Door studie van de tabellen kunnen we zien dat starten met a en dan b toevoegen niet hetzelfde is als starten met b en dan a toevoegen, en dit ondanks het feit dat beide procedures het volledige nieuwe universum zullen genereren. Het creatief product is dus niet commutatief.
Anti-commutativiteit interpreteren we in het haakformalisme als volgt: het commuteren van de product termen leidt tot de inbedding van de welgevormde haakuitdrukking.
We onderzoeken dus onder welke voorwaarde de volgende twee uitdrukkingen tegengestelde waarde hebben: (x⊗y)a∼<a<x>><<a><y>> en (y⊗x)a∼<a<y>><<a><x>>
Te bewijzen: de voorwaarde is x↔<y>
Bewijs:
Veronderstel dat x↔<y>. Formeel stellen we dit voor door y te vervangen door z en dus x door <z>
(x⊗y)a∼(<z>⊗z)a ∼ <az><<a><z>>↔<a•z> en dus <(<z>⊗z)a> ∼ <a<z>><<a>z>↔a•z en ook
(z⊗<z>)a ∼ <a<z>><<a>z>↔a•z
Dus: <(<z>⊗z)a>=(z⊗<z>)a en deze voorwaarde maakt dus het creatief product anti-commutatief.
QED
We merken op dat er een keuze is welk punt als toegevoegd moet gemodelleerd worden, inderdaad: (z⊗<z>)a ∼ <a<z>><<a>z>↔a•z kan ook geschreven worden als (a⊗<a>)z ∼ <z<a>><<z>a>↔a•z
De voorwaarde x↔<y> betekent ook dat x•y↔<y>•y↔<>, een anti-commutatief creatief product veronderstelt dus een gecollapst universum.
Het creatief product kan dus op twee manieren geïnterpreteerd worden immers a•z kunnen we interpreteren als a•y of als <a•x>.
Het commuteren van de twee termen resulteert in de inbedding, dus (<z>⊗z)a ∼ <az><<a><z>>↔<a•z>
Dit is ook met behulp van de toegevoegde onderscheiding te simuleren:
(<z>⊗z)<a> ∼ <<a>z><a<z>>↔a•z en dus <(<z>⊗z)<a>> ∼ <<a><z>><az>↔<a•z> en ook
(z⊗<z>)<a> ∼ <<a><z>><az>↔<a•z>
Dit maakt duidelijk dat (<z>⊗z)a = <(<z>⊗z)<a>>=(z⊗<z>)<a> en <(<z>⊗z)a> = (<z>⊗z)<a>=(z⊗<z>)a
H=(z⊗<z>)a ∼ <a<z>><<a>z>↔a•z
<H>=(<z>⊗z)a ∼ <az><<a><z>>↔<a•z>
(H⊗<H>)a ∼ (a•z⊗<a•z>)a ∼ <a<a•z>><<a><<a•z>>>↔a•a•z↔z
(<H>⊗H)a ∼ (<a•z>⊗a•z)a ∼ <a<<a•z>>><<a><a•z>>↔<z>
Inderdaad
(a•z⊗<a•z>)a ∼ <a<<a<z>><<a>z>>><<a><<<a<z>><<a>z>>>>↔<a<z>><<a><z>>↔z
(<a•z>⊗a•z)a ∼ <a<a<z>><<a>z>><<a><<a<z>><<a>z>>>↔<<<a><<a>>>z>↔<z>
Het volledige universum van twee onderscheidingen a en z wordt dan als volgt opgespannen door creatief product met a:
(a•z⊗z)a ∼ <a<<a<z>><<a>z>>><<a><z>>↔<a<<<z>><<>z>>><<a><z>>↔<a<z>><<a><z>>↔<<<a><<a>>><z>>↔<<z>>↔z
(a•z⊗<z>)a ∼<a<<a<z>><<a>z>>><<a>z>↔<a<z>><<a>z>↔a•z
(a⊗<z>)a ∼ <a<a>><<a>z>↔<<a>z>
(<<a>z>⊗<z>)a ∼ <a<a>z><<a>z>↔<<a>z>
(<a>⊗<z>)a ∼ <aa><<a>z>↔<a><z>
(<a><z>⊗<z>)a ∼ <a<<a><z>>><<a>z>↔<a><<a>z>↔<a><z>
(a•z⊗<a><z>)a ∼<a<<a<z>><<a>z>>><<a><<a><z>>>↔<a<z>><<a>z>↔a•z
enz...
Een anti-commutatief creatief product kan niet onderscheiden worden van een vectorproduct en zijn inbedding: de transformatie. Merk op dat de toegevoegde onderscheiding hierin commuteert met een term van het product. Immers a•z is niet te onderscheiden van z•a.
Het kwadraat van een anti-commutatief creatief product is onafhankelijk van de toegevoegde onderscheiding en gelijk aan z of <z>. Bijvoorbeeld: <<a>a•z><a<a•z>> is <<a><<a>z><a<z>>><a<<<a>z><a<z>>>> is <<a><z>><a<z>> is z en <<a><<<a>z><a<z>>>><a<<a>z><a<z>>> is <<a>z><az> is <z>.
De relatie p↔<q>, of dus <<p<q>><<p>q>>↔<<>>, of nog anders genoteerd <p•q>↔<<>> is de noodzakelijke en voldoende voorwaarde om een anti-commutatief product mogelijk te maken.
Dit heeft als praktisch gevolg dat elk formalisme dat een anti-commutatief product kent in staat is het begrip “inbedding”, zoals dit gedefinieerd is in het haakformalisme, weer te geven onder de bijkomende voorwaarde dat een gecollapst universum beschouwd wordt. Of anders gezegd: elk formalisme dat een anti-commutatief product kent kan in het haakformalisme gemodelleerd worden wanneer verondersteld wordt dat twee onderscheidingen tegengestelde waarde hebben. Dat komt er dus op neer dat dat formalisme in een gecollapst universum moet voorgesteld worden.