Het creatief product is gedefinieerd als een som van vier welgevormde haakuitdrukkingen, en aangezien elke welgevormde haakuitdrukking kan uitgedrukt worden als het vector product van twee andere kan het creatief product dus ook als een som van vier vectorproducten uitgedrukt worden.

We tonen aan dat een typisch patroon van de som van vier vectorvermenigvuldigingen van welgevormde haakelementen enkel welgevormde haakelementen zal genereren, en dus geen don't cares.

Bewijs:

Veronderstel dat we welgevormde haakelementen in bitstring voorstellen. De vectorvermenigvuldiging van twee welgevormde haakelementen maakt een nieuw welgevormde haakelement die we een 2-vector genoemd hebben of een transformatie. Een som van twee van deze transformaties zal over het algemeen don't cares genereren, hetzelfde voor een som van drie, maar dit hoeft niet zo te zijn voor een som van vier. In de onderstaande tabel zijn alle mogelijkheden weergegeven voor de combinaties van 1 bit voor een bepaalde som van vier welgevormde haakelementen die ook als een creatief product weergegeven zijn.

We maken de tabel voor (r•p⊗<s•q>)_s•r die als volgt als welgevormde haakuitdrukking gedefinieerd is: <<<s•r>><r•p>><<s•r><<s•q>>> en dit komt dus overeen met (<r•p>⊕s•q)•<<>>⊕(<r•p>⊕<s•q>)•s•r of dus s•q⊕<r•p>⊕<r•q>⊕<s•p>

We zien dat er enkel maar hoog-laag bits gegenereerd worden en geen modulo3 nul bits (don't cares).

QED

Uiteindelijk is dat een gevolg van het feit dat een som van drie welgevormde haakuitdrukkingen met dezelfde waarde gelijk is aan de nulvector.

Welgevormde haakuitdrukkingen in meerdere symbolen

We kunnen het aantal symbolen dat nodig is om een welgevormde haakuitdrukking weer te geven nu geleidelijk aan opdrijven.

Voor een welgevormde haakuitdrukking, hoe ingewikkeld ook, in welk universum dit ook uitgedrukt wordt, geldt dat er een universum kan gevonden worden waarin maximaal één symbool nodig en voldoende is om dezelfde welgevormde haakuitdrukking weer te geven. Dat symbool stellen we in het algemeen voor als H.

Voor een welgevormde haakuitdrukking, hoe ingewikkeld ook, in welk universum dit ook uitgedrukt wordt, geldt dat er een universum kan gevonden worden waarin maximaal twee symbolen nodig en voldoende zijn om dezelfde welgevormde haakuitdrukking weer te geven. We kunnen schrijven H=h₁•h₂. Elke welgevormde haakuitdrukking is één van de 2⁴=16 punten die door twee symbolen opgespannen worden. Elke welgevormde haakuitdrukking is één van de 16 mogelijke relaties tussen twee symbolen die operationeel te gronden zijn. Voor een relatie, hoe ingewikkeld ook, in welk universum dit ook uitgedrukt wordt, geldt, indien de relatie operationeel te gronden is, dat er een universum kan gevonden worden waarin het één mogelijkheid is van de maximaal 16 mogelijkheden.

Voor een welgevormde haakuitdrukking, hoe ingewikkeld ook, in welk universum dit ook uitgedrukt wordt, geldt dat er een universum kan gevonden worden waarin maximaal drie symbolen nodig en voldoende zijn om dezelfde welgevormde haakuitdrukking weer te geven. We kunnen schrijven (A⊗B)_C=(r•p⊗<s•q>)_s•r=H=<<<s•r>><r•p>><<s•r><<s•q>>>. Elke welgevormde haakuitdrukking is één van de 2⁸=256 punten die door drie symbolen opgespannen worden. Elke welgevormde haakuitdrukking is één van de 256 mogelijke relaties tussen drie symbolen die operationeel te gronden zijn. Voor een relatie, hoe ingewikkeld ook, in welk universum dit ook uitgedrukt wordt, geldt, indien de relatie operationeel te gronden is, dat er een universum kan gevonden worden waarin het één mogelijkheid is van de maximaal 256 mogelijkheden.

