Voor elke willekeurig gekozen welgevormde haakuitdrukking H genereren de ruimten <>⊕<H> en <>⊕H een splitsing waarbij transformaties van deze ruimten met willekeurige haakuitdrukkingen zich als de componenten van twee-dimensionale getallen gedragen. Wanneer we dus <>⊕<H> en <>⊕H beschouwen als eenheidsvectoren van een basis, dan kunnen we de transformatie met willekeurige haakuitdrukkingen beschouwen als een scalaire vermenigvuldiging met telbare coëfficiënten in die basis.

We geven nu een specifiek voorbeeld in een basis [<>⊕<b•a>, <>⊕b•a]. Deze basis is orthogonaal en idempotent en b•a, veronderstellen we, is een welgevormde haakuitdrukking.

h=h₁•(<>⊕<b•a>)⊕h₂•(<>⊕b•a)

We kunnen nu noteren met h₁=a•p en h₂=<a•q> en beide welgevormde haakuitdrukkingen:

h=a•q⊕<b•p>⊕<b•q>⊕<a•p>=(a•p)•(<>⊕<b•a>)⊕(<a•q>)•(<>⊕b•a).

We interpreteren: in de basis [(<>⊕<b•a>), (<>⊕b•a)] wordt h gezien als een koppel (a•p, <a•q>).

We kunnen evengoed ook noteren

h=h₃•(<>⊕<b•a>)⊕h₄•(<>⊕b•a)

en met h₃=b•p en h₄=b•q en beide welgevormde haakuitdrukkingen:

h=a•q⊕<b•p>⊕<b•q>⊕<a•p>=(b•p)•(<>⊕<b•a>)⊕(b•q)•(<>⊕b•a).

We interpreteren: in de basis [(<>⊕<b•a>), (<>⊕b•a)] wordt h gezien als een koppel (b•p, b•q).

Het verschil tussen beide koppels om h in dezelfde basis uit te drukken is dat de componenten (a•p, <a•q>) kunnen collapsen naar een standpunt a, ze collapsen dus in de ruimte van a en de componenten (b•p, b•q) kunnen collapsen naar een standpunt b, ze collapsen dus in de ruimte van b.

Dit is gemakkelijk uit te breiden omdat we aantoonden dat elke welgevormde haakuitdrukking als een creatief product kan geschreven worden en het creatief product altijd in de vorm van een lokale orthogonale basis kan geschreven worden op vier manieren. We kiezen hiervoor één basis: (<>⊕<p•q>) versus (<>⊕p•q)

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=r•p•{(<>⊕<p•q>)⊕<r•s>•(<>⊕p•q)}

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=<r•q>•{(<>⊕p•q)⊕<r•s>•(<>⊕<p•q>)}

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=s•p•{(<>⊕<p•q>)⊕r•s•(<>⊕p•q)}

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=s•q•{(<>⊕p•q)⊕r•s•(<>⊕<p•q>)}

De vier elementen uit de som zijn dus als een coëfficiënt te interpreteren.

De vier elementen uit de som zijn evenzeer als projectoren (en dus als klassieke vectoren) te beschouwen waarvan de som een nieuwe projector maakt.

Bewijs:

Een willekeurige haakuitdrukking is te schrijven als H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>

Dit is niet verschillend van <>⊕H=<>⊕r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>

Dit is niet verschillend van <>⊕H=<>⊕<>⊕<>⊕<>⊕r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>

Dit is niet verschillend van (<>⊕H)=(<>⊕r•q)⊕(<>⊕<r•p>)⊕(<>⊕<s•p>)⊕(<>⊕<s•q>)

QED

Het gevolg is dat er ook geldt voor de tweede component van de basis: (<>⊕<H>)=(<>⊕<r•q>)⊕(<>⊕r•p)⊕(<>⊕s•p)⊕(<>⊕s•q)

Besluit

De welgevormde haakuitdrukking H is een structuur met componenten die zich gedragen als getallen, die verschillend waargenomen wordt vanuit een ander standpunt.

De structuren die de basis vormen van een universum waarin structuren kunnen optreden die zich gedragen als getallen worden opgespannen door de welgevormde vectoren die een lokaal universum opspannen met slechts twee onderscheidingen. Een twee-onderscheidingen universum heeft 14 welgevormde haakuitdrukkingen buiten <> en <<>>, ze zijn in 7 koppels op te splitsen die elkaars inbedding zijn en zullen dus, gesommeerd met <>, 7 orthogonale idempotente basissen vormen. Deze 7 basissen worden slechts door 2 onderscheidingen gegenereerd die we conventioneel a en b genoemd hebben. Twee onderscheidingen geven dus aanleiding tot 3 basisvectoren (a, b en b•a) en drie tweedimensionale, orthogonale basissen ([(<>⊕<b•a>), (<>⊕b•a)]; [(<>⊕<a>), (<>⊕a)]; [(<>⊕<b>), (<>⊕b)]), maar door nevenschikking (een bepaald soort vectorsom) kunnen de 3 basisvectoren ook 4 bijkomende orthogonale basissen opspannen die gebaseerd zijn op de atomen: [(<<>>⊕a⊕<b>⊕<a•b>), (<a>⊕b⊕a•b]; [(<<>>⊕a⊕b⊕a•b), (<a>⊕<b>⊕<a•b>)]; [(<<>>⊕<a>⊕<b>⊕a•b), (a⊕b⊕<a•b>)]; [(<<>>⊕<a>⊕b⊕<a•b>), (a⊕<b>⊕a•b)].

In welgevormde haakuitdrukking wordt H gegeven door <b•a<b•p>><<b•a><b•q>>, en aangezien elke welgevormde haakuitdrukking met dit patroon kan uitgedrukt worden, kan elke welgevormde haakuitdrukking met dezelfde basis minimaal naar twee standpunten collapsen. De componenten van H in de basis opgespannen door a en b zijn geen getallen maar als getallen hanteerbare structuren (in dit geval 2-vectoren) en de componenten zijn verschillend in verschillende standpunten.

Elke welgevormde haakuitdrukking heeft dus een lokaal universum van 7 orthogonale idempotente basissen. Hoe die basissen in elkaar transformeren is eenvoudig aan te tonen, maar kan ook met matrix operatoren gemodelleerd worden.