Het welgevormde haakuitdrukkingspatroon <x_i><<x>_i>, of dus het patroon met inbedding-symmetrie, codeert voor een telbaar aspect van een entiteit. In deze uitdrukking kan een individuele x_k of <x_k> staan voor een onderscheiding of zijn inbedding, maar dat patroon kunnen we ook vormen met gelijk welke welgevormde haakuitdrukking, het hoeven geen onderscheidingen te zijn, en de nevenschikking zorgt er voor dat ze in hetzelfde universum uitgedrukt worden. We coderen hiermee dus een patroon van niet op voorhand gekende welgevormde haakuitdrukkingen die we kunnen gebruiken om een aantal of intensiteit te modelleren. De intensiteit is gegeven door het geheel (!) getal i dat we in <x_i><<x>_i> gebruiken. Dit patroon noemen we inbedding-symmetrisch, en, indien we onderscheidingen nemen, noemen we dit patroon andersduaal (aangezien het veranderen van elke onderscheiding door zijn inbedding hetzelfde patroon genereert).

Ook de inbedding van het patroon, namelijk <<x_i><<x>_i>> codeert voor een telbaar aspect.

We kunnen nu verschillende aantallen onderscheiden, bijvoorbeeld het aantal (of intensiteit) van een (invariante) entiteit; de intensiteit van een aspect van een (invariante) entiteit; het aantal aspecten van een (invariante) entiteit; het aantal entiteiten en met een gekozen (invariant) aantal aspecten; het aantal entiteiten met een willekeurig aantal aspecten; .…

Een (aspect van een) entiteit heeft minstens één intensiteit, inderdaad <x><<x>> is niet verschillend van <> en <<x><<x>>> is niet verschillend van <<>>. We kunnen inderdaad een onderscheid maken tussen “een aantal entiteiten” en “het aantal onderscheidingen of aspecten waarmee die entiteit gemodelleerd wordt”. Beide aantallen zijn invariant voor elkaar en dat is wat we nu gaan uitklaren.

We bewijzen nu dat het altijd mogelijk is om te kiezen tussen een invariant en een intensiteit (in de standaard taal uitgedrukt: aan een invariant kan men altijd een telbare intensiteit toekennen). We bewijzen dat voor twee aspecten maar uit het bewijs is duidelijk dat dit voor een onbekend aantal evenzeer telt.

Invariantie ten opzichte van de operatie conjunctie

In haakvorm is <x•y>: <<x<y>><<x>y>> (dit is niet anders dan <xy><<x><y>>, wat het patroon <x_i><<x>_i> illustreert). Dat is het transformatie koppel dat in conjunctie met andere onderscheidingen het patroon <x_i><<x>_i> genereert (dat als een disjunctie van AND-atomen kan gezien worden). We onderscheiden nu twee gevallen: (1) beide aspecten realiseren een z, en (2) een z kan vrij gekozen worden met beide aspecten. In beide gevallen herkennen we iets gemeenschappelijks, eerst bij een conjunctie, in het tweede geval bij een disjunctie.

Eerste geval: x is niet te onderscheiden van xANDz en y is niet te onderscheiden van yANDz. In <<x<y>><<x>y>> vervangen we dus x door zijn conjunctie met z en y door zijn conjunctie met z.

<<<<x><z>><y><z>><<x><z><<y><z>>>>

<<x<y><z>><<x><z>y>>

<z><<x<y>><<x>y>>

Anders geschreven: <z><x₂><<x>₂>

In uitbreiding <z><x_i><<x>_i>

Gevolg: <z> is invariant ten opzichte van de conjunctie voor de intensiteit gegeven door het getal i in <x_i><<x>_i>. Maar ook <x_i><<x>_i> is invariant voor de transformatie die zou gebeuren met <z> (bijvoorbeeld z met meer of minder onderscheidingen kunnen beschrijven).

