We hebben wiskundige variabelen geconstrueerd als entiteiten: telbare eenheden die de onderbouwing zijn van mogelijke berekeningen ermee. Onderliggend aan een entiteit liggen onderscheidingen die allemaal dezelfde waarde hebben. Die waarde is geen getalwaarde maar een “ja of neen”. In het universum met het grootste aantal onderscheidingen zijn er logische combinaties van onderscheidingen die geen entiteiten zijn omdat ze niet telbaar zijn aangezien de onderscheidingen die nodig zijn om ze dezelfde waarde te geven niet beschikbaar zijn. We tonen nu aan hoe zich dat wiskundig manifesteert.
We hebben al de al-nul vector een plaats gegeven in het haakformalisme. Voor de duidelijkheid herhalen we hier even het voorbeeld: stel dat we H in het binair isomorfisme voorstellen als (+-++--++) dan stellen we “H ervaren” voor als (x-xx--xx). Dus in de gecollapste tralie met (x-xx--xx) als infimum, is H niet meer te onderscheiden van <>.
Bewijs:
H ∼ (+-++--++)
<H> ∼ (-+--++--)
<H>⊕<<>> ∼ (-+--++--)⊕(++++++++)
<H>⊕<<>> ∼ (x-xx--xx)
De uitdrukking <H>⊕<<>> is gelijk aan <>, dan en slechts dan wanneer H=<>.
QED
Formeel betekent dit dat we een x plaatsen daar waar een + staat in de bitstring. Nu moeten we H•H als (+-++--++)•(+-++--++) en dus (++++++++) voorstellen en dus “H•H ervaren” als (xxxxxxxx), inderdaad H•H heeft altijd waarde <<>> en <<>> is niet te ervaren. In een meer traditionele notatie is dat H2=0, en bemerk dat dit mogelijk is zonder dat geldt dat H=0. Dit noemt men nilpotentie. Als we dan een ervaren H•H vermenigvuldigen met H, dus H•H•H construeren, dan komt dit overeen met (xxxxxxxx)•(+-++--++) en de ervaringswaarde is dus nog steeds xxxxxxxx, in een meer traditionele notatie is dat H3=0, en dat geldt ook voor alle volgende machten.
Deze formele procedure is ook geldig voor een gecollapste tralie en projectoren. Veronderstel de bitstring (x+xx++xx) uit een gecollapste tralie. Dit is een uitdrukking voor H niet verschillend van <<>> in een tralie met slechts 3 atomen. Als we een x plaatsen daar waar een + staat in de bitstring dan bekomen we (xxxxxxxx). Een H met waarde <<>> is inderdaad niet ervaren. Er is het volgende verschil met een niet gecollapste tralie: in de vectorvermenigvuldiging met zichzelf blijft dit een punt in dezelfde gecollapste tralie. In traditionele notatie is dat H2=H en niet H2=0. We onderscheiden dan twee vormen. Bijvoorbeeld (x+xx++xx)•(x+xx++xx) levert (x+xx++xx) en dit noemt men idempotentie. Maar (x-xx--xx)•(x-xx--xx) levert (x+xx++xx) en dat hebben we anderspotentie genoemd. Eenheden zijn idempotent en daar kunnen we veel voorbeelden van geven die duidelijk maken dat dit een eigenschap is die voor veel operaties zowel in de potentiële werkelijkheid als in de ervaren werkelijkheid relevant is.
<>⊕H is een projector en H een infinitesimaal. H2 is nul in het ervaren, aangezien H•H=<<>> en <<>> kan niet ervaren worden. (<>⊕H)•(<>⊕H)=(<>⊕H), en de projector is nul als H gebeurt en dus <H> ervaren wordt. Dat som en product samen moeten bekeken worden herkennen we in het axioma van Leibniz dat de mate van verandering van een functie f(x), geschreven als df(x), gelijk is aan f'(x)dx waarbij f'(x) in het algemeen een som is die vermenigvuldigd wordt met de infinitesimaal dx en dus van het type (<>⊕H)•h (een algemene functie kan een som zijn van functies, maar ook een afgeleide kan een som zijn zoals bijvoorbeeld arctan'(x)= (1+x2)-1).
Een som van twee infinitesimalen genereert altijd een projector en een som van een idempotente projector en zijn orthogonale anderspotente projector genereert altijd een infinitesimaal.
Nilpotentie kunnen we dus verbonden zien met zowel de potentiële werkelijkheid als de ervaren werkelijkheid en idempotentie enkel met de ervaren werkelijkheid.
