We hebben de wiskundige variabelen kunnen construeren als entiteiten: telbare eenheden. Onderliggend aan een entiteit liggen onderscheidingen die allemaal dezelfde waarde hebben. Hoe kunnen we nu de overgang van onderscheiding naar entiteit wiskundig modelleren?

We hebben al de al-nul vector een plaats gegeven in het haakformalisme. Voor de duidelijkheid herhalen we hier even het voorbeeld: stel dat we H voorstellen als (+-++--++) dan stellen we “H ervaren” voor als (x-xx--xx). Dus in de gecollapste tralie is H niet meer te onderscheiden van <>. Formeel betekent dit dat we een x plaatsen daar waar een + staat in de bitstring. Nu moeten we H•H als (+-++--++)•(+-++--++) en dus (++++++++) voorstellen en dus “H•H ervaren” als xxxxxxxx, inderdaad H•H heeft altijd waarde <<>> en <<>> is niet te ervaren. In een meer traditionele notatie is dat H²=0, en bemerk dat dit mogelijk is zonder dat geldt dat H=0. Dit geldt ook voor een gecollapste tralie en dit blijft een gecollapste tralie in de vectorvermenigvuldiging met zichzelf. Bijvoorbeeld (x-xx--xx)•(x-xx--xx) levert (x+xx++xx) en deze vectorvermenigvuldiging ervaren levert terug de al-nulvector op. Als we dan een ervaren H•H vermenigvuldigen met H, dus H•H•H, dan komt dit overeen met (xxxxxxxx)•(+-++--++) en de ervaringswaarde is dus nog steeds xxxxxxxx, in een meer traditionele notatie is dat H³=0, en dat geldt ook voor alle volgende machten.

We hebben dus “een H die verschillend is van nul en toch een H² en verdere machten oplevert die gelijk is aan nul”. Deze grootheid wordt conventioneel een infinitesimaal genoemd en is nilpotent. Merk op dat dit op een heel transparante manier uit het haakformalisme afgeleid werd en dat er niets mysterieus is aan “een d die verschillend is van nul en die toch een d² oplevert die gelijk is aan nul”. Trouwens: nul is niet niets, het is het teloor gaan van ordening. Nul is operationeel “waarneembaar klein” en “onwaarneembaar nog kleiner”. Infinitesimalen zijn dus niet anders dan (al dan niet welgevormde) haakuitdrukkingen omdat we kunnen uitdrukken dat ze onmogelijk te ervaren zijn en als zodanig zijn ze dus aspecten of onderscheidingen en ze hoeven geen entiteiten te zijn. De overgang van onderscheiding naar entiteit hebben we dus wiskundig gemodelleerd door een nieuwe interpretatie te geven aan infinitesimalen, getallen waarvan het vectorproduct met zichzelf onmogelijk te ervaren is. Als getallen worden ze voor het eerst in de 19de eeuw bestudeerd als basis voor de “dual numbers”.

Aan H hebben we geen verdere eisen opgelegd dan dat het een haakuitdrukking is, de uitdrukking kan dus welgevormd of gecollapst zijn. Elke (welgevormde of gecollapste) haakuitdrukking gedraagt zich dus ook in het ervaren als een infinitesimaal en dit maakt het nu mogelijk het axioma van de differentiaalmeetkunde (Bernhard Riemann) te formuleren in het haakformalisme. In het haakformalisme is dat dus geen nieuw axioma maar een gevolg van het enige axioma: er is geen verschil tussen het ervaren van iets en laten gebeuren van iets anders en: we ervaren altijd iets.

