Een willekeurige welgevormde haakuitdrukking kunnen we als een creatief product patroon van slechts vier welgevormde haakuitdrukkingen weergeven. Elke welgevormde haakuitdrukking kan dan gekozen worden om een waarde te krijgen. We tonen nu aan dat enkel het standpunt innemen van de vier 2-vectoren uit de som het mogelijk maakt een klassieke tralie met twee onderscheidingen te construeren vanuit de atomen. Alle andere standpunten kunnen dit enkel doen vanuit het centraal niveau.

Dit wordt duidelijk met een concreet voorbeeld van een willekeurige welgevormde haakuitdrukking <s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q. Enkel de standpunten s•p, s•q, r•p, r•q construeren de tralie vanuit de atomen, we noemen ze een construerende 2-vector. De volgende punten: p, q, r, s, p•q, r•s, p•q•r, p•q•s, q•r•s, p•q•r•s, leiden bij <s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q tot transformaties waarbij geen van de elementen van de som een waarde heeft. Bijvoorbeeld p•q•(<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q) leidt tot <s•q>⊕<s•p>⊕<r•q>⊕r•p. Uiteraard hebben we aangetoond dat met aan elkaar gerelateerde creatieve producten een tralie kan opgebouwd worden.

Een construerende 2-vector als standpunt

We vermenigvuldigen het creatief product <s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q met het standpunt r•q, hiermee genereren we r•q•(<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q) en we bekomen dus <p•q•r•s>⊕<r•s>⊕<p•q>⊕<<>>. Dit betekent dus dat <s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q=r•q•(<p•q•r•s>⊕<r•s>⊕<p•q>⊕<<>>). Hierbij herkennen we (<p•q•r•s>⊕<r•s>⊕<p•q>⊕<<>>) als een atoom in een twee onderscheidingen universum.

Maak nu de volgende vertaling: a∼p•q, b∼r•s, a•b∼p•q•r•s, dus <p•q•r•s>⊕<r•s>⊕<p•q>⊕<<>> is de vertaling van ab. Wanneer we terug vermenigvuldigen met r•q bekomen we de originele uitdrukking, dus is a∼r•q•p•q, b∼r•q•r•s, a•b∼r•q•p•q•r•s, <<>>∼r•q of dus a∼r•p, b∼s•q, a•b∼s•p, <<>>∼r•q waarmee duidelijk wordt dat de tralie kan geconstrueerd worden wanneer het standpunt r•q de waarde <<>> gekregen heeft en dus r niet kan onderscheiden worden van q, dat we kunnen interpreteren als dat hiermee het agens die het standpunt inneemt zijn waarnemingsresolutie bereikt heeft, geen verschil meer kan maken tussen de focus r en de focus q.

Dit is een belangrijke vaststelling die we als volgt kunnen omschrijven: in zijn algemene voorstelling is een welgevormde haakuitdrukking altijd als een product van twee welgevormde haakuitdrukkingen te schrijven. De traliestructuur is terug te vinden wanneer men slechts één element van het product, in het voorbeeld is dit (<p•q•r•s>⊕<r•s>⊕<p•q>⊕<<>>), als een som beschouwt, het andere element moet men dan een waarde toekennen.

We kunnen dus een deeltralie van 16 punten tussen de extrema r•q en <r•q> construeren wanneer ze een waarde gekregen hebben, wat een zeer belangrijke voorwaarde is voor de tralie. Hieronder geven we de vertalingen per niveau, we geven de vertaling als welgevormde haakuitdrukking en de verkorte uitdrukking als creatief product (let op de uitdrukking voor een nevenschikking en het gebruik van ronde haken waarmee we zelfs een combinatie maken die zin heeft in het zes onderscheidingen universum van p, q, r, s, a en b). De voorwaarde drukken we enkel expliciet uit bij de extrema. Merk op dat supremum en infimum dezelfde voorwaarde uitdrukken.

