We tonen aan dat een vermenigvuldiging van de drie modulo 3 bits met 1+i compatibel is met alle voorstellingen tot nu toe.
In de bitvoorstelling van punten hebben we voor de gekende bitsymbolen 1 en 0 gekozen. Maar we moeten niet vergeten dat de bits die hoog-laag coderen ook door andere symbolen dan door 1 en 0 voorgesteld kunnen worden, of kunnen gerealiseerd worden door bijvoorbeeld een elektrische potentiaalverschil enz.... We hebben ze bijvoorbeeld al voorgesteld door +1 en -1 (of in het kort door + en -) en aangetoond dat alle haakuitdrukkingen door modulo3 bewerkingen als restklassen strings kunnen geconstrueerd worden. We gaan deze modulo3 restklas getallen nu scalair vermenigvuldigen met 1+i, en de bekomen dubbelbit string dan beschouwen als een kolomvector die dan recht doet aan het matrix karakter van i en -i.
Voorbeeld:
a stellen we in een een onderscheiding universum voor door 10 in bitvoorstelling, als +1-1 in restklas modulo3 voorstelling en vertalen we nu in de vector (-1-i, 1+i)T dit is een koppel van het type (h1, h2) en dus een 1-splitsing.
a stellen we in een twee onderscheidingen universum voor door 1010 in bitvoorstelling, als +1-1+1-1 in restklas modulo3 voorstelling en vertalen we nu in de vector (-1-i, 1+i, -1-i, 1+i)T dit is een viervoudig koppel van het type (h1, h2, h3, h4) en zullen we in zijn algemeenheid onderzoeken als een 2-splitsing. Dat algemeen onderzoek hebben we op dit moment echter nog niet nodig.
Merk op: aangezien we nu echte getallen gebruiken (1 en i zullen met elkaar interageren en daardoor andere getallen produceren, ze zijn niet enkel als de namen of symbolen "+1+i" of "-1-i") lezen we deze vector van rechts naar links, dus de rechterbit 0 in 1010 wordt vertaald naar de meest linkse component van de transpose rijvector, of de bovenste component van de kolomvector. Zodanig dat de kolomvector van onder naar boven gelezen overeenkomt met de restklas string van links naar rechts, en de rijvector van rechts naar links gelezen overeenkomt met de restklas string van links naar rechts.
Voorbeeld
<<a><b>> stellen we voor als 1110 in bitvoorstelling, als +1+1+1-1 in modulo3 voorstelling en vertalen we nu in de kolomvector (-1-i, 1+i, 1+i, 1+i)T.
Zoals gewoonlijk gedaan wordt kiezen we de transpose van de reeks als standaard voorstelling. De standaard is dus een kolom vector.
We kunnen deze voorstelling nu ook interpreteren als een som van ervaren basisvectoren: vectoren met op alle plaatsen, behalve een, een getal-nul.
(-1-i, 1+i, 1+i, 1+i)T = (-1-i, 0, 0, 0)T ⊕ (0, 1+i, 0, 0)T ⊕ (0, 0, 1+i, 0)T ⊕ (0, 0, 0, 1+i)T= (-1, 0, 0, 0)T ⊕ (0, 1, 0, 0)T ⊕ (0, 0, 1, 0)T ⊕ (0, 0, 0, 1)T ⊕ i[(-1, 0, 0, 0)T ⊕ (0, 1, 0, 0)T ⊕ (0, 0, 1, 0)T ⊕ (0, 0, 0, 1)T]
Deze som is goed gedefinieerd aangezien de coëfficiënt 1 in zowel het product 1.1 als 1.i als restklas modulo3 zal functioneren.
Deze voorstelling is uniek.
Hiermee is ook aangegeven dat we de volgende basisvectoren in een 2-onderscheidingen universum zullen gebruiken:
(-1-i, 0, 0, 0)T
(0,-1-i, 0, 0)T
(0, 0,-1-i, 0)T
(0, 0, 0,-1-i)T
en de ingebedde voorstelling
(1+i, 0, 0, 0)T
(0, 1+i, 0, 0)T
(0, 0, 1+i, 0)T
(0, 0, 0, 1+i)T
Beide reeksen zijn natuurlijk lineair afhankelijk en van deze 8 basisvectoren zullen we er maar 4 voor elk punt nodig hebben (wat nog eens het tweeledig karakter van het onderscheidingen universum aantoont). Dit zal ook gelden voor een onderscheidingen universum met n onderscheidingen: het aantal bits is gelijk aan het aantal niveauverschillen: 2n maar het aantal basisvectoren zal 2n+1 zijn.
Een punt dat als een som van basisvectoren voorgesteld kan worden, kan ook als een som van ingebedde basisvectoren voorgesteld worden. Men moet echter voor een van de sets kiezen omdat ze niet lineair onafhankelijk zijn, en met de inzichten die uit het haakformalisme gegroeid zijn gebeurt dit op een natuurlijke en geoperationaliseerde manier.
Voorbeeld
1001 die met de ene set voorgesteld wordt als (1+i, -1-i, -1-i, 1+i)T kan met de ingebedde set voorgesteld worden als (-1-i, 1+i, 1+i, -1-i)T wat dan in bitnotatie 0110 zou zijn.
We kunnen ook reciproque basisvectoren definiëren.
(-1+i, 0, 0, 0)T
(0,-1+i, 0, 0)T
(0, 0,-1+i, 0)T
(0, 0, 0,-1+i)T
en de ingebedde voorstelling
(1-i, 0, 0, 0)T
(0, 1-i, 0, 0)T
(0, 0, 1-i, 0)T
(0, 0, 0, 1-i)T
Deze ontstaan door scalaire vermenigvuldiging met i.
De betekenis van de reciproque vectoren is door de interpretatie van de laatste toegevoegde onderscheiding duidelijk: ze ontstaan door het tweede mogelijke zicht op een onderscheiding, tweede zicht dat onmogelijk simultaan met het eerste zicht kan ingenomen worden.