We hebben dus “een H die verschillend is van nul en toch een H2 en verdere machten oplevert die gelijk is aan nul”. Deze grootheid wordt conventioneel een infinitesimaal genoemd en is nilpotent. Merk op dat dit op een heel transparante manier uit het haakformalisme afgeleid werd en dat er niets mysterieus is aan “een d die verschillend is van nul en die toch een d2 oplevert die gelijk is aan nul”. Trouwens: nul is niet niets, het is het teloor gaan van ordening. Nul is operationeel “waarneembaar klein” en “onwaarneembaar nog kleiner”. Infinitesimalen kunnen dus ook welgevormde haakuitdrukkingen zijn omdat we kunnen uitdrukken dat ze onmogelijk te ervaren zijn en als zodanig zijn ze dus aspecten (logische combinaties van onderscheidingen) of onderscheidingen zelf en ze hoeven geen entiteiten te zijn. De overgang van onderscheiding naar entiteit hebben we dus wiskundig gemodelleerd door een nieuwe interpretatie te geven aan infinitesimalen, getallen waarvan het vectorproduct met zichzelf onmogelijk te ervaren is. Als getallen worden ze voor het eerst in de 19de eeuw bestudeerd als basis voor de “dual numbers”.
Aan H hebben we geen verdere eisen opgelegd dan dat het een welgevormde haakuitdrukking is. Elke welgevormde haakuitdrukking gedraagt zich dus ook in het ervaren als een infinitesimaal en dit maakt het nu mogelijk het axioma van de differentiaalmeetkunde (Bernhard Riemann) te formuleren in het haakformalisme. In het haakformalisme is dat dus geen nieuw axioma maar een gevolg van het enige axioma: er is geen verschil tussen het ervaren van iets en laten gebeuren van iets anders en: we ervaren altijd iets.
Veronderstel een parabool met naam f(x), neem f(x)↔x2, er is geen verschil tussen f(x) en x2, of meer conventioneel f(x)=x2. Hierbij is de veelterm x2 een entiteit (dus telbaar, de eenheid is gedefinieerd). Die entiteit “varieert van intensiteit in het ervaren”: als we x2 op een bepaald moment waarnemen, “evalueren we de functie op een bepaald punt”, en dan geeft x2 de intensiteit van de eenheid 1 die gegeven wordt door een getal. Nu gaan we de intensiteit van de parabool op een telbare (te sommeren manier) manier veranderen met “een infinitesimaal d”. We willen daarbij de “toename d”, de “som met d” of een nog niet gekend getal ervaren zonder dat we de parabool willen verlaten, dus in de relatie “parabool”, binnen de entiteit “parabool” die een relatie is die een veranderende x beschrijft als de intensiteit van die specifieke 1. Dus: onze veronderstelling is dat de som van een getal a (op een bepaald punt) van de parabool met d een getal voorstelt die een mogelijke intensiteit geeft van dezelfde parabool, en niet van een andere structuur. Dan eisen we dat dit dezelfde structuur realiseert, dezelfde welgevormde andersduale (want telbare) haakuitdrukking die we willen ervaren. Dan eisen we dat ze als waarneming (als de evaluatie a2) op dezelfde manier ontstaat uit dezelfde parabool (dus uit dezelfde entiteit x2 met dezelfde opbouwende onderscheidingen). Als we de parabool niet willen verlaten eisen we dus dat er moet gelden dat f(a+d)=(a+d)2, en dat dit eveneens een getalvergelijking moet zijn waarvoor de welbekende en operationeel goed onderbouwde relatie geldt van het kwadrateren van een veelterm: f(a+d)=a2 +2ad + d2. Hierbij ontstaan dus twee nieuwe uitdrukkingen: namelijk een constante intensiteit die de coëfficiënt is van een eenheid, in dit geval dus 2a die een coëfficiënt is van d en een d2, het kwadraat van dezelfde eenheid d. Die d is hierdoor een getal die in een relatie “parabool” staat tot een ander getal waarbij alle getallen elkaar uitsluiten. Dit is volledig overeenkomstig met de definitie van coëfficiënt vanuit het ene axioma van het haakformalisme.
