Bij het dualeren of contradualeren van een welgevormde haakuitdrukking wordt niet altijd een nieuwe welgevormde haakuitdrukking bekomen. We kunnen twee soorten haakuitdrukkingen onderscheiden op basis van een specifieke symmetrie bij deze operaties.

Bij de operatie dualeren

De haakuitdrukkingen die deze symmetrie vertonen zullen we zelfduale haakuitdrukkingen noemen. Voor zelfduale haakuitdrukkingen is hun toegevoegde gelijk aan hun inbedding.

Bij de operatie contradualeren

De haakuitdrukkingen die deze symmetrie vertonen zullen we andersduale haakuitdrukkingen noemen (is een eenvoudiger uitdrukking dan “zelf-contra-duale”). Voor andersduale haakuitdrukkingen is hun toegevoegde gelijk aan zichzelf.

Alle basisvectoren, die dus voor gelijk welk aantal onderscheidingen de hele tralie opspannen, zijn ofwel zelfduaal, ofwel andersduaal.

Het aantal andersduale en zelfduale welgevormde haakuitdrukkingen in een universum met n onderscheidingen is altijd het dubbele van het totaal aantal punten in het n-1 onderscheidingen universum. Met een voorbeeld is dit heel snel in te zien als volgt: een willekeurig punt, neem 1000, kan in het één hoger universum afgebeeld worden op 1000.0001 en dit is een andersduaal punt, maar het kan ook afgebeeld worden op 1000.1110, en dit is een zelfduaal punt.

Per definitie kan een andersduale welgevormde haakuitdrukking maar voorkomen op de even niveaus en het aantal op dat niveau wordt gegeven door het aantal punten op een niveau van de tralie met één onderscheiding minder. Een zelfduale welgevormde haakuitdrukking kan per definitie slechts op het centraal niveau voorkomen en het aantal op dat niveau wordt gegeven door het totaal aantal punten van de tralie met één onderscheiding minder.

Overzicht van eigenschappen

Zelfdualiteit is enkel mogelijk op centraal niveau in de tralie en dit wordt gekarakteriseerd doordat er evenveel hoogbits als laagbits zijn. Dit betekent dat een willekeurige bitstring die volgens statistische inzichten als volledig willekeurig gekarakteriseerd zou worden (50% zijn hoogbits en 50% zijn laagbits) een betekenis kan krijgen als verschillende “logische” combinaties van onderscheidingen (er zijn meerdere evenwaardige uitdrukkingen voor één welgevormde haakuitdrukking). Dat betekent natuurlijk niet dat dit voor mensen betekenis heeft, maar in elk geval kan het een begin zijn van communicatie met enkel ja/neen feedback. Complexiteit is zeker niet het probleem, zelfs al is een eerste modellering zuivere willekeur.

Andersduaal en zelfduaal zijn niet a priori gegeven.

De opsplitsing in andersduale en zelfduale punten is niet a priori gekend, en moet dat niet zijn. De andersduale elementen kunnen naar zelfduale getransformeerd worden of een ander punt dat een combinatie is van beide, maar dan in een ander universum.

Zo wordt het andersduaal punt <>⊕b•a⊕c•a⊕c•b∼0111.1110 door een transformatie b•a=A, c•a=B, c•b=C (dus b•a•A=<<>>, c•a•B=<<>>, c•b•C=<<>>) omgezet in het zelfduaal punt <C•B•A>⊕A⊕B⊕C∼0001.0111.

Relatie met andere onderzoeken

Een rij van Prouhet-Thue-Morse is bij de ene stap andersduaal, en bij de volgende stap zelfduaal en heeft evenveel hoogbits als laagbits. Elk element van de rij kan dan een representatie zijn van een punt op centraal niveau. Als illustratie geven we de eerste zes rijen: