Een creatief product als som van vectorproducten is een welgevormde haakuitdrukking. Uiteraard is hier hiermee ook een tralie op te bouwen. Wij geven een voorbeeld van een tralie met twee onderscheidingen a en b die we als creatief product uitdrukken van punten die gebaseerd zijn op dezelfde vectorproducten.

We moeten nu twee patronen onderzoeken: (r•p⊗s•q)_s•r versus (s•q⊗r•p)_s•r of (s•p⊗s•q)_s•r versus (s•q⊗s•p)_s•r (waarbij dit niet anders is dan s•(p⊗q)_s•r versus s•(q⊗p)_s•r)

(r•p⊗s•q)_s•r versus (s•q⊗r•p)_s•r

Neem a∼<r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕r•q en b∼<r•p>⊕<s•q>⊕s•p⊕<r•q>. Hieruit berekenen we a•b.

Resultaat is p•q•r•s, dus a•b∼p•q•r•s

Dus ab die als vectorsom <a•b>⊕<a>⊕<b>⊕<<>> is wordt in vertaling <p•q•r•s>⊕r•p⊕s•q⊕s•p⊕<r•q>⊕r•p⊕s•q⊕<s•p>⊕r•q⊕<<>> dus <p•q•r•s>⊕<r•p>⊕<s•q>⊕<<>>

Dus <a>b die als vectorsom a•b⊕a⊕<b>⊕<<>> is wordt in vertaling p•q•r•s⊕<r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕r•q⊕r•p⊕s•q⊕<s•p>⊕r•q⊕<<>> dus p•q•r•s⊕s•p⊕<r•q>⊕<<>>

Dus a<b> die als vectorsom a•b⊕<a>⊕b⊕<<>> is wordt in vertaling p•q•r•s⊕r•p⊕s•q⊕s•p⊕<r•q>⊕<r•p>⊕<s•q>⊕s•p⊕<r•q>⊕<<>> dus p•q•r•s⊕<s•p>⊕r•q⊕<<>>

Dus <a><b> die als vectorsom <a•b>⊕a⊕b⊕<<>> is wordt in vertaling <p•q•r•s>⊕<r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕r•q⊕<r•p>⊕<s•q>⊕s•p⊕<r•q>⊕<<>> dus <p•q•r•s>⊕r•p⊕s•q⊕<<>>

Hieronder geven we de vertalingen per niveau

Niveau 4

Niveau 3

Niveau 2

Niveau 1

Niveau 0

(s•p⊗s•q)_s•r versus (s•q⊗s•p)_s•r

Neem a∼<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q en b∼<s•p>⊕<s•q>⊕r•p⊕<r•q>. Hieruit berekenen we a•b.

Resultaat is p•q, dus a•b∼p•q

Dus ab die als vectorsom <a•b>⊕<a>⊕<b>⊕<<>> is wordt in vertaling <p•q>⊕s•p⊕s•q⊕r•p⊕<r•q>⊕s•p⊕s•q⊕<r•p>⊕r•q⊕<<>> dus <p•q>⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<<>>

Dus <a>b die als vectorsom a•b⊕a⊕<b>⊕<<>> is wordt in vertaling p•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q⊕s•p⊕s•q⊕<r•p>⊕r•q⊕<<>> dus p•q⊕r•p⊕<r•q>⊕<<>>

Dus a<b> die als vectorsom a•b⊕<a>⊕b⊕<<>> is wordt in vertaling p•q⊕s•p⊕s•q⊕r•p⊕<r•q>⊕<s•p>⊕<s•q>⊕r•p⊕<r•q>⊕<<>> dus p•q⊕<r•p>⊕r•q⊕<<>>

Dus <a><b> die als vectorsom <a•b>⊕a⊕b⊕<<>> is wordt in vertaling <p•q>⊕<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q⊕<s•p>⊕<s•q>⊕r•p⊕<r•q>⊕<<>> dus <p•q>⊕s•p⊕s•q⊕<<>>

Hieronder geven we de vertalingen per niveau

Niveau 4

Niveau 3

Niveau 2

Niveau 1

Niveau 0

Als controle kunnen we bijvoorbeeld de conjunctie van <>⊕p•q⊕<s•p>⊕<s•q> en <>⊕<p•q>⊕r•p⊕<r•q> berekenen volgens het algemeen patroon <>⊕<a>⊕<b>⊕a•b.

We berekenen eerst de vermenigvuldiging van beide

Resultaat is <s•p>⊕<s•q>⊕<r•q>⊕r•p

De conjunctie is dus <>⊕<a>⊕<b>⊕a•b∼<>⊕(<<>>⊕<p•q>⊕s•p⊕s•q)⊕(<<>>⊕p•q⊕<r•p>⊕r•q)⊕(<s•p>⊕<s•q>⊕<r•q>⊕r•p)=<<>>

QED

Noteer dat enkel een a en b die op dezelfde vectorproducten gebaseerd is hieraan voldoen. Als tegenvoorbeeld geven we a∼<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q en b∼<>⊕p•q⊕s•r⊕p•q•s•r. Hieruit berekenen we a•b.

Resultaat <r•p>

Conjunctie: <>⊕s•p⊕s•q⊕r•p⊕<r•q>⊕<<>>⊕<p•q>⊕<s•r>⊕<p•q•s•r>⊕<r•p>=s•p⊕s•q⊕<r•q>⊕<p•q>⊕<s•r>⊕<p•q•s•r>

Deze conjunctie is enkel gelijk aan <<>> onder de voorwaarden r=<s> en p=q dus in een heel sterk gecollapste tralie. Bewijs: voeg de vervanging uit en de conjunctie wordt s•q⊕s•q⊕s•q⊕<q•q>⊕<<>>⊕q•q=<<>>.

Gevolg

Neem a∼<s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q; b∼<s•p>⊕<s•q>⊕r•p⊕<r•q>; c∼<s•p>⊕s•q⊕<r•p>⊕<r•q>; d∼s•p⊕<s•q>⊕<r•p>⊕<r•q>

Hieruit kunnen dan alle mogelijke producten berekend worden: b•a∼p•q; c•a∼r•s; d•a∼p•q•r•s; c•b∼p•q•r•s; d•b∼r•s; d•c∼p•q waarbij duidelijk wordt dat er zich maar drie verschillende producten onderscheiden, die op hun beurt vanuit slechts twee vectorproducten gegenereerd worden: p•q en r•s, die op hun beurt een twee onderscheidingen universum opspannen.

Hiermee illustreren we dat het patroon van een twee onderscheidingen universum voldoende is om de traliestructuur die door gelijk welke welgevormde haakuitdrukking gegenereerd wordt volledig te beschrijven.