Voor een welgevormde haakuitdrukking, hoe ingewikkeld ook, in welk universum dit ook uitgedrukt wordt, geldt dat er een universum kan gevonden worden waarin maximaal vier symbolen nodig en voldoende zijn om dezelfde welgevormde haakuitdrukking weer te geven. We kunnen schrijven H=s•q⊕<r•p>⊕<r•q>⊕<s•p>. Elke welgevormde haakuitdrukking is één van de 2¹⁶=65536 punten die door vier symbolen opgespannen worden. Elke welgevormde haakuitdrukking is één van de 65536 mogelijke relaties tussen vier symbolen die operationeel te gronden zijn. Voor een relatie, hoe ingewikkeld ook, in welk universum dit ook uitgedrukt wordt, geldt, indien de relatie operationeel te gronden is, dat er een universum kan gevonden worden waarin het één mogelijkheid is van de maximaal 65536 mogelijkheden.

Met een som van vijf symbolen zal dus altijd de nulvector voor te stellen zijn (zoals dat ook geldt voor twee symbolen en drie symbolen).

Een som van zeven symbolen zal dan een welgevormde haakuitdrukking kunnen voorstellen enz...

Drie symbolen en een universeel standpunt

We merken op dat de vier symbolen 2-vectoren (producten van twee vectoren) zijn. Een van de elementen van een 2-vector zullen we de naam “standpunt” geven omdat dit perfect uitdrukt dat twee aspecten door een agens (niet) kunnen onderscheiden worden in een bepaalde context. Dit betekent dat de twee aspecten dezelfde waarde of tegengestelde waarde moeten krijgen zonder dat die waarde bekend hoeft te zijn. Dit wordt misschien het duidelijkst door het creatief product als volgt te noteren: (h•x⊗h•y)_h•g. Hierbij is elke component, namelijk h•x, h•y en h•g, een projectie op h.

12870 mogelijkheden

De tabel met 16 rijen kunnen we op 12870 manieren permuteren (de combinatie van 16 over 8) waarbij de kolomkop telkens een andere relatie zal weergeven. Inderdaad heeft elke kolom hetzelfde aantal hoogbits als laagbits, maar dan in een andere volgorde.

In de gegeven keuze (“de standaard keuze”) zijn de eerste vier kolommen zelfduaal, de volgende vier kolommen (2-vectoren) zijn andersduaal en niet alle 2-vectoren zijn weergegeven. We kunnen de tabel dus aanvullen met nog twee kolommen met 2-vectoren (in totaal dus zes 2-vectoren). De tabel kunnen we ook nog aanvullen met vier kolommen van 3-vectoren (vier kolommen die zelfduaal zijn) en een kolom met de 4-vector (die anderduaal is). Er zijn dus 8 zelfduale kolommen mogelijk en 7 andersduale.

Het moet niet bekend zijn hoeveel bits de vier welgevormde haakelementen hebben: minimaal heeft de tabel dus 16 rijen maar we kunnen de tabel gemakkelijk uitbreiden met meerdere rijen waarmee we dan uitdrukken dat de vier welgevormde haakelementen in een groter universum dan het vier-onderscheidingen universum uitgedrukt moeten worden, hierbij kunnen ook delen ontstaan van tralies. Dit betekent dus dat een welgevormde haakuitdrukking die uitgedrukt wordt met 2ⁿ bits kan beschouwd worden als de unieke som van een aantal welgevormde haakuitdrukkingen die met 2⁴ bits uitgedrukt worden. Het getal 4p met p een priemgetal speelt dus een fundamentele rol. Dit leidt dan tot een modulo4 benadering van het haakformalisme. Het eerste getal dat geen macht is van 2 is dan 4*3=12 en de studie van die deeltralie kan tot nieuwe inzichten leiden.

