Een toepassing van de inzichten die langs het 1-splitsing universum in het haakformalisme konden verworven worden is een vernieuwd inzicht in de complexe en perplexe getallen. We kunnen immers een afbeelding van het haakformalisme ontwikkelen door gebruik te maken van die complexe en perplexe getallen. De structuren en patronen die ze vertonen door sommen en producten te maken krijgen daarbij een zeer natuurlijke betekenis vanuit het ene axioma van het haakformalisme, zonder dat nieuwe axioma's moeten geïntroduceerd worden.

Deze afbeelding kan heel coherent met het haakformalisme uitgevoerd worden vanuit het inzicht dat er twee soorten welgevormde haakuitdrukkingen zijn: <> (of <<>>) is de enige waarde in het haakformalisme en h (of <h>) is een welgevormde uitdrukking die nog geen waarde toegekend kreeg of met andere woorden een uitdrukking die potentieel is, de enige soort die “iets anders dan een waarde” is. We merken daarbij het volgende op: de gelijkenis (of het verband) tussen “<>” en “iets anders dan een waarde” is zeer helder met behulp van het product weer te geven als volgt: (<>•<>) en (<<>>•<<>>) zijn niet te onderscheiden van elkaar en beide producten zijn niet te onderscheiden van <<>>. Exact dit treedt ook op voor het product van (“iets anders dan een waarde”•”iets anders dan een waarde”) en (“<iets anders dan een waarde>”•”<iets anders dan een waarde>”) en volledig analoog geldt: (<>•<<>>) en (<>•<<>>) zijn niet te onderscheiden van elkaar en beide producten zijn niet te onderscheiden van <>. Exact dit treedt ook op voor het product van (“iets anders dan een waarde”•”<iets anders dan een waarde>”) en (“<iets anders dan een waarde>”•”iets anders dan een waarde”). Dit patroon waarbij de product operatie de verenigende bewerking is herkennen we nu bij een complex getal, en ook bij een perplex getal.

Complexe getallen zijn het best gekend en worden voorgesteld als het product met de imaginaire eenheid i. Hierbij staat i voor de wortel uit -1, of dus +(-1)^1/2 of -(-1)^1/2 zonder dat daar een beslissing moet over genomen worden, beide wortels geven als kwadraat -1.

Perplexe getallen zijn veel minder gekend en worden voorgesteld als het product met de perplexe eenheid j. Hierbij staat j voor de wortel uit +1, die dus zowel +(+1)^1/2 als -(+1) ^1/2 kan zijn, zonder dat daar een beslissing moet over genomen worden, beide wortels geven als kwadraat +1.

Op die manier kan potentialiteit uitgedrukt worden in de wereld van de getallen, volledig analoog als bij een onderscheiding h die twee waarden kan aannemen zonder dat men daarover een beslissing moet nemen.

Zowel complexe als perplexe getallen hebben dus de structuur van een projector, namelijk <>⊕h.

We zullen nu het koppel (h₁, h₂) uit het 1-splitsing universum interpreteren als de primaire structuur van een complex getal, namelijk (1, 1) of meer conventioneel: 1+i. En volledig analoog zullen we het 1-splitsing koppel (h₁, h₂) kunnen interpreteren als de primaire structuur van een perplex getal, namelijk (1, 1) of meer conventioneel: 1+j. Dank zij het 1-splitsing universum zullen we de relatie tussen beide trouwens heel precies kunnen aangeven. In de studie die dan volgt verlaten we even de algemene benadering die in plaats van 1, i of j het geval met h₁ en h₂ bestudeert.

Merk op dat conventioneel zeer ambivalent gesproken wordt over (1, 1) die dan als “het getal” 1+i voorgesteld wordt, waarmee men dan een som introduceert die eigenlijk geen som is in de strikte betekenis van het samenvoegen van gelijkaardige componenten, of componenten van dezelfde soort. Het is daarom veel correcter om te beklemtonen dat zowel 1 als i een operator zijn. Het getal 1 als de identiteitsoperator in plaats van als waarde kunnen we trouwens ook uit het haakformalisme zelf afleiden.