Na het interpreteren van een getal als de waarde van een potentiële relatie, de intensiteit van een punt, kunnen we nu de vermenigvuldiging van een getal met een variabele (de coëfficiënt dus) uit het haakformalisme afleiden. We hebben dit gedaan door een nieuwe veronderstelling te introduceren bovenop het ene axioma en de veronderstelling van telbaarheid: we veronderstellen nu immers dat we de relatie “parabool” expliciet opdringen aan a+d, en dat d een haakuitdrukking moet zijn die dus in dezelfde ervaren soort relatie (parabool) een getal zal zijn als a. Dus, zoals a de intensiteit is van een haakuitdrukking x, zo is ook a+d de intensiteit van dezelfde haakuitdrukking x, enkel de intensiteit onderscheidt zich van a en aangezien we die intensiteit nog niet gekozen hebben duiden we die aan met een toegevoegde d. Maar dat is dus juist ook wat we met x bedoelen, x is eveneens een intensiteit die nog niet gekozen is. Dus a+d is een welgevormde haakuitdrukking die zich niet onderscheidt van x. Om dat te realiseren hebben we het begrip nilpotentie voor de toegevoegde eenheid d en dus: in het ervaren (zoals de evaluatie a van de entiteit x) van a+d moet gelden dat d2=0 en dus geldt voor de getallen a en d: f(a+d)=a2 +2ad. Merk op dat we dit met de reeds geïntroduceerde naam ook kunnen noteren als f(a+d)=f(a)+2ad. Hierin is a+d een structuur en a en d een getal. Voor de intensiteit van d moeten we nu een nieuwe naam verzinnen, namelijk f'(a)=2a en dan noteren f(a+d)=f(a)+f'(a)d. f'(a) noemen we de afgeleide van f(x) in het punt a. Het is f'(a) die nodig is als de intensiteit van een infinitesimaal of (welgevormde of gecollapste) haakuitdrukking d die het paraboolkarakter (dat specifiek soort ervaren) realiseert op dezelfde manier als x dat deed maar waarvan het kwadraat niet kan ervaren worden (en dus waarde “neen” heeft).
Dit definieert de afgeleide van die getalfunctie in het haakformalisme. Dit is uiteraard uit te breiden naar elke veelterm zoals bijvoorbeeld de kubische functie g(a+d)=(a+d)3, dus g(a+d)=a3+3a2d+3ad2+d3 en aangezien d2=0 en ook d3=0 wordt dit gereduceerd tot g(a+d)=a3+3a2d en dus g(a+d)=g(a)+g'(a)d waarbij g'(a)=3a2 de afgeleide is van g(x) in het punt a.
Hoe deze afgeleiden gerelateerd zijn met evenwaardigheid van eenheden in tralies kunnen we uitgebreid onderzoeken.
We kunnen afgeleiden ook voor andere functies construeren, bijvoorbeeld een functie uit de driehoeksmeting. Noem een van de hoeken van een rechthoekige driehoek d en neem als de schuine zijde het getal 1. De sin(d) is dus de overliggende zijde en cos(d) is de aanliggende zijde. Dus cos(d)=(1-sin(d)2)1/2 en met sin(d)2=0 is dus cos(d)=1 en dus sin(d)=d. Dus: sin(a+d)=sin(a)cos(d)+cos(a)sin(d)=sin(a)+cos(a).d en dus noemen we cos(a) de afgeleide van sin(x) in het punt a.
Wanneer we in de algemene formule f(a+d)=f(a)+f'(a)d het getal a vervangen door 0, dan bekomen we f(d)=f(0)+f'(0)d. Dit is het axioma dat aan de basis ligt van de hele differentiaal meetkunde.
Voor een willekeurige relatie f(x) geldt dan f(x+d)=f(x)+f'(x)d
En omdat vanuit de veronderstelling alle d elkaar uitsluiten kunnen we ook een som of integraal definiëren van termen f'(x)d.
De grootheid d wordt nog op een andere, meer aan x en zijn functie y gerelateerde manier genoteerd als de grootheid dx, die hierdoor op een specifieke manier gerelateerd is aan een grootheid dy. Dit is dus de definitie van twee infinitesimalen, een verschil dx dat een specifiek verschil dy maakt. Dit zijn, enkel in het ervaren zelf, bij de evaluatie zelf, twee getallen die aan elkaar gerelateerd zijn en afhankelijk zijn van de gekozen getal-ordening “op de dimensies” en de plaats die men in het ervaren in die ordening inneemt. Omdat ze met elkaar gerelateerd zijn worden ze ook differentialen genoemd. Deze minimale relatie van twee getallen is altijd te construeren door de parameter representatie die de logische conjunctie in het getallendomein kan weergeven.
We hebben niet alleen het axioma van de differentiaalmeetkunde in het haakformalisme vertaald, we hebben hiermee aangetoond dat de differentiaalmeetkunde een getrouwe weergave is van het haakformalisme onder de voorwaarde van een telbare entiteit, onderscheiden van een infinitesimaal die ook “geen telbare entiteit” kan zijn. Een infinitesimaal is dan een welgevormde haakuitdrukking die (binnen de voorwaarde van een telbare entiteit) een symbool is voor een van de twee mogelijke atomen die de entiteit realiseren.