Tweede geval: x is niet te onderscheiden van xz en y is niet te onderscheiden van yz. In <xy><<x><y>> (dus <<x<y>><<x>y>>) vervangen we dus x door zijn disjunctie met z en y door zijn disjunctie met z.

<xzyz><<xz><yz>>

<xyz><<xz><yz>>

<<xz<xyz>><yz<xyz>>>

<<xz<y>><yz<x>>>

z<<x<y>><y<x>>>

Anders geschreven: z<x₂><<x>₂>

In uitbreiding z<x_i><<x>_i>

Gevolg: z is invariant ten opzichte van de conjunctie voor de intensiteit gegeven door het getal i in <x_i><<x>_i>. Maar ook <x_i><<x>_i> is invariant voor de transformatie die zou gebeuren met z (bijvoorbeeld z met meer of minder onderscheidingen kunnen beschrijven).

QED

Invariantie ten opzichte van de operatie disjunctie

In haakvorm is x•y: <x<y>><<x>y> (dit is niet anders dan <<xy><<x><y>>>, wat het patroon <<x_i><<x>_i>> illustreert). Dat is het transformatie koppel dat in disjunctie met andere onderscheidingen het patroon <<x_i><<x>_i>> genereert (dat als een conjunctie van OR-atomen kan gezien worden). Wanneer we nu dezelfde twee gevallen onderscheiden (namelijk (1) beide aspecten realiseren een z, en (2) een z kan vrij gekozen worden met beide aspecten), dan gebeuren de vervangingen binnen de buitenste haken van <<x_i><<x>_i>> en dus is het resultaat de inbedding van de resultaten in het eerste geval en dus zijn dit de conjuncties <<z><x_i><<x>_i>> versus <z<x_i><<x>_i>>. We komen dus tot dezelfde conclusie: <z> is invariant ten opzichte van de disjunctie voor de intensiteit gegeven door het getal i in <<x_i><<x>_i>> in het eerste geval en z is invariant ten opzichte van de disjunctie voor de intensiteit gegeven door het getal i in <<x_i><<x>_i>> in het tweede geval.

Gevolg en interpretatie

We nemen als voorbeeld de invariantie ten opzichte van de conjunctie.

Als het eerste geval ervaren is (we kiezen voor het eerste geval), dan geldt dat, als z niet verschillend is van <> (het aspect dat we kiezen) dat dan <x_i•x_j> voor alle i en j moet gelden. In het tweede geval geldt dat, als z niet verschillend is van <<>> (het aspect dat we laten gebeuren) dat dan <x_i•x_j> voor alle i en j moet gelden. Dit betekent dus dat de enige waarden die het haakformalisme kent een telbare intensiteit kunnen hebben. De waarden van het haakformalisme zijn dus een onvermijdelijke entiteit (namelijk <>) en een onmogelijke entiteit (namelijk <<>>) en het is dus mogelijk dat deze een intensiteit hebben. Wat is die intensiteit dan? We hebben de intensiteit als (<x_i>⊗<<x>_i>)_ℵ geschreven en in dit geval is dat niet anders dan <<>> of (<<>>⊗<<>>)_ℵ of <> of (<>⊗<>)_ℵ. Het aantal bits in het bitmodel wordt dan gegeven door 2^ℵ. Hierin is ℵ een geheel getal.