Voorbeelden

Veronderstel een parabool met naam f(x), neem f(x)↔x², er is geen verschil tussen f(x) en x², of meer conventioneel f(x)=x². Hierbij is de veelterm x² een entiteit (dus telbaar, de eenheid is gedefinieerd) “die van intensiteit varieert in het ervaren”: als we x² op een bepaald moment waarnemen, “evalueren we de functie op een bepaald punt”, en geeft x² de intensiteit van 1 die gegeven wordt door een getal. Nu gaan we de intensiteit van de parabool op een telbare (te sommeren manier) manier veranderen met “een infinitesimaal d”. We willen daarbij de “toename d”, de “som met d” of een nog niet gekend getal ervaren zonder dat we de parabool willen verlaten, dus in de relatie “parabool”, binnen de entiteit “parabool”, relatie die een veranderende x beschrijft als de intensiteit van die specifieke 1. Dus: onze veronderstelling is dat de som van een getal a (op een bepaald punt) van de parabool met d een getal voorstelt van dezelfde parabool, en niet van een andere structuur. Dan eisen we dat dit dezelfde structuur realiseert, dezelfde welgevormde andersduale (want telbare) haakuitdrukking die we willen ervaren. Dan eisen we dat ze als waarneming (als de evaluatie a²) op dezelfde manier ontstaat uit dezelfde parabool (dus uit dezelfde entiteit x² met dezelfde opbouwende onderscheidingen). Als we de parabool niet willen verlaten eisen we dus dat er moet gelden dat f(a+d)=(a+d)², en dat dit eveneens een getalvergelijking moet zijn waarvoor de welbekende en operationeel goed onderbouwde relatie geldt van het kwadrateren van een veelterm: f(a+d)=a² +2ad + d². Hierbij ontstaat dus iets nieuws: namelijk een constante intensiteit die de coëfficiënt is van een entiteit, in dit geval dus 2a die een coëfficiënt is van d, d die hierdoor een getal wordt die in een relatie “parabool” staat tot een ander getal waarbij alle getallen elkaar uitsluiten (niet simultaan één punt realiseren). Dit is volledig overeenkomstig met de definitie van coëfficiënt vanuit het ene axioma van het haakformalisme.

Na het interpreteren van een getal als de waarde van een potentiële relatie, de intensiteit van een punt, kunnen we nu de vermenigvuldiging van een getal met een variabele (de coëfficiënt dus) uit het haakformalisme afleiden. We hebben dit gedaan door een nieuwe veronderstelling te introduceren bovenop het ene axioma en de veronderstelling van telbaarheid: we veronderstellen nu immers dat we de relatie “parabool” expliciet opdringen aan a+d, en dat d een haakuitdrukking moet zijn die dus in dezelfde ervaren soort relatie (parabool) een getal zal zijn als a. Dus, zoals a de intensiteit is van een haakuitdrukking x, zo is ook a+d de intensiteit van dezelfde haakuitdrukking x, enkel de intensiteit onderscheidt zich van a en aangezien we die intensiteit nog niet gekozen hebben duiden we die aan met een toegevoegde d. Maar dat is dus juist ook wat we met x bedoelen, x is eveneens een intensiteit die nog niet gekozen is. Dus a+d is een (welgevormde of gecollapste) haakuitdrukking die zich niet onderscheidt van x. Daarom: in het ervaren (zoals de evaluatie a van de entiteit x) van a+d moet gelden dat d²=0 en dus geldt op getalmatige manier f(a+d)=a² +2ad. Merk op dat we dit met de reeds geïntroduceerde naam ook kunnen noteren als f(a+d)=f(a)+2ad. Hierin is a+d een structuur en a en d een getal. Voor de intensiteit van d moeten we nu een nieuwe naam verzinnen, namelijk f'(a)=2a en dan noteren f(a+d)=f(a)+f'(a)d. f'(a) noemen we de afgeleide van f(x) in het punt a. Het is f'(a) die nodig is als de intensiteit van een infinitesimaal of (welgevormde of gecollapste) haakuitdrukking d die het paraboolkarakter (dat specifiek soort ervaren) realiseert op dezelfde manier als x dat deed maar waarvan het kwadraat niet kan ervaren worden (en dus waarde heeft “neen”).

Dit definieert de afgeleide van die getalfunctie in het haakformalisme. Dit is uiteraard uit te breiden naar elke veelterm zoals bijvoorbeeld de kubische functie g(a+d)=(a+d)³, dus g(a+d)=a³+3a²d+3ad²+d³ en aangezien d²=0 en ook d³=0 wordt dit gereduceerd tot g(a+d)=a³+3a²d en dus g(a+d)=g(a)+g'(a)d waarbij g'(a) de afgeleide is van g(x) in het punt a.