We merken daarbij op dat de operatoren een gesloten groep vormen, de viergroep van Klein, wat in de volgende Cayley tabel tot uiting komt:

Hetzelfde geldt voor de perplexe getallen die ook een viergroep van Klein vormen

Om de nieuwe afbeelding van het haakformalisme te ontwikkelen zullen we eerst de richting van de complexe getallen volgen, omdat ze het best gekend zijn. Al snel zal duidelijk worden dat hiermee operatoren te construeren zijn die sommige eigenschappen van een tralie kwantificeren, een tralie die als structuur opgebouwd is uit onderscheidingen. Dan zal duidelijk worden hoe we zonder problemen op een modellering van hetzelfde kunnen overgaan met een perplex getal. De modellering van het haakformalisme met koppels (h₁, h₂) die op die manier ontstaan verenigt dus eigenschappen van zowel de complexe als perplexe getallen.

Constructie

Het morfisme dat we nu ontwikkelen vertrekt van het signatuurbit formalisme of modulo 3 formalisme waarbij dus een echte getalnul gedefinieerd kon worden als de opheffende som van twee zinnen op dezelfde richting. Het morfisme met complexe getallen wordt dan geconstrueerd door de + bit te vervangen door het dubbelgetal +1+i en de - bit vervangen door het dubbelgetal -1-i. Noteer dat exact hetzelfde zou bereikt worden door bijvoorbeeld de + bit te vervangen door het dubbelgetal -1-i en de - bit te vervangen door het dubbelgetal +1+i, of een andere combinatie van deze twee mogelijke interpretaties. Zolang we aan één van de vier mogelijke beslissingen vasthouden construeren we daarmee een isomorfisme. We gaan hiermee over op een getallen voorstelling en we voeren een getal vermenigvuldiging uit van de binaire voorstelling en modulo 3 voorstelling met 1+i. Door dit product modelleren we het 1-splitsing universum. Dit betekent dat we een willekeurige bitstring in een 1-splitsing interpretatie kunnen modelleren.

We zullen eerst aantonen dat we hiermee consequent blijven met de modulo 3 vertaling van het haakformalisme. De bijkomende voordelen van het isomorfisme zullen dan uitgebaat worden door het als een operator formalisme te construeren waarin er een interactie kan ontstaan tussen de beide soorten van de getalcomponenten. De interactie wordt typisch voorgesteld door een interactie van geconjugeerde complexe getallen. Het volledig analoge isomorfisme met perplexe getallen wordt dan geconstrueerd door de + bit te vervangen door het getal +1+j en de - bit te vervangen door het getal -1-j, en exact hetzelfde zou bereikt worden door bijvoorbeeld de + bit te vervangen door het getal -1-j en de - bit te vervangen door het getal +1+j, of een andere combinatie van deze twee mogelijke interpretaties, waarmee eveneens een isomorfisme geconstrueerd wordt eens men aan één van de vier mogelijke beslissingen voor een combinatie vasthoudt.

De klassieke benadering

Klassiek gezien zal men verschillende coëfficiënten toekennen aan de twee getallen van het koppel, daarmee x+iy versus x-iy genereren, en een elliptische ruimte. Wanneer men werkt met het dubbelgetal x+jy (en -x-jy) genereert men een hyperbolische ruimte. Het verschil tussen beide is het gevolg van andere normalisatiefactoren die geconstrueerd worden uit de coëfficiënten x en y. Inderdaad zullen we ontdekken dat het die factoren zijn die ons in staat stellen om probleemloos van het ene isomorfisme naar het andere over te gaan, en waarbij duidelijk zal worden waarom de perplexe getallen zo weinig gekend zijn.

Eens de constructies en normalisaties goed begrepen zijn, is het ook mogelijk om te veronderstellen dat het getal y niet verschillend is van nul. Met aangepaste normalisaties zal men dezelfde constructies en inzichten kunnen bekomen met enkel reële getallen. Het 1-splitsing universum blijft echter de fundamentele reden waarom het isomorfisme mogelijk is.

Deze constructie is een mogelijke dubbelgetal interpretatie van het 1-splitsing universum en kan dus ook benaderd worden met een dubbelbit formalisme met de eerste bit van de dubbelbit als de soort “waarde” met zijn binaire indicatie en de tweede bit als de soort “potentiële waarde” of “iets anders dan waarde” met zijn binaire indicatie.