Merk op dat <<>> en <x_i•x_j> elkaar altijd uitsluiten. Dus <<>><x_i•x_j> is niet verschillend van <<>>•<x_i•x_j>. Concreet betekent dit dus dat we een notatie kunnen introduceren zoals α die staat voor <<>>α, waarbij α het getal is in <x_α ><<x>_α>. Aangezien elke haakuitdrukking niet verschillend is van de haakuitdrukking nevengeschikt met <<>> heeft de volgende notatie ook een zin: αz, die staat voor “de soort (of entiteit) z met intensiteit α” en dus voor de welgevormde haakuitdrukking <x_i><<x>_i> voor i van 1 tot α die simultaan z realiseert, dus voor de nevenschikking <<x₁x₂x₃...x_α ><<x>₁<x>₂<x>₃>...<x>_α>z. De “scalaire vermenigvuldiging” 3z is dus de nevenschikking (disjunctie) van (de inbedding van) een intensiteit (namelijk het getal 3) met een entiteit (namelijk z) die een inherente structuur heeft die niet gekend is of hoeft te zijn. Het is op die manier dat we het scalair product in het haakformalisme definiëren. Deze definitie is afhankelijk van de operator disjunctie of conjunctie die hier dezelfde rol spelen en start van een centraal niveau om de intensiteit te laten toenemen, en gaat terug naar het centraal niveau als de intensiteit afneemt.

Zoals we aantoonden bij de binaire invariantie is dat als patroon minimaal niet anders dan de nevenschikking van α onderscheidingen, of een aantal gemeenschappelijke bits van 2^α -2¹ bits (zonder dat het karakter van die bits zou gekend moeten zijn). Het minimale is dan een 1-splitsing. Het getal α kan dan bijvoorbeeld de intensiteit zijn van <x_α>, het getal 1/α kan dan voor de intensiteit staan van <<x>_α> (of vice versa), en staat dan voor 2^α -2¹+1 identieke bits waarvan er 2^α -2¹ op een gemeenschappelijke plaats staan. Vanuit het voorbeeld dat daar gegeven is met drie onderscheidingen is dit gemakkelijk in te zien:

Schrijven we nu anders als:

Maar natuurlijk kan ook:

Deze laatste voorstelling van de tralie maakt duidelijk dat we alles, wat we kunnen uitdrukken door de hypothese αz, ook kunnen uitdrukken door de hypothese α^-1z, maar we moeten wel een beslissing nemen voor elk concreet geval. De keuzevrijheid (disjunctie) αα^-1 is niet verschillend van het product (de exclusieve disjunctie) α•α^-1.

Dus in het algemeen geeft het scalair product αz (met α een getal en z een haakuitdrukking) aan dat het universum waarin z invariant is gegeven wordt door 2^α bits. Dit is niet anders dan het maximaal aantal elkaar uitsluitende atomen in een universum dat los staat van het universum van z.

De interpretatie van invariantie in het binair model is dat er gemeenschappelijke bits zijn die de hele structuur infecteren. Zowel de intensiteit van een structuur kan invariant zijn, maar de intensiteit kan ook de variante zijn in de tijd (met één laatst toegevoegde onderscheiding en dus een één dimensionale structuur zoals in het bovenstaande voorbeeld).

Dit betekent dat het onvermijdelijk is dat het universum waarin de waarde functioneert een bepaalde grootte zal hebben die misschien niet a priori kan gekend worden wat met behulp van de invariantie in het binair model van het haakformalisme goed geïllustreerd wordt. Maar uiteraard is dat dan niet beperkt tot de intensiteit van de waarden in het haakformalisme, en er kan dus aan elke welgevormde haakuitdrukking een intensiteit toegewezen worden, die de welgevormde haakuitdrukking “interpreteert” in een groter universum, gegeven door de intensiteit van die welgevormde haakuitdrukking. De kwantificering is onvermijdelijk verbonden met een 1-splitsing en dit is ook te modelleren met het splitsingsmodel van het haakformalisme waarbij we logische constructies met naamstrings uitgevoerd hebben. Inderdaad zullen we «p» kunnen uitdrukken door (p⊗p)₁, en «p,p» door (p⊗p)₂, en «p,p,p,p» door (p⊗p)₄ enz... dus veronderstel nu p niet verschillend van <<>>, dan zullen we de grootte van het universum waarin de waarde <<>> functioneert door een getal kunnen uitdrukken: het aantal bits dat we nodig hebben om dat universum op te spannen, en dus eveneens het maximaal aantal elkaar uitsluitende toestanden dat in dat universum mogelijk is.