Zoals de complexe en perplexe getallen uit het 1-splitsing universum kunnen afgeleid worden, kunnen de quaternionen afgeleid worden uit het 2-splitsing universum.

Conventioneel is er nogal wat verwarring hoe een quaternion voorgesteld wordt als een 4x4 matrix. Dit heeft natuurlijk alles te maken met de signaturen die willekeurig kunnen gekozen worden als men de eenheden beschouwt als te vermenigvuldigen met een scalair met een willekeurig teken. Het enige dat men dan nog als patroon van signaturen moet onder ogen zien is de symmetrie van tegengestelde signaturen ten opzichte van de diagonalen. Die diagonalen nemen immers een speciale plaats in in het matrixproduct. Dank zij het onderzoek naar de operatoren in het 2-splitsing universum kunnen we de conventies beter plaatsen.

Er zijn twee veel voorkomende voorstelling voor een willekeurig quaternion:

• de operator volgens de normale regels van Hamilton, wat we nu in de vertaling met de inzichten van het haakformalisme kunnen schrijven als a₀•1-a₁•k-a₂•j-a₃•i, waarbij 1-k-j-i als signatuurmatrix overeenkomt met de bitstring (---+)

• de operator volgens de reverse regels van Hamilton, wat we nu in de vertaling met de inzichten van het haakformalisme kunnen schrijven als a₀•1+a₁•k+a₂•j+a₃•i en waarbij 1+k+j+i als signatuurmatrix overeenkomt met de bitstring (xxx+).

Dit zijn maar twee van de 16 mogelijke atomen (potentiële of gecollapste) van het twee onderscheidingen universum, en er wordt een andere keuze gemaakt uit de twee gesloten sets die zouden gebruikt kunnen worden. Rekening houdend met de naamgeving van de basis die in elkaar kan gepermuteerd worden zijn er dus maar twee van de 48 mogelijke overeenkomsten van 3 namen en signatuurmatrices in gebruik (beide sets hebben de basis 1 als gemeenschappelijke component). Hiermee hebben we dus de vooronderstellingen van de quaternionen in het haakformalisme afgeleid. Hiermee is ook duidelijk dat zowel de onderscheidende als verenigende kracht van het haakformalisme veel dieper gaat.

De vermenigvuldigingstabel voor quaternionen is als volgt:

Het element 1 is van orde 1.

Het element -1 is van orde 2.

De elementen +i, -i, +j, -j, +k, -k zijn van orde 4.

De quaternionen vormen een groep, een van de vijf mogelijke groepen van orde 8.

De quaternion groep heeft vijf subgroepen die dus ook in het haakformalisme kunnen gedefinieerd worden in functie van de basisvectoren van het twee onderscheidingen universum: (1); (1, -1); (1, -1, i, -i); (1, -1, j, -j); (1, -1, k, -k) die we bijvoorbeeld kunnen afbeelden op (<<>>); (<<>>, <>); (<<>>, <>, <a>, a); (<<>>, <>, <b>, b); (<<>>, <>, a•b, <a•b>). Deze herkennen we natuurlijk als de vijf twee-dimensionele basissen waarin een willekeurige welgevormde haakuitdrukking kan geschreven worden:

H=H•(<<>>)=H•(<>⊕<>)⊕H•(<>⊕<<>>)

H=<<>>•(<>⊕<H>)⊕<>•(<>⊕H)

H=<q•r>•(<>⊕p•q)⊕p•s•(<>⊕<p•q>)

H=<q•r>•(<>⊕r•s)⊕p•s•(<>⊕<r•s>)

H=<q•r>•(<>⊕p•q•r•s)⊕p•r•(<>⊕<p•q•r•s>)

De acties die in het 2-splitsing universum gedefinieerd werden maken duidelijk wat de veronderstellingen zijn die aanleiding geven tot de quaternionen. De veronderstelling is dat de haakvectoren h_i niet verschillend zijn van elkaar en een welbepaalde getalwaarde hebben. Bijvoorbeeld: 1(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)=(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄) en hierin hebben de h_i de getalwaarde a₀. Met een ander voorbeeld: k(+h₁, +h₂, +h₃, +h₄)=(-h₄, +h₃, -h₂, +h₁) en hierin hebben de h_i de waarde a₂. Dit maakt duidelijk dat er ook conventioneel een uitbreiding zal gezocht worden voor de quaternionen om diepere structuren te kunnen voorstellen met behulp van getalwaarden. Een voor de hand liggende keuze is om complexe getallen te gebruiken als coëfficiënten, en de h_i dus de getalwaarde van een complex getal te geven. Uiteraard zal men de h_i ook de getalwaarde van een quaternion kunnen geven. Dieper moet men niet gaan om elkaar uitsluitende punten (gebeurtenissen) weer te geven aangezien we bewezen hebben dat alle welgevormde haakuitdrukkingen als een som van vier componenten (standpunten) kunnen voorgesteld worden en hiermee tralies (met elkaar uitsluitende punten) kunnen geconstrueerd worden.

Merk op dat de veronderstellingen van een getalwaarde niet moeten gemaakt worden in het haakformalisme: de h_i moeten geen waarde hebben, ze kunnen perfect potentiële structuren zijn, waarmee ze dus veralgemeningen zijn van gelijk welke functie of “indien...dan” constructie.