie kan altijd geconstrueerd worden vanuit de vectorsom van twee willekeurige welgevormde haakuitdrukkingen als volgt: noem de twee willekeurige welgevormde haakuitdrukking p en q. Bereken de haakvectorsom in modulo3 formaat p⊕q en noem dit p', de restklassen van de string die verschillend zijn van elkaar zullen don't care (of nul) worden. De restklassen die gelijk zijn worden ingebed. Dit is een unieke actie die enerzijds overeenkomst met een transformatie van de bitstrings (gelijke bits geven een ander resultaat dan verschillende bits), maar anderzijds een nul genereert in plaats van nieuwe betekende bits, p' is dus een gecollapst punt.

Bereken p⊕<q> en noem dit q', de restklassen die nul geworden zijn in p' zullen juist niet de waarde nul krijgen, en de restklassen die geen nul waren in p' zullen nul worden. Dit is eveneens een unieke actie die enerzijds overeenkomst met een transformatie van de bitstrings, maar anderzijds een nul genereert in plaats van nieuwe betekende bits.

De string p'•q' zal dus altijd de al-nul string zijn.

We kunnen dit ook als volgt demonstreren: (p⊕q)•(p⊕<q>)=p•p⊕p•<q>⊕q•p⊕q•<q>=<<>>⊕<>=X

De punten p⊕q en p⊕<q> zijn elkaars orthogonale involutie en zijn ook orthogonaal in de formele geometrische betekenis: de bitsgewijze scalaire modulo3 vermenigvuldiging van de overeenkomstige modulo3 bits levert de nulvector op.

In modulo3 bitstring formaat hebben p' en q' naast de don't care bits zowel plus-signatuur bits als min-signatuur bits. Zij hebben geen gemeenschappelijke betekende bits. Zij zijn dus een punt uit twee gecollapste tralies die opgespannen wordt door de betekende bits. Het punt p' is een punt van de ene tralie, het punt q' is een punt van de andere tralie. De twee tralies vullen elkaar aan en spannen de originele tralie op die enkel betekende bits heeft. Beide tralies zijn werkelijk complementair aan elkaar. De vectorsommen (die altijd een gecollapste vector zullen genereren uitgaande van twee welgevormde haakuitdrukkingen) zijn met elkaar als volgt gerelateerd:

(p⊕q)•(p⊕q)=<>⊕<p•q>

(p⊕<q>)•(p⊕<q>)=<>⊕p•q

(p⊕q)•(<>⊕p•q)=<p>⊕q⊕<q>⊕p=X

(p⊕q)•(<>⊕<p•q>)=<p>⊕<q>⊕<q>⊕<p>=p⊕q

(p⊕<q>)•(<>⊕p•q)=<p>⊕q⊕q⊕<p>=p⊕<q>

(p⊕<q>)•(<>⊕<p•q>)=<p>⊕<q>⊕q⊕p=X

Geometrische interpretatie

Beide punten behoren dus tot twee orthogonale “ruimten”. Zo definiëren we het begrip “ruimte” en dit hoeft niet maar kan wel geometrisch geïnterpreteerd worden. Een ruimte is de deeltralie opgespannen door de betekende bits van een gecollapst punt. Dit voldoet perfect aan de algemeen aanvaarde interpretatie dat transformaties die binnen een ruimte kunnen uitgevoerd worden irrelevant zijn voor wat er met punten in een andere ruimte gebeurt. De geometrische interpretatie is daar maar één van de vele voorbeelden van, andere voorbeelden zijn te vinden in de lineaire operator benadering van datapunten.

De vectorvermenigvuldiging van een gecollapst punt (bijvoorbeeld p⊕q, met p en q welgevormde haakuitdrukkingen) met een willekeurige welgevormde haakuitdrukking zal deze haakuitdrukking in de ruimte van het gecollapst punt (bijvoorbeeld p⊕q) projecteren. Het projecteren is dus het transformeren maar dan met een al dan niet gecollapst punt, dus met een algemene haakvector in plaats van een welgevormde haakuitdrukking. Dit is dan ook de definitie van deze operatie.

Noteer dat we dit kunnen uitbreiden naar een p en q die gecollapste punten zijn. In dit geval zijn p⊕q en p⊕<q> niet meer orthogonaal, laat staan elkaars orthogonale involutie. De nulvector wordt wel bereikt door de volgende transformatie: p•q•(p⊕q)•(p⊕<q>).

De orthogonale involutie heeft een analogie met het klassiek scalair product (componentsgewijze vermenigvuldiging van vectoren) dat voor orthogonale vectoren de al-nul vector oplevert. Het groot verschil met het klassiek scalair product is dat het klassiek scalair product ook de al-nul vector oplevert wanneer de twee componenten don't care bits zijn. Bijvoorbeeld: het klassiek scalair product van (.xxxxxxxxxxx)en (x...xxxxxxxx) is de al-nul vector, maar beide zijn niet elkaars orthogonale involutie. De orthogonale involutie zoals gedefinieerd in het haakformalisme heeft dus een geometrische interpretatie die ook klassiek formeel bekend is, maar stelt wel de eis dat men kiest voor een universum dat kan voorgesteld worden met een beperkt en gekend aantal bits.

