We hebben aangetoond dat meer dan twee onderscheidingen niet nodig zijn om elke welgevormde haakuitdrukking in een lokale basis uit te drukken. We zullen nu een manier exploreren om dit onbegrensd uit te breiden.

Een basis wordt gevormd door sommen te maken van twee welgevormde haakelementen. We hebben aangetoond dat de volgende sommen van twee welgevormde haakelementen p⊕q en p⊕<q> elkaars orthogonale involutie zijn. Dat geldt dus ook voor de projectoren (<>⊕p•q) en (<>⊕<p•q>). Aangezien elk welgevormd haakelement als een som van andere kan voorgesteld worden, stel p=p₁⊕p₂, dan geldt hetzelfde voor bijvoorbeeld (p₁⊕p₂⊕q) en (p₁⊕p₂⊕<q>) zodanig dat dit ook geldt voor (<>⊕(p₁⊕p₂)•q) en (<>⊕<(p₁⊕p₂)•q>). Splitsen we q nu eveneens op in een som van twee haakelementen dan krijgen we (p₁⊕p₂⊕q₁⊕q₂) en (p₁⊕p₂⊕<q₁⊕q₂>) en (<>⊕(p₁⊕p₂)•(q₁⊕q₂)) en (<>⊕<(p₁⊕p₂)•(q₁⊕q₂)>).

Men zou daar heel vlotjes kunnen overgaan, maar deze voorstelling is wel gebonden aan de veronderstelling dat p=p₁⊕p₂ en q=q₁⊕q₂, en dat is een specifieke selectie van haakuitdrukkingen p_i en q_i die als som een welgevormde haakuitdrukking vormen. Dus onder die voorwaarden kunnen we de volgende afleidingen maken.

(p₁⊕p₂)•(q₁⊕q₂)=p₁•q₁⊕p₂•q₁⊕p₁•q₂⊕p₂•q₂

Er is geen verschil met de volgende som:

(p₁⊕p₂)•(q₁⊕q₂)=<>⊕<>⊕<>⊕p₁•q₁⊕p₂•q₁⊕p₁•q₂⊕p₂•q₂

En dus:

<>⊕(p₁⊕p₂)•(q₁⊕q₂)=<>⊕p₁•q₁⊕<>⊕p₂•q₁⊕<>⊕p₁•q₂⊕<>⊕p₂•q₂

Dus: de projector <>⊕(p₁⊕p₂)•(q₁⊕q₂) kan als een som beschouwd worden van vier “gecollapste projectoren” op basis van de vier 2-vectoren gevormd door vier niet noodzakelijk welgevormde haakuitdrukkingen: (<>⊕p₁•q₁); (<>⊕p₂•q₁); (<>⊕p₁•q₂) en (<>⊕p₂•q₂). Inderdaad hebben we niet geëist dat haakuitdrukkingen p_i en q_i welgevormde haakuitdrukkingen zouden zijn, ze moeten enkel als een som op een bepaalde manier (geformaliseerd door het gebruik van het symbool p of het symbool q) welgevormde haakuitdrukkingen maken. Het aantal termen dat gegenereerd wordt door de vermenigvuldiging van sommen moet dan de vorm hebben van 3n+1 met n een geheel getal om het gepaste aantal <> te genereren. Uiteraard kan 3n+1 een priemgetal genereren dat enkel een product met één term mogelijk maakt, bijvoorbeeld voor n=2 is dit getal 7 en dit genereert dan met als enige tweede term q de uitdrukking die een projector als som van projectoren kan voorstellen: <>⊕Σ_ip_i•q=<>⊕Σ_i-1<>⊕Σ_ip_i•q=Σ_i(<>⊕p_i•q) met i=7.

De vermenigvuldiging van sommen met de vorm 3n+1 (met n een geheel getal) doet zich niet alleen, maar zeker, bij elke verdubbeling van alle haakelementen zoals geïllustreerd wordt in volgende tabel:

Als men de werkelijkheid als sommen van entiteiten wil construeren (en dus entiteiten die elkaar uitsluiten, waarvoor de logische relatie van de disjunctie niet kan onderscheiden worden van de exclusieve disjunctie) dan zal dat in die 3n+1 dimensies moeten gebeuren. De eerste mogelijkheden zijn dan: 4 dimensies, 7 dimensies, 10 dimensies, 13 dimensies, 16 dimensies enz...

We kunnen deze relatie tussen sommen van projectoren die samen een welgevormde haakvector vormen dus veralgemenen als volgt

Zodanig dat de volgende haakelementen orthogonaal zijn

en

Hieruit leiden we af dat ook de volgende haakelementen orthogonaal zijn

en

Uiteraard kunnen deze veralgemeningen ook voor de duale vectoren uitgevoerd worden. Hierbij merken we op dat ze gerelateerd zijn aan de som die we aangegeven hebben met ofwel i ofwel j. We zullen voor de duale vectoren het symbool q gebruiken, waarbij we de index dan als superscript kunnen aangeven.

Wat aanleiding geeft tot de volgende orthogonale haakelementen en

Wat aanleiding geeft tot de volgende orthogonale haakelementen en

Zodanig dat een algemene welgevormde haakuitdrukking H als een creatief product op twee manieren kan uitgedrukt worden als som van projectoren:

die een veralgemening is van H=<r•q>•(<>⊕p•q)⊕s•q•(<>⊕<p•q>)

en ook:

die een veralgemening is van H=<r•q>•(<>⊕r•s)⊕r•p•(<>⊕<r•s>)