Het creatief product (x⊗y)_a is als volgt gedefinieerd: <a<x>><<a><y>>, waarbij a staat voor een toegevoegd punt.

Dit kunnen we ook in haakvector formaat schrijven. Bij de vertaling in de vectorvorm van de nevenschikking en bij de vertaling in de vectorvorm van de vectorvermenigvuldiging zullen we hetzelfde resultaat bereiken aangezien er bij het creatief product geen onderscheid is tussen nevenschikking en transformatie.

We vertalen de nevenschikking <a<x>><<a><y>>:

<<<>>⊕<a>⊕x⊕a•x>*<<<>>⊕a⊕y⊕<a•y>> en dus ook in een aantal volgende stappen:

<<>>⊕<<<<>>⊕<a>⊕x⊕a•x>>⊕<<<<>>⊕a⊕y⊕<a•y>>>⊕<<<<>>⊕<a>⊕x⊕a•x>•<<<>>⊕a⊕y⊕<a•y>>>

<<>>⊕<<>>⊕<a>⊕x⊕a•x⊕<<>>⊕a⊕y⊕<a•y>⊕<<<<>>⊕<a>⊕x⊕a•x>•<<<>>⊕a⊕y⊕<a•y>>>

x⊕a•x⊕y⊕<a•y>⊕<<<<>>⊕<a>⊕x⊕a•x>•<<<>>⊕a⊕y⊕<a•y>>>

Dit is x⊕a•x⊕y⊕<a•y>⊕<G> met G de som van de cellen in de volgende vermenigvuldigingsgrit (die nota bene de vectorvermenigvuldiging geeft):

Het resultaat G is dus: <x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y, en <G> is dus x⊕y⊕a•x⊕<a•y>

x⊕a•x⊕y⊕<a•y>⊕<G> wordt dan x⊕a•x⊕y⊕<a•y>⊕x⊕y⊕a•x⊕<a•y> of <x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y.

Vergelijk dit resultaat met G en het is duidelijk dat er voor het creatief product geen verschil is tussen nevenschikking en het vectorproduct.

Dit betekent dan dat als som van haakvectoren geldt:

(x⊗y)_a=<x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y

(x⊗y)_a=(<x>⊕<y>)•<<>>⊕(<x>⊕y)•a

Gevolg

De vorm (x⊗y)_a=(<x>⊕<y>)•<<>>⊕(<x>⊕y)•a toont dat de eerste term van het creatief product de som is van twee termen, de tweede term is het verschil van twee termen. Immers x=(<x>⊕<y>)⊕(<x>⊕y) en y=(<x>⊕<y>)⊕<(<x>⊕y)>.

Het creatief product is niet commutatief aangezien

(y⊗x)_a=(<y>⊕<x>)•<<>>⊕(<y>⊕x)•a en dit is verschillend van (x⊗y)_a.

QED

Er geldt dat (x⊗y)_a=(a•x⊗<a•y>)_a=a•((x⊗<y>)_a)

Bewijs: vervang in (x⊗y)_a x door a•x en y door <a•y>

(a•x⊗<a•y>)_a=<a•x>⊕a•y⊕<a•a•x>⊕<a•a•y>=<x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y enerzijds en anderzijds (a•x⊗<a•y>)_a=a•(<x>⊕y⊕<a•x>⊕<a•y>)=a•((x⊗<y>)_a)

QED

Er geldt dat (x⊗y)_a=(x⊗y)_<a•x•y>

Bewijs: vervang in (x⊗y)_a a door <a•x•y>

(x⊗y)_<a•x•y>=<x>⊕<y>⊕<<a•x•y>•x>⊕<a•x•y>•y=<x>⊕<y>⊕<a•x>⊕a•y

QED

Er geldt dat (x⊗y)_a=(y⊗x)_a•x•y

Bewijs volgt uit de niet-commutativiteit.

Speciaal geval

We hebben gezien dat (z⊗<z>)_a ∼ (a⊗<a>)_z ∼ a•z en dus ook (z⊗<z>)_{<a•z•<z>>} ∼ (a⊗<a>)_{<z•a•<a>>}

Er geldt dat (b•x⊗b•y)_b•a=(b•x⊗b•y)_{<a•b•x•y>}

Bewijs, linker term: vervang in (x⊗y)_a x door b•x, y door b•y en a door b•a

(b•x⊗b•y)_b•a=<b•x>⊕<b•y>⊕<b•a•b•x>⊕b•a•b•y=<b•x>⊕<b•y>⊕<a•x>⊕a•y

Bewijs, rechter term: vervang in (x⊗y)_a x door b•x, y door b•y en a door <a•b•x•y>