Niveau 4

Niveau 3

Niveau 2

Niveau 1

Niveau 0

QED

Het gevolg hiervan is dat we simultaneïteit kunnen uitdrukken met enkel nog vectorproducten, en indien gewenst de nulvector. Neem als voorbeeld r•q•(a<b>) dat uitdrukt dat a fijner is dan b wanneer r•q niet onderscheiden wordt van <<>>.

We drukken eerst uit dat de welgevormde haakuitdrukking de waarde <> krijgt, dus r•q⊕<r•p>⊕s•q⊕s•p=<r•q>, of, indien gewenst <r•q>⊕<r•p>⊕s•q⊕s•p=X. We drukken hiermee nu uit dat de waarde van a niet te onderscheiden is van <> als de waarde van b gelijk is aan <>. Dus eerst: “de waarde van b is niet verschillend van <>”, of dus s•q=<r•q>. Hieruit leiden we af dat moet gelden dan s=<r>. Beide gelijkheden tussen vectoren vullen we nu in in de welgevormde haakuitdrukking r•q⊕<r•p>⊕s•q⊕s•p=<r•q> en we bekomen r•q⊕<r•p>⊕<r•q>⊕<r•p>=<r•q> en hier staat dus r•p=<r•q>, de vertaling van “a is niet te onderscheiden van <>”.

QED

Een monovector

We starten terug van <s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q. We vermenigvuldigen dit creatief product met het standpunt r, hiermee genereren we r•(<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q) of dus <r•s•p>⊕<r•s•q>⊕<p>⊕q of r•s•(<p>⊕<q>)⊕<p>⊕q. Dus <s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q=r•(<r•s•p>⊕<r•s•q>⊕<p>⊕q). Hiermee is het onmogelijk om een atoom af te scheiden. Hiermee kunnen we wel punten op centraal niveau afscheiden in een twee onderscheidingen universum als volgt: r•s∼c; p∼a; q∼b en dus r•(<c•a>⊕<c•b>⊕<a>⊕b) waarbij (<c•a>⊕<c•b>⊕<a>⊕b) zich als een onderscheiding gedraagt aangezien dit zich op centraal niveau bevindt. Immers <c•b>⊕b⊕<a>⊕<c•a>=b•(<<>>⊕<c>)⊕a•(<>⊕<c>)=(b⊕<a>)⊕<c>•(b⊕a)∼1010.0011∼<c•b>•c<b•a>. Dit punt noemen we x. Als we dan bijvoorbeeld a inbedden (en dus een standpunt dualeren) bekomen we een punt dat zich als een tweede onderscheiding zal gedragen: <c•b>⊕b⊕a⊕c•a=b•(<<>>⊕<c>)⊕<a>•(<>⊕<c>)=(b⊕a)⊕<c>•(b⊕<a>)∼0101.0011∼<c•b>•c<<b•a>>. Dit noemen we y. Het product x•y is <c>.

Hiermee construeren we de tralie

Niveau 4

Niveau 3

Niveau 2

Niveau 1

Niveau 0

Het is ook weer duidelijk dat dit slechts een volwaardige tralies wanneer het standpunt r de waarde <<>> heeft. We berekenen daartoe de conjunctie van twee AND-atomen. Eerst berekenen we hun product (dat identiek is of we nu r meenemen in de berekening of niet):

Resultaat <c•b>⊕c•a⊕b⊕a

De conjunctie wordt dan (en enkel dan, wanneer r de waarde <<>> heeft): <>⊕<<>>⊕c•b⊕<b>⊕c⊕<<>>⊕<a>⊕<c•a>⊕<c>⊕<c•b>⊕c•a⊕b⊕a=<<>>.

QED

Gevolg

Door het feit dat we ook de tralies die vanuit deze sommen te construeren zijn onderzocht hebben, hebben we dus bewezen dat het creatief product patroon noodzakelijk en voldoende is om de werkelijkheid, als potentialiteit die te ervaren is vanuit een standpunt, volledig te beschrijven met exact 14 potentiële punten en twee punten met een waarde: het ingenomen standpunt.