Elke haakvector h kunnen we voorstellen als een som van twee andere, namelijk h=h₁⊕h₂. De haakvector h kunnen we dan voorstellen als het koppel (h₁, h₂) waarbij h₁ staat voor de bitstring overeenkomend met de eerste term in de som en h₂ staat voor de bitstring overeenkomend met de tweede term in de som. Met zo'n opsplitsing van een welgevormde haakuitdrukking kunnen we nu een nieuwe representatie voor het haakformalisme ontwikkelen: het dubbelbit formalisme. In het algemeen geldt dat, wanneer h een willekeurige haakuitdrukking is, met h=h₁⊕h₂, het volgende isomorfisme geldt: de dubbelbit string wordt gegeven door (h₁₁h₂₁ h₁₂h₂₂ h₁₃h₂₃ ... h_1mh_2m) met m=2ⁿ. Hierbij is h_ij bit de bit overeenkomend met de j-de bit van de i-de component van de som (i=1 of 2). Het dubbelbit formalisme is goed gedefinieerd en kan zowel welgevormde als gecollapste haakuitdrukkingen representeren en door zijn constructie is het een isomorfisme.

Het sturende inzicht dat hiertoe de aanleiding gegeven heeft is dat de projectoren die op basis van een enkele welgevormde haakuitdrukking h kunnen geformuleerd worden kunnen gemodelleerd worden door een dubbele bit die als volgt opgebouwd is: de projector is een (modulo3 vector)som van <> (of <<>>) en h (of <h>), bijvoorbeeld (<>⊕h). De componenten van de projector zijn welgevormde haakuitdrukkingen van een volledig andere soort: <> (of <<>>) is de enige waarde in het haakformalisme en h (of <h>) is een welgevormde uitdrukking die nog geen waarde toegekend kreeg of met andere woorden een uitdrukking die potentieel is, de enige soort die “iets anders is dan een waarde”. Hiermee zetten we het enige axioma van het haakformalisme ook in voor het begrip “soort”: de soort “waarde” veronderstelt dat er ook zo iets denkbaar is als “iets anders dan een waarde”. We nemen nu de eerste van de dubbelbit als de soort “waarde” en de tweede bit als de soort “potentieel” of “iets anders dan waarde”. De overeenkomende enkelbit beschouwen we dan als een som van beide soorten. Dit kan de indruk geven dat we hiermee een beperking uitgevoerd hebben in de mogelijke sommen die gemodelleerd kunnen worden, maar we bewijzen dat een willekeurige haakuitdrukking op die manier (in die basis, vanuit dat standpunt) kan uitgedrukt worden.

Dit opent totaal nieuwe mogelijkheden om de relaties tussen zowel welgevormde als gecollapste haakuitdrukkingen te onderzoeken. Een van de grote voordelen van het dubbelbit formalisme is immers dat elke reeds onderzochte relatie ook als dubbelbit kan onderzocht worden, waarmee dan eigenlijk bitstring operaties gegenereerd worden die gelden voor één enkele bit uit de string. Dit is een fundamenteel nieuwe procedure omdat er tot voor het creëren van de dubbelbits slechts uitspraken konden gedaan worden voor minimaal twee bits. Dit subtiele verschil zal in zijn toepassing op concrete operaties nog duidelijk worden.

Een van de vele interessante toepassingen van dubbelbits is dat op die manier elke welgevormde haakuitdrukking kan opgesplitst worden in twee componenten die elkaars orthogonale involutie zijn. Het resultaat is dan dat zowel h₁ als h₂ gecollapste punten zijn die behoren tot gecollapste tralies die elkaars directe som zijn, namelijk de tralie van h (waarmee we dan ook het begrip “directe som” definiëren). In het algemeen kunnen we dus voor een welgevormde haakuitdrukking h meerdere voorstellingen bekomen, waarbij telkens geldt dat we h als een som beschouwen van twee componenten die elkaars orthogonale involutie zijn. We geven dit als volgt aan:

h=h'⊕h'^⊥

Deze dubbelbit string kunnen we dan voorstellen als (h'₁h'^⊥₁ h'₂h'^⊥₂ h'₃h'^⊥₃ ... h'_mh'^⊥_m) met m=2ⁿ.

Bijvoorbeeld:

Enkel indien de twee componenten van de dubbelbit string niet elkaars orthogonale involutie zijn is het mogelijk dat het resultaat van de som van de componenten een gecollapste haakuitdrukking is.