Dit is ook mogelijk voor een ander voorbeeld, namelijk een functie uit de driehoeksmeting. Noem een van de hoeken van een rechthoekige driehoek d en neem als de schuine zijde het getal 1. De sin(d) is dus de overliggende zijde en cos(d) is de aanliggende zijde. Dus cos(d)=(1-sin(d)²)^1/2 en met sin(d)²=0 is dus cos(d)=1 en dus sin(d)=d. Dus: sin(a+d)=sin(a)cos(d)+cos(a)sin(d)=sin(a)+cos(a).d en dus noemen we cos(a) de afgeleide van sin(x) in het punt a.

Wanneer we in de algemene formule f(a+d)=f(a)+f'(a)d het getal a vervangen door 0, dan bekomen we f(d)=f(0)+f'(0)d. Dit is het axioma dat aan de basis ligt van de hele differentiaal meetkunde.

Voor een willekeurige relatie f(x) geldt dan f(x+d)=f(x)+f'(x)d

En omdat vanuit de veronderstelling alle d elkaar uitsluiten kunnen we ook een som of integraal definiëren van termen f'(x)d.

De grootheid d wordt nog op een andere, meer aan x en zijn functie y gerelateerde manier genoteerd als de grootheid dx, die hierdoor op een specifieke manier gerelateerd is aan een grootheid dy. Dit is dus de definitie van twee infinitesimalen, een verschil dx dat een specifiek verschil dy maakt. Dit zijn, enkel in het ervaren zelf, bij de evaluatie zelf, twee getallen die aan elkaar gerelateerd zijn en afhankelijk zijn van de gekozen getal-ordening “op de dimensies” en de plaats die men in het ervaren in die ordening inneemt. Omdat ze met elkaar gerelateerd zijn worden ze ook differentialen genoemd. Deze minimale relatie van twee getallen is altijd te construeren door de parameter representatie die de logische conjunctie in het getallendomein kan weergeven.

Besluit en gevolgen

We hebben niet alleen het axioma van de differentiaalmeting in het haakformalisme vertaald, we hebben hiermee aangetoond dat de differentiaalmeting een getrouwe weergave is van het haakformalisme onder de voorwaarde van een telbare entiteit, onderscheiden van een infinitesimaal die geen entiteit kan zijn. Een infinitesimaal is dan een (welgevormde of gecollapste) haakuitdrukking die (binnen de voorwaarde van een telbare entiteit) een symbool is voor een van de twee mogelijke atomen die de entiteit realiseren. Hierbij vereist de relatie van de getallen dat, indien de intensiteit van het ene atoom gegeven wordt door een getal g, de intensiteit van het andere atoom moet gegeven worden door g^-1 aangezien de gemeten entiteit door de eenheid g.g^-1=1 moet gegeven worden. Er zijn altijd minimaal twee atomen in de potentiële werkelijkheid, waarbij in het ervaren zelf slechts één gerealiseerd wordt. Er zijn dus altijd twee telbare parameters (potentieel dus) die met elkaar op getalmatige manier moeten gerelateerd zijn in het ervaren zelf.

Op het moment van de waarneming collapst de potentiële relatie die we x versus f(x) noemen naar de intensiteit van een van de atomen. Wijzen we het getal a¹ aan p ∼ <x_i> toe dan moeten we a₁ aan q ∼ <<x>_i> toewijzen, zodanig dat <x_i>•<<x>_i> de eenheid is die gemeten wordt en dus ook a¹•a₁ =1. Merk op dat hier contravariante versus covariante indexen gebruikt worden wat afzonderlijk geëxploreerd wordt.

<>⊕H is een projector en H een infinitesimaal. H² is nul in het ervaren, aangezien H•H=<<>> en <<>> kan niet ervaren worden. (<>⊕H)•(<>⊕H)=(<>⊕H), en de projector is nul als H gebeurt en dus <H> ervaren wordt. Dat som en product samen moeten bekeken worden herkennen we in het axioma van Leibniz dat de mate van verandering van een functie f(x), geschreven als df(x), gelijk is aan f'(x)dx waarbij f'(x) in het algemeen een som is die vermenigvuldigd wordt met de infinitesimaal dx en dus van het type (<>⊕H)•h (een algemene functie kan een som zijn van functies, maar ook een afgeleide kan een som zijn zoals bijvoorbeeld arctan'(x)= (1+x²)^-1).

Een som van twee infinitesimalen genereert altijd een projector en een som van een idempotente projector en zijn orthogonale anderspotente projector genereert altijd een infinitesimaal.