Elke welgevormde haakuitdrukking H kan als een creatief product op twee manieren uitgedrukt worden die aan elkaar gerelateerd zijn en die we de duale basissen genoemd hebben.
H=<r•q>•(<>⊕p•q)⊕s•q•(<>⊕<p•q>) en hierbij zijn (<>⊕p•q) en (<>⊕<p•q>) orthogonale en idempotente basisvectoren, dus projectoren. Daarom hebben we ook <r•q> en s•q de naam “coëfficiënten” gegeven omdat ze zich als getallen gedragen ten opzichte van de vectorsom en het vectorproduct.
H=<r•q>•(<>⊕r•s)⊕r•p•(<>⊕<r•s>). Hierbij zijn (<>⊕r•s) en (<>⊕<r•s>) eveneens orthogonale en idempotente basisvectoren, dus projectoren. Daarom geven we ook aan <r•q> en r•p de naam coëfficiënten.
De relaties tussen beide tweedimensionale basissen kunnen ook nog op een andere manier onderzocht worden. We kunnen immers een transformatie van basissen onderzoeken in functie van de coëfficiënten die zich gedragen als getallen. We zullen dat zo algemeen mogelijk doen en onderscheiden daartoe twee welgevormde haakvectoren, S en T. We beschouwen ze als uitgedrukt in dezelfde basis van orthogonale basisvectoren met onderliggende, maar dan onbekende onderscheidingen. We noemen de projectoren in deze basis e1 en e2. Het is dus onvermijdelijk dat S en T als welgevormde haakuitdrukkingen coëfficiënten hebben op deze basisprojectoren. We kunnen dan S en T als onafhankelijk veronderstellen wanneer met geen enkele coëfficiënt een e1 in een e2 zal getransformeerd worden en de coëfficiënten van e1 en e2 verschillend zijn en verschillen van de al-nul vector. Verder zijn e1 en e2 ongekend. Dat we ook transparant kunnen redeneren in ongekende universa wordt hier uit de doeken gedaan.
Stel S=s1•e1⊕s2•e2
Stel T=t1•e1⊕t2•e2
Merk op dat we hier superindexen gebruiken en geen machten, en subindexen. De reden hiervoor is dat we een relatief onderscheid willen maken tussen de duale basissen.
S wordt gegeven door het koppel coëfficiënten (s1, s2) in de basis [e1, e2]
T wordt gegeven door het koppel coëfficiënten (t1, t2) in de basis [e1, e2]
S en T zijn welgevormde haakuitdrukkingen die niet gelijk zijn aan elkaar of evenmin elkaars inbedding zijn. We veronderstellen dus dat we met de welgevormde haakuitdrukkingen S en T terug een basis kunnen maken, dat betekent dat we nu veronderstellen dat we een A kunnen construeren die gegeven wordt door het koppel (a1, a2) in de basis [S, T].
A=a1•S⊕a2•T
A=a1•(s1•e1⊕s2•e2)⊕a2•(t1•e1⊕t2•e2)
A=(a1•s1⊕a2•t1)•e1⊕(a1•s2⊕a2•t2)•e2
A is dus het koppel ((a1•s1⊕a2•t1), (a1•s2⊕a2•t2)) in de gemeenschappelijke maar a priori ongekende basis [e1, e2].
De elementen van het koppel ((a1•s1⊕a2•t1), (a1•s2⊕a2•t2)) worden de contravariante coëfficiënten van A genoemd, en de ongekende basis [e1, e2] wordt de contravariante basis genoemd, vandaar dat we ook de superscript indexen gebruikt hebben om de coëfficiënten aan te geven (zoals dat conventioneel gedaan wordt) en subscript indexen voor de de elementen van de contravariante basis.
De som van component-gewijze producten met S, dus met (s1, s2), is b1=((a1•s1⊕a2•t1), (a1•s2⊕a2•t2))(s1, s2)=s1•(a1•s1⊕a2•t1)⊕s2•(a1•s2⊕a2•t2)
De som van component-gewijze producten met T, dus met (t1, t2), is b2=((a1•s1⊕a2•t1), (a1•s2⊕a2•t2))(t1, t2)=t1•(a1•s1⊕a2•t1)⊕t2•(a1•s2⊕a2•t2)
De som van component-gewijze producten is gegrond door de onderzoeken in het 1-splitsing universum, waar we aantonen dat dit overeenkomt met het creatief product. Immers het creatief product (s⊗t)a=(<s>⊕<t>)•<<>>⊕(<s>⊕t)•a wordt uitgedrukt door de matrix vermenigvuldiging van de rijvector {(<s>⊕<t>), (<s>⊕t)} met de kolomvector {<<>>, a}T.
Zowel b1 als b2 zijn dus coëfficiënten omdat ze enkel met coëfficiënten en hun bewerkingen opgebouwd zijn. We geven ze een subscript notatie omdat we ze zullen beschouwen als coëfficiënten van een B die op een unieke wijze met A verbonden is en waarvoor we een basis moeten zoeken die even a priori onbekend is als de basis [e1, e2]. We geven deze basis dan de symbolen [e1, e2] en noemen die dan de covariante basis. De coëfficiënten b1 als b2 worden dan de covariante coëfficiënten genoemd.