Hiermee hebben we orthogonaliteit ook wiskundig geometrisch uitgedrukt. In drie dimensies is dit pas in de negentiende eeuw definitief mogelijk geworden door de introductie van quaternionen waarmee het begrip orthogonaliteit kon uitgebreid worden naar twee naar drie dimensies. Maar in hogere dimensies lukt dit niet meer met dezelfde wiskundige benadering. Drie dimensies hebben dus iets heel speciaals en als men de parameter tijd als de vierde dimensie wil beschouwen dan is die dimensie zeker niet orthogonaal met de drie andere, een verandering van een punt in drie dimensies kan niet los gezien worden van een verandering in de dimensie tijd. Dus “vier dimensies” moet een “soort mengeling” zijn van de drie ruimte dimensies en één tijd dimensie die samen een unieke toestand vormen. Snelheid blijkt hierbij een basisbegrip te zijn (speciale relativiteitstheorie), niet positie, niet tijd, en aan versnelling kunnen we niet ontsnappen wat betekent dat we “de vrije val” als referentie moeten gebruiken voor versnelling en dat is dus afhankelijk van een lokaal massa verschil (algemene relativiteitstheorie). Maar dat is het ook dat de beschrijving op geometrisch vlak van een werkelijkheid die “heel lang geleden” ontstaan moet zijn zo moeilijk maakt. Een geometrische beschrijving waarin de dimensie tijd een intensiteit kan hebben kan immers niet gebruikt worden.

In het haakformalisme is duidelijk dat vier dimensies speciaal zijn als ze als de som in 3&1 patroon opgebouwd zijn omdat ze dan een welgevormde haakuitdrukking vormen. De som is ook duidelijk onderbouwd en laat toe om gelijk welke haakuitdrukking (met of zonder don’t cares) als een dimensie te modelleren.

De orthogonaliteit van het inner product

We hebben orthogonaliteit niet alleen voor gecollapste haakvectoren gedefinieerd, maar ook voor welgevormde haakvectoren, en dus orthogonaliteit binnen een tralie. Dit wordt bekomen door een symmetrische inwendige involutie, die altijd het resultaat is van een welbepaalde transformatie. Aangezien elke welgevormde haakuitdrukking als het 3&1 creatief product patroon kan uitgedrukt worden, zullen voor elk punt van een tralie drie orthogonale punten kunnen gevonden worden. Elke tralie zal dus op verschillende manieren op het twee-onderscheidingen universum kunnen afgebeeld worden, wat ook geïllustreerd wordt door het creatief product vermenigvuldigd met een even vectorproduct.

In de klassieke formalismen wordt dit de orthogonaliteit van het inner product genoemd.

Dit is verschillend maar gelijkaardig met het klassieke dot product, componentsgewijze vermenigvuldiging, die voor orthogonale gecollapste vectoren de nulvector oplevert. Deze orthogonaliteit wordt veroorzaakt doordat de gecollapste tralies (ruimten) elkaar aanvullen om een niet gecollapste tralie te vormen. Dit wordt duidelijk op twee manieren:

• de transformatie of vectorvermenigvuldiging van de haakvectoren levert de nulvector op

• de conjunctie van haakvectoren van type (<>⊕h) levert <<>> op en de disjunctie de nulvector

• de conjunctie van haakvectoren van type (<<>>⊕h) levert de nulvector op en de disjunctie resulteert in <>

• de componentsgewijze vermenigvuldiging van de bitvoorstelling levert de nulvector op

• de matrix vermenigvuldiging van een van de gecollapste vectoren en de transpose van de andere vector levert de nulvector op

Een voorbeeld hiervan is de orthogonaliteit van gecollapste atomen. De vier gecollapste OR-atomen worden gevormd door een product van vier gecollapste vectoren:

(<>⊕a)•(<<>>⊕b)=<>⊕a⊕<b>⊕a•b=<<>>⊕(<<>>⊕a⊕<b>⊕a•b)

(<>⊕<a>)•(<<>>⊕b)=<>⊕<a>⊕<b>⊕<a•b>

(<>⊕a)•(<<>>⊕<b>)=<>⊕a⊕b⊕<a•b>

(<>⊕<a>)•(<<>>⊕<b>)=<>⊕<a>⊕b⊕a•b

Elk gecollapst atoom is orthogonaal met elk ander gecollapst atoom, juist door die constructie! Niet gecollapste atomen kunnen zo niet gevormd worden. De som van gecollapste atomen levert gecollapste punten van de tralie op.

Terwijl de nevenschikking en het vectorproduct van welgevormde atomen niet verschillend is, is dat voor gecollapste atomen wel het geval. Welgevormde atomen kunnen slechts in aantallen 2ⁿ voorkomen, terwijl gecollapste atomen in gelijk welk aantal kunnen voorkomen.