We kunnen het creatief product H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q> op vier manieren als een vectorproduct uitdrukken

Product met één vector

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=r•{<p>⊕q⊕r•s•(<p>⊕<q>)}

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=s•{<p>⊕<q>⊕r•s•(<p>⊕q)}

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=p•{<r>⊕<s>⊕p•q•(r⊕<s>)}

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=q•{r⊕<s>⊕p•q•(<r>⊕<s>)}

Er zijn dus vier te onderscheiden mogelijkheden.

Product met een 2-vector

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=r•p•(<>⊕<r•s>⊕p•q⊕<p•q•r•s>)=r•p•{(<>⊕<r•s>)⊕<p•q>•(<>⊕r•s)}=r•p•{(<>⊕<p•q>)⊕<r•s>•(<>⊕p•q)}

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=<r•q>•(<>⊕r•s⊕p•q⊕p•q•r•s)=<r•q>•{(<>⊕r•s)⊕<p•q>•(<>⊕<r•s>)}=<r•q>•{(<>⊕p•q)⊕<r•s>•(<>⊕<p•q>)}

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=s•p•(<>⊕<r•s>⊕<p•q>⊕p•q•r•s)=s•p•{(<>⊕<r•s>)⊕p•q•(<>⊕r•s)}=s•p•{(<>⊕<p•q>)⊕r•s•(<>⊕p•q)}

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=s•q•(<>⊕r•s⊕<p•q>⊕<p•q•r•s>)=s•q•{(<>⊕r•s)⊕p•q•(<>⊕<r•s>)}=s•q•{(<>⊕p•q)⊕r•s•(<>⊕<p•q>)}

Er zijn dus vier te onderscheiden mogelijkheden.

Product met een 3-vector

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=r•p•s•(<s>⊕<r>⊕p•q•s⊕<p•q•r>)=r•p•s•{<s>⊕<r>⊕p•q•(s⊕<r>)}

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=<r•q•s>•(<s>⊕r⊕p•q•s⊕p•q•r)=r•q•s•{s⊕<r>⊕p•q•(<s>⊕<r>)}

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=s•p•q•(<q>⊕<r•s•q>⊕<p>⊕p•r•s)=s•p•q•{<p>⊕<q>⊕r•s•(p⊕<q>)}

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=r•p•q•(<q>⊕<r•s•q>⊕p⊕<p•r•s>)=r•p•q•{p⊕<q>⊕r•s•(<p>⊕<q>)}

Er zijn dus vier te onderscheiden mogelijkheden.

Product met een 4-vector

H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=r•s•p•q•(s•p⊕<s•q>⊕<r•q>⊕<r•p>)

Deze opsplitsing is uniek. We kunnen dus twee welgevormde haakuitdrukkingen op een unieke wijze met elkaar relateren. Zo'n koppel welgevormde haakuitdrukkingen zullen we elkaars orthogonaal noemen (Orthogonaliseren definiëren we als één component van elk standpunt inbedden en dus twee componenten van de som inbedden).

We noteren dit als H versus H*, waarbij H** niet kan onderscheiden worden van H.

H=(r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>)

H*=(s•p⊕<s•q>⊕<r•q>⊕<r•p>)

H**=H=(r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>)

We zien dat slechts een gedeelte van de som ingebed wordt en dat orthogonaliseren komt dus overeen met het niet-commutatief zijn van het creatief product.

H=(r•p⊗s•q)_s•r=(<r•p>⊕<s•q>⊕<s•p>⊕r•q)

H*=(s•q⊗r•p)_s•r=(<s•q>⊕<r•p>⊕<r•q>⊕s•p)