Algemeen

Twee verschillende willekeurige welgevormde haakuitdrukkingen zullen altijd een aantal bits gemeenschappelijk hebben en een aantal bits die elkaars tegengestelde zijn, behalve als ze elkaars inbedding zijn. Dit is een rechtstreeks gevolg van de modulo2 benadering van het formalisme en dit maakt het mogelijk een uniek derde punt te construeren dat de transformatie is van beide willekeurige welgevormde haakuitdrukkingen.

We splitsen nu beide welgevormde haakuitdrukkingen in een som van twee nieuwe haakuitdrukkingen (die dus niet meer welgevormd zijn), zodat enerzijds hun gemeenschappelijke en anderzijds hun tegengestelde bits een orthogonale involutie vormen. Hiervoor zijn er uiteraard verschillende mogelijkheden. De beide welgevormde haakuitdrukkingen noemen we dan elkaars inwendige involutie.

Bijvoorbeeld: <ab<c>><<a><bc>> is, op de manier die in de tabel aangegeven is, een van de mogelijke inwendige involuties van <c<b>a><<c><<b>a>>.

Het is hiermee duidelijk dat een inwendige involutie enkel voor welgevormde haakvectoren en voor gecollapste haakvectoren waar de don't cares gemeenschappelijk zijn, verbonden is met een welbepaalde orthogonale involutie.

De naam “inwendig” is het gevolg van de definitie omdat de ene naar de andere getransformeerd kan worden door enkel maar een gedeelte van de haakvector in te bedden. De inbedding van datzelfde gedeelte levert terug de oorspronkelijke welgevormde haakuitdrukking, wat de involutie bewijst. Om een inwendige involutie te kunnen uitvoeren moet men dus een beslissing nemen wat de inwendige structuur moet zijn van de haakvector.

Een inwendige involutie is het gevolg van een transformatie involutie. In het voorbeeld is het duidelijk dat de involutie die beide punten H₁⊕H₂ en H₁⊕<H₂> genereert bereikt wordt door een transformatie met c<b> of in vectorformaat <<>>⊕b⊕<c>⊕c•b, of(--++----), immers <ab<c>><<a><bc>>•<c<b>> is niet te onderscheiden van <c<b>a><<c><<b>a>>, dus in signatuurstring (de vectorvermenigvuldiging is de inbedding van de transformatie): (--------)•(+++---+-)•(--++----)=(++-+--+-)

De transformatie van beide punten geeft de mogelijkheid om te onderzoeken in welk gecollapst universum de twee punten elkaars inbedding zijn. We zullen dat een relatieve inbedding noemen, een inbedding enkel in het geval dat een bepaalde collaps opgetreden is, en dus een selectie gemaakt werd welke bits relevant zijn. De constructie die hiervoor nodig is, is heel eenvoudig: het vectorproduct van beide punten geeft welke bits gelijk zijn en welke verschillend, met het voorbeeld: (+++---+-)•(++-+--+-)=(++--++++), de som met <> levert (xx++xxxx)op en dus de vermenigvuldiging met deze laatste gecollapste haakvector levert de gecollapste tralie op waarin beide punten elkaars inbedding zijn. Noem de twee punten die elkaars relatieve inbedding zijn H en H^<>, dan kunnen we schrijven in symbolische vorm:

H=(<>⊕(H₁⊕H₂)•(H₁⊕<H₂>))•(H₁⊕H₂) en dit is in bitstring (xx+-xxxx)

H^<>=(<>⊕(H₁⊕H₂)•(H₁⊕<H₂>))•(H₁⊕<H₂>) en dit is in bitstring (xx-+xxxx)

Nota: de signatuur bitstring is natuurlijk de gemakkelijkst leesbare representatie om de inwendige involutie aan te geven. Op de hieronder aangegeven manier kunnen de betrokken haakvectoren uit de gecollapste atomen afgeleid worden:

Voor de gemeenschappelijke component:

Voor de ingebedde component:

Dus H=a⊕<b•a>⊕c•a⊕<c•b•a> en H^<>=<a>⊕b•a⊕<c•a>⊕c•b•a

Een inwendige involutie met punten op het centraal niveau

Een interessant speciaal geval van een symmetrische inwendige involutie is het inbedden van elke individuele onderscheiding. We hebben dit elders het contradualeren van een haakuitdrukking genoemd.

Bijvoorbeeld: neem c<ba>. Bij het inbedden van enkel de onderscheidingen bekomt men <c><<b><a>>, en de inbedding van de individuele onderscheidingen levert terug het oorspronkelijke punt c<ba> op, wat de involutie bewijst.

Als we dit nu in haakvectorformaat uitvoeren dan wordt duidelijk welk gedeelte van de haakvector door de inwendige involutie beïnvloed wordt en welke orthogonale involutie hiermee uitgevoerd wordt. Neem inderdaad c<ba> in zijn vectorvoorstelling: <>⊕<a>⊕<b>⊕<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>⊕<c•b•a> en bed de individuele onderscheidingen in tot <>⊕<<a>>⊕<<b>>⊕<<b>•<a>>⊕<<c>•<a>>⊕<<c>•<b>>⊕<<c>•<b>•<a>>. Onmiddellijk valt op dat <> in de vectorsom door deze operatie niet veranderd kan worden (<> is geen onderscheiding), maar ook dat de vectorsom tot de volgende kan gereduceerd worden: <>⊕a⊕b⊕<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>⊕c•b•a. Als we deze laatste uitdrukking vergelijken met de startuitdrukking dan zien we dat het gedeelte dat door deze involutie niet veranderd wordt (wat we aangeven met ronde haken) het andersduale gedeelte is en dat enkel het zelfduale gedeelte ingebed wordt:

(<>⊕<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>)⊕(a⊕b⊕c•b•a) is dus een inwendige involutie van (<>⊕<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>)⊕(<a>⊕<b>⊕<c•b•a>)

De punten waarbij enkel de onderscheidingen ingebed worden hebben we ook toegevoegde punten genoemd. Dus: (<>⊕<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>)⊕(a⊕b⊕c•b•a) en (<>⊕<b•a>⊕<c•a>⊕<c•b>)⊕(<a>⊕<b>⊕<c•b•a>) zijn elkaars toegevoegden.

In modulo3 bitstring geldt de volgende vertaling van deze sommen

Het is de transformatie met (-++++++-) of dus <<<c•a>><<c•b>>> of in vectorvorm <>⊕b•a⊕c•a⊕c•b of dus <<>>⊕<H₁> die de inwendige involutie uitvoert.

Geometrische interpretatie

Een inwendige involutie kan geïnterpreteerd worden als de geometrische orthogonale spiegeling ten opzichte van een as, vlak, in het algemeen een ruimte.

Het na elkaar spiegelen ten opzichte van de twee ruimten komt overeen met een puntspiegeling. Met het laatste voorbeeld: de eerste spiegeling gaat van (-xxxxxx-)⊕(x+++–––x) naar (-xxxxxx-)⊕(x---+++x), de spiegeling ten opzichte van de tweede ruimte gaat van (-xxxxxx-)⊕(x---+++x) naar (+xxxxxx+)⊕(x---+++x), waarbij het resultaat gelijk is aan (+---++++), de inbedding van (–+++––––).