Dit inzicht kunnen we ook als volgt uitdrukken: de transformatie van elk van de vier termen met dezelfde maar willekeurig gekozen welgevormde haakuitdrukking in welk universum ook zal steeds dezelfde welgevormde haakuitdrukking opleveren. Bijvoorbeeld: s•q⊕<r•p>⊕<r•q>⊕<s•p> is niet te onderscheiden van t•s•t•q⊕<t•r•t•p>⊕<t•r•t•q>⊕<t•s•t•p>.

Het creatief product patroon

Bestudering van de tabel maakt duidelijk dat dit inzicht kan uitgebreid worden tot een typisch patroon als som van vier termen. Inderdaad: hetzelfde als bij s•q⊕<r•p>⊕<r•q>⊕<s•p> zal zich voordoen

• bij de inbedding van één van de welgevormde haakuitdrukkingen, bijvoorbeeld s: <s•q>⊕<r•p>⊕<r•q>⊕s•p

• bij de inbedding van twee van de welgevormde haakuitdrukkingen, bijvoorbeeld s en q: s•q⊕<r•p>⊕r•q⊕s•p

• bij de inbedding van drie van de welgevormde haakuitdrukkingen, bijvoorbeeld s en q en r: s•q⊕r•p⊕<r•q>⊕s•p

Merk op: bij de inbedding van de vier welgevormde haakuitdrukkingen wordt geen nieuwe haakuitdrukking gevormd.

Aangezien in de haakuitdrukking als creatief product enkel 2-vectoren optreden (zie <<<s•r>><s•p>><<s•r><<s•q>>>) en aangezien elke welgevormde haakuitdrukking als een product van twee andere welgevormde haakuitdrukkingen kan beschouwd worden hebben we hier een algemeen patroon dat we het creatief product patroon noemen. Het patroon is dus als volgt te beschrijven: elke welgevormde haakuitdrukking is als een som van vier en slechts vier termen te schrijven die opgebouwd zijn uit een product van welgevormde haakuitdrukkingen die we de termen van de som noemen. Deze som is op een willekeurige manier als som van twee termen te splitsen met de volgende eigenschap: in het ene deel van de splitsing hebben de termen dezelfde karakteristiek (beide zijn een inbedding of niet), in het andere deel van de splitsing hebben de termen tegengestelde karakteristiek (is de ene term een inbedding, dan is de andere dat niet). Hier zien we terug dat het centraal inzicht niet een absolute categorisering is maar een relatieve.

Ook de collaps door waardetoekenning aan een van de termen kan bestudeerd worden.

• Bijvoorbeeld: veronderstel s=<<>> dan wordt s•q⊕<r•p>⊕<r•q>⊕<s•p> niet te onderscheiden van q⊕<r•p>⊕<r•q>⊕<p>, en wanneer we toepassen dat de transformatie van elk van de termen met dezelfde maar willekeurig gekozen welgevormde haakuitdrukking in welk universum ook zal steeds dezelfde welgevormde haakuitdrukking opleveren vinden we (met a een willekeurige welgevormde haakuitdrukking) a•q⊕<r•p>⊕<r•q>⊕<a•p>.

• Bijvoorbeeld: veronderstel s=q dan wordt s•q⊕<r•p>⊕<r•q>⊕<s•p> niet te onderscheiden van <<>>⊕<r•p>⊕<r•q>⊕<q•p> en dit is een atoom in een twee-onderscheidingen universum opgespannen door bijvoorbeeld r•p en r•q of door bijvoorbeeld r•p en q•p

• Bijvoorbeeld: veronderstel s=r•q dan wordt s•q⊕<r•p>⊕<r•q>⊕<s•p> niet te onderscheiden van r⊕<r•p>⊕<r•q>⊕<r•q•p> en dit is natuurlijk ook niet te onderscheiden van r•(<<>>⊕<p>⊕<q>⊕<q•p>)

Eigenschappen

De eigenschappen bestuderen van het creatief patroon is een boeiende ontdekkingstocht die al heel snel de relatie laat leggen met karakteristieken van de werkelijkheid die we kennen vanuit toepassingen. Het lijkt daarom gepast om deze eigenschappen onder te brengen in een onderzoek naar toepassingen van het haakformalisme.