B={s1•(a1•s1⊕a2•t1)⊕s2•(a1•s2⊕a2•t2)}•e1⊕{t1•(a1•s1⊕a2•t1)⊕t2•(a1•s2⊕a2•t2)}• e2
Waarom contravariant versus covariant? We kunnen dit demonstreren door te berekenen wat er gebeurt wanneer we A uitdrukken in de basis [c•S, c•T], met c een coëfficiënt, een “schaalfactor”. We noemen deze nieuwe basis [S', T'], en we veronderstellen dat er een coëfficiënt c' kan gecreëerd worden met c•c'=<<>>. Noteer dat hiermee een waarde binnengebracht wordt die uitdrukt dat c en c' dezelfde waarde hebben die verder niet gekend is. Enkel wanneer een bijkomende voorwaarde gesteld wordt dat c en c' getallen zijn, en dus vanuit scalaire functies kunnen afgeleid worden en <<>> als +1 geïnterpreteerd wordt, is het zinvol te stellen dat ze elkaars reciproque zijn (wat hun klassieke interpretatie is).
Deze verandering van basis verandert enkel de basisprojectoren en niet A, dus er moet gelden dat
A=a1•c'•S'⊕a2•c'•T' en A is dus het koppel (a1•c', a2•c') in de basis [S', T']. Dus in de basis [S', T'] worden de (contravariante) coëfficiënten vermenigvuldigd met c' (vandaar “contra”-variant omdat ze elkaars reciproque zijn (wat hun klassieke interpretatie is) als er geldt dat c•c'=<<>> en c' een van die coëfficiënten is).
Wanneer we A uitdrukken in de onderliggende basis vinden we:
A=a1•c'•(c•s1•e1⊕c•s2•e2)⊕a2•c'•(c•t1•e1⊕c•t2•e2)
A=(a1•s1⊕a2•t1)•e1⊕(a1•s2⊕a2•t2)•e2
A is dus het koppel ((a1•s1⊕a2•t1), (a1•s2⊕a2•t2)) in de gemeenschappelijke maar ongekende basis [e1, e2] en is inderdaad dus niet gewijzigd.
De som van component-gewijze producten met c•S of (c•s1, c•s2) is b1=((a1•s1⊕a2•t1), (a1•s2⊕a2•t2))(c•s1, c•s2)=c•{s1•(a1•s1⊕a2•t1)⊕s2•(a1•s2⊕a2•t2)}
De som van component-gewijze producten met c•T of (c•t1, c•t2) is b2=((a1•s1⊕a2•t1), (a1•s2⊕a2•t2))(c•t1, c•t2)=c•{t1•(a1•s1⊕a2•t1)⊕t2•(a1•s2⊕a2•t2)}
Dus in de basis [e1, e2] worden de (covariante) coëfficiënten vermenigvuldigd met c (vandaar “co”-variant omdat ze elkaars reciproque zijn (wat hun klassieke interpretatie is) als er geldt dat c•c'=<<>> en c de andere van die coëfficiënten is).
Hiermee hebben we aangetoond dat, om te kunnen spreken van een covariante en contravariante basis het nodig en voldoende is dat de waarde van twee welgevormde haakuitdrukkingen dezelfde is zonder dat die waarde gekend moet zijn.
QED
Een willekeurige H is een welgevormde haakuitdrukking die als een 1-splitsing uitgedrukt kan worden en die bij evaluatie collapst naar een punt uit een tralie, de tralie opgespannen door een van de componenten van de 1-splitsing. Deze component heeft zelf een karakter dat als een klassieke projector kan beschreven worden of kan met een projector gerelateerd worden. In het haakformalisme is de interpretatie van een collaps duidelijk: er is bij de collaps geen verschil tussen een punt en <> (of <<>>), de grens van de waarnemingsresolutie, vandaar dat dat punt waargenomen wordt.
In de klassieke tensoralgebra noemt men H in zijn twee duale vormen een “vector” versus een “lineaire functionaal” (one-form, duale vector, co-vector). De twee vormen voor hetzelfde “object” H zijn lineaire functies van elkaar. De projectoren die dit mogelijk maken worden in het haakformalisme gerepresenteerd door gecollapste tralies.
Hieruit volgt dat de identiteitstensor in het haakformalisme als volgt gemodelleerd wordt:
<<>>•(<>⊕H)⊕<<>>•(<>⊕<H>)=(<>⊕<>)•(<>⊕H)⊕(<>⊕<>)•(<>⊕<H>)=<<>> voor een willekeurige H.
(<>⊕H) en (<>⊕<H>) zijn dan eenheidstensoren, dus met het concrete voorbeeld van een welgevormde haakuitdrukking (tensor) <r•q>•(<>⊕p•q)⊕s•q•(<>⊕<p•q>) met twee coëfficiënten (<r•q>, s•q) zijn de eenheidstensoren (<>⊕p•q) en (<>⊕<p•q>).