Eens men entiteiten onderscheidt en dus kan tellen ontstaat een nieuwe mogelijkheid tot structuuronderzoek: aantallen (van eenzelfde entiteit) zullen in relatie tot elkaar kunnen bestudeerd worden. Die mogelijke relaties kunnen dan een nieuw symbool krijgen, vormen dus een nieuwe onderscheidingsmogelijkheid en aangezien aantallen entiteiten impliceren codeert dat symbool dus een nieuwe entiteit.

We zullen die entiteiten nu stap voor stap introduceren en starten met de notatie die niet genoteerd moet worden:

<<>>

We voeren nu een transformatie uit van <<>> naar een symbool dat we als getal gebruiken omdat het als zodanig herkend wordt:

<<>>↔1

In welgevormde haakuitdrukking staat hier <<<<>><1>><<>1>>↔<> dat te reduceren is tot <1>↔<> (of dus 1↔<<>>). We noteren dit ook als <<<>>•1>↔<>. De transformatie legt een verband tussen <<>> en het getallen repertorium: vanuit willekeur introduceert het een getal. Dit zijn dus domein (willekeur) en codomein (getallen) van de transformatie.

De uitdrukking <<>>↔x is op dezelfde manier gedefinieerd. We creëren dus nieuwe entiteiten door deze een nieuw symbool te geven, dus door de relatie van transformatie: een telbare relatie van aantallen krijgt een focus die gekozen kan worden, maar niet moet worden. We moeten dit goed begrijpen. Als we <<>>↔1 poneren in conjunctie met <<>>↔x, dan is dit een logische conjunctie van de veronderstelling dat we iets dat we niet kunnen noteren zowel door 1 als door x kunnen vervangen, dus geldt ook dat we 1 door x kunnen vervangen, en dus 1↔x en op die manier, omdat we 1 herkennen als een getal dwingen we x om een entiteit te zijn (telbaar).

Variabelen definiëren we dus als de symbolen die telbare waarden kunnen innemen. De transformatie van x naar een getal is het toekennen van een waarde aan x. We kunnen dat doen maar we moeten dat niet doen. We kunnen volledig analoog het symbool x₁²+2x₂+3 introduceren waarin optelling en vermenigvuldiging gebruikt zijn zoals ze gedefinieerd zijn in het getallendomein. We hebben hiermee een symbool geïntroduceerd dat een nieuwe entiteit creëert omdat het impliciet de telbare conventies volgt. Het symbool x₁²+2x₂+3 staat voor de bekende bewerkingen product en som met getallen en variabelen x_i en dit beschouwen we dan als een nieuwe eenheid waarvan de intensiteit afhankelijk is van de intensiteiten (de telbare waarden) van x_i. Hiermee definiëren we het begrip “intensiteit” in het haakformalisme en een scalaire vermenigvuldiging als een uitdrukking zoals 2x₂. Die nieuwe eenheid met een bepaalde intensiteit kunnen we een nieuw symbool (en dus een waarde gelijk aan 1) geven, stel y, dus y.1↔ x₁²+2x₂+3 waarbij de 1 impliciet is (niet merkbaar in de symbooltoekenning). Stel dat y de waarde 5 heeft dus 5.1↔y.1 dan is er terug een logische conjunctie te veronderstellen zodanig dat 5↔ x₁²+2x₂+3.

x₁²+2x₂+3 wordt een veelterm genoemd, veeltermen kunnen gemanipuleerd worden zonder dat ze een waarde toegekend kregen, volledig analoog met welgevormde haakuitdrukkingen die kunnen gemanipuleerd worden zonder dat ze een waarde toegekend kregen. Het grote verschil is nu dat een veelterm een combinatie is van intensiteiten en dat het begrip “intensiteit” afgeleid wordt uit het haakformalisme, dus dat een welgevormde haakuitdrukking geen intensiteit moet hebben. De waarde die een welgevormde haakuitdrukking kan krijgen is ofwel <>, ofwel <<>>. Een veelterm daarenboven kan gelijk welke waarde krijgen uit het getallendomein. Het toekennen van een waarde gebeurt met een transformatie die voor veeltermen een logische conjunctie is van twee symbolen die ook welgevormde haakuitdrukkingen kunnen aanduiden. Deze transformatie zelf kan terug een symbool krijgen en dat symbool kan niet onderscheiden worden van de inbedding van de veelterm. Inderdaad <<>>↔ x₁²+2x₂+3 kan niet onderscheiden worden van <<<<>><x₁²+2x₂+3>><<>x₁²+2x₂+3>>↔<> dat te reduceren is tot <x₁²+2x₂+3>↔<>. Men moet dus een verschil maken tussen een relatie (drukt een potentiële werkelijkheid uit) en de evaluatie van de relatie op een bepaald punt. De evaluatie van de relatie op een bepaald punt drukt de ervaren werkelijkheid uit “in dat punt” en definiëren we als de intensiteit van het ervaren van een soort punt (in een punt dus, of in een standpunt). Dit is het eenvoudigst te begrijpen met een concreet voorbeeld, neem bijvoorbeeld een parabool met naam f(x), dus f(x)↔x², er is geen verschil tussen f(x) en x², of meer conventioneel f(x)=x². Hierbij is x een entiteit (dus telbaar, de eenheid is gedefinieerd) “die van intensiteit varieert in het ervaren”: als we x op een bepaald moment waarnemen, “evalueren we de functie op een bepaald punt”, en heeft x een intensiteit die gegeven wordt door een getal. De unieke (want f is een functie van het getallendomein naar het getallendomein) evaluatie met de intensiteit a is dus a², meer traditioneel noteert men dit als een nieuwe naam, namelijk f(a)=a² en men zegt dat men de parabool evalueert op het punt a. Het punt a, uit welke structuur hij ook zou ontstaan zijn, is nu een getal (vanuit de veronderstelling (het axioma van het getal) van de toepassing van het haakformalisme die we nu beschouwen). We interpreteren dat als “de intensiteit van een (abstract geconstrueerde) entiteit x”.