(x⊗y)_a=<b•x>⊕<b•y>⊕<<a•b•x•y>•b•x>⊕<a•b•x•y>•b•y=<b•x>⊕<b•y>⊕a•y⊕<a•x>

QED

Er geldt dat a•((x⊗<y>)_b)=(a•b•y⊗a•b•x)_b•x•y

Bewijs: vervang in (x⊗y)_a x door (a•b•x•y)•x, y door (a•b•x•y)•y en a door (a•b•x•y)•a

((a•b•x•y)•x⊗(a•b•x•y)•y)_{(a•b•x•y)•a}=<(a•b•x•y)•x>⊕<(a•b•x•y)•y>⊕<(a•b•x•y)•a•(a•b•x•y)•x>⊕(a•b•x•y)•a•(a•b•x•y)•y

(a•b•y⊗a•b•x)_b•x•y=<(a•b•y)>⊕<(a•b•x)>⊕<(a•x)>⊕(a•y)

(a•b•y⊗a•b•x)_b•x•y=a•(<b•y>⊕<b•x>⊕<x>⊕y)

(a•b•y⊗a•b•x)_b•x•y=a•((x⊗<y>)_b)

QED

Gevolg: elke binaire relatie kan als een creatief product uitgedrukt worden

Elke binaire relatie kan als vectorsom van vier factoren uitgedrukt worden en is dus op verschillende manieren in de vorm van een creatief product te schrijven door het patroon (x⊗y)_z=(<x>⊕<y>)•<<>>⊕(<x>⊕y)•z toe te passen met de drie termen x, y en z uit hetzelfde onderscheidingen universum.

Bijvoorbeeld voor het vectorproduct a•b schrijven we dit als vectorsom als a⊕<a>⊕<a•b>⊕<a•b>=(<a>⊕a)•<<>>⊕(<a>⊕<a>)•b en dit is het creatief product (a⊗<a>)_b, commuteren van het product genereert dan (<a>⊗a)_b=(a⊕<a>)•<<>>⊕(a⊕a)•b en dus de transformatie <a•b>.

Bijvoorbeeld voor de conjunctie <<a><b>> is de vectorsom <>⊕<a>⊕<b>⊕a•b en dit schrijven we in het patroon als (<b>⊕<a>)•<<>>⊕(<b>⊕a)•b en dus als creatief product is dit (b⊗a)_b, commuteren van het product genereert dan (a⊗b)_b=(<a>⊕<b>)•<<>>⊕(<a>⊕b)•b en dus de disjunctie ab. De uitdrukkingen voor een creatief product zijn niet uniek. Zo is <>⊕<a>⊕<b>⊕a•b bijvoorbeeld ook te schrijven als (<>⊕<b>)•<<>>⊕(<>⊕b)•a en dus (<<>>⊗b)_a.

Gevolg: het creatief product is de meest algemene relatie van het haakformalisme

Elke welgevormde haakuitdrukking kan als een binaire relatie van binaire relaties uitgedrukt worden. Elke welgevormde haakuitdrukking kan dus als een creatief product uitgedrukt worden. Aangezien er voorwaarden moeten opgelegd worden om welgevormde haakuitdrukkingen van één universum (zonder het dus uit te breiden) door het creatief product uit te drukken, is het creatief product de meest algemene relatie van het haakformalisme. Deze relatie heeft minimaal drie componenten in haakvorm en vier componenten als vectorsom.

De al-nul vector

Wanneer twee welgevormde haakuitdrukkingen zich niet onderscheiden van elkaar dan collapst de tralie die door beide opgespannen wordt naar een deeltralie.

Bijvoorbeeld als ab ervaren is dan is ab niet te onderscheiden van <>, dus in creatief product formaat <>⊕<a>⊕<b>⊕a•b=<>. Beide leden van de vergelijking kunnen nu gesommeerd worden met <<>> om de al-nul vector te genereren, de eenheid van sommeren. Dus de collaps van de tralie die als voorbeeld genomen werd, wordt eveneens voorgesteld door de waardetoekenning <a>⊕<b>⊕a•b=X waarbij beide leden geen welgevormde haakuitdrukkingen meer zijn.

Uiteraard kunnen we ook onderzoeken onder welke voorwaarde een welgevormde haakuitdrukking niet kan onderscheiden worden van de al-nul vector zonder dat we voorwaarden nodig hebben die empirisch niet te gronden zijn. Om dat te doen moeten we echter het creatief product in een algemene vorm kunnen voorstellen.