Zo wordt het mogelijk de getallen zelf te definiëren als een relatie tussen getallen die met bepaalde entiteiten (de variabelen) kunnen verbonden worden. Zo is het mogelijk de getallen te beschouwen als een waarde die men toekent aan een "indien... dan..." constructie.

Stel bijvoorbeeld dat de “indien... dan...” constructie met één variabele kan voorgesteld worden als de getalrelatie x²-x-2 dan kunnen alle getallen y die we hiermee willen definiëren voorgesteld worden door y=(x²-x-2). Dit is een voorbeeld van de algemene kwadratische relatie y=(ax²+bx+c) die we ook kunnen voorstellen als het product y=(x-(b-(b²-4ac)^0,5)(2a)^-1)(x-(b+(b²-4ac)^0,5)(2a)^-1). In concreto in dit geval y=(x+1)(x-2). Het getal y is dus een getal, vermenigvuldigd met de eenheid 1 die de waarde geeft van de relatie x²-x-2 met een gekozen x die de soort is van de eenheid waaraan de intensiteit y kan verbonden worden. En we hebben de termen van het product, namelijk (x+1) en (x-2), gevonden door y=0 te veronderstellen.

Stel bijvoorbeeld een relatie met twee variabelen, dan is het getal 5 te definiëren als, onder zoveel andere mogelijkheden, de keuze voor een welbepaalde cirkel, een specifieke relatie tussen een specifieke relatie van twee onafhankelijke meetbare, telbare onderscheidingen die variabelen genoemd worden, namelijk 5 is niet te onderscheiden van x²+y² of conventioneel 5=x²+y². Zo kan 5 ook een welbepaalde tweedimensionale curve aanduiden in een rechthoekig of ander coördinaten systeem (mogelijk universum van getal paren). Maar ook: met drie onderscheidingen of variabelen is het getal 5 te definiëren als, onder zoveel andere mogelijkheden, de keuze voor een welbepaald boloppervlak, een specifieke relatie tussen een specifieke relatie van drie onafhankelijke variabelen, namelijk 5=x²+y²+z². Merk op dat de veelterm x²+y²+z² dus een waarde gekregen heeft: de veelterm “collapst tot één realisatie”. Het daarenboven toekennen van een waarde aan bijvoorbeeld z zal de verdere collaps naar een cirkel realiseren.

We kunnen dat ook anders uitdrukken: 5 kan simultaan beschouwd worden als de realisatie van x²+y², maar ook als de realisatie van x²+y²+z². Enkel de karakteriserende variabelen zijn verschillend. Het is duidelijk dat we enkel door onze creativiteit beperkt worden in het bedenken van mogelijke variabelen. Telkens als men een getal (concreet) als onafhankelijke variabele (potentieel) beschouwt (een soort relatie met een bepaalde intensiteit) creëert men een volgende dimensie, waarvan de toepasbaarheid moet blijken in concrete realisaties. Dit is uiteraard niet beperkt tot twee of drie dimensies, en een getal zal kunnen voorgesteld worden door de keuze voor een welbepaalde mogelijkheid of “oppervlak” in meerdere dimensies.

Veel doorbraken in de wetenschap zijn bereikt door de hypothese: stel je voor dat een constante de realisatie zou zijn in een bepaald universum van een relatie tussen telbare variabelen, stel dat we de werkelijkheid in een hogere dimensionale ruimte zouden modelleren... zouden we dan een waarde kunnen kiezen (te ervaren) dat we nu niet kunnen kiezen?