Elke welgevormde haakuitdrukking kan als een creatief product op de volgende manier uitgedrukt worden als een som van vectorproducten: H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>.
H hebben we op twaalf manieren als een som van orthogonale projecties uitgedrukt. De centrale rol hierin wordt gespeeld door drie even producten: p•q, r•s en p•q•r•s.
We merken nu op dat we H op twee manieren kunnen schrijven in een orthogonale basis die niet meer gevormd wordt door projectoren:
s•(<p>⊕<q>)⊕r•(q⊕<p>) en p•(<s>⊕<r>)⊕q•(r⊕<s>)
In de basis [<p>⊕<q>, <p>⊕q] is H dus gegeven door de componenten (s, r)
We herschrijven H nu als H=r•q⊕<s•q>⊕<s•p>⊕<r•p>=
In de basis [<r>⊕<s>, r⊕<s>] zijn dat dus de componenten (p, q).
Beide basissen zullen we elkaars duaal noemen. De twee basissen voor H die door dualiteit met elkaar verbonden zijn, zijn dus [p⊕q, p⊕<q>] en [<s>⊕<r>, <s>⊕r]. Kiest men een van beide dan is de andere volledig bepaald.
Dit is het gemakkelijkst te volgen met de binaire voorstelling. We nemen twee welgevormde atomen van een twee onderscheidingen universum en drukken het binair uit in een drie onderscheidingen universum
p=<>⊕a⊕b⊕a•b ∼ 01110111
q=<>⊕<a>⊕b⊕<a•b> ∼ 10111011
p⊕q=<<>>⊕<b> ∼ xx00xx00
p⊕<q>=<a>⊕<a•b> ∼ 10xx10xx
We kiezen twee welgevormde punten uit het drie onderscheidingen universum als componenten (<s>, <r>)
<>⊕b⊕c•a⊕c•b•a ∼ 01111011 en <b•a>⊕b⊕<c>⊕<c•a> ∼ 10110001 som <s>⊕<r> ∼ xx00x1x0 som <s>⊕r ∼ 10xx0x0x
p•(<s>⊕<r>)∼01110111•xx00x1x0=xx00x1x0
q•(<s>⊕r)∼10111011•10xx0x0x=11xx0x0x
p•(<s>⊕<r>)⊕q•(<s>⊕r)∼11000100∼<>⊕<a>⊕c⊕<b•a>⊕b•c⊕c•a⊕c•b•a
en
<s>•(p⊕q)∼01111011•xx00xx00=xx00xx00
<r>•(p⊕<q>)∼10110001•10xx10xx=11xx01xx
<s>•(p⊕q)⊕<r>•(p⊕<q>)∼11000100∼<>⊕<a>⊕c⊕<b•a>⊕b•c⊕c•a⊕c•b•a
Hetzelfde punt wordt dus in de twee duale basissen uitgedrukt.
De rol van het derde even product, namelijk p•q•r•s, wordt als volgt duidelijk.
Het toegevoegd creatief product H* van H hebben we gedefinieerd door het afsplitsen van de enige 4-vector in de constructie:
H=r•q⊕<r•p>⊕<s•p>⊕<s•q>=p•q•r•s•(<s•q>⊕s•p⊕<r•q>⊕<r•p>)=p•q•r•s•H*
We merken op dat slechts een deel van de som ingebed wordt, wat duidelijk als volgt te merken is:
H=<s•q>⊕<r•p>⊕<s•p>⊕r•q=<<>>•(<s•q>⊕<r•p>)⊕<<>>•(<s•p>⊕r•q)
H*=<s•q>⊕<r•p>⊕s•p⊕<r•q>=<<>>•(<s•q>⊕<r•p>)⊕<>•(<s•p>⊕r•q)
H en H* zijn elkaars toegevoegde, twee vormen dus van het creatief product patroon.
In de basis [<p>⊕<q>, <p>⊕q] is H gegeven door de componenten (s, r)
In de duale basis [<r>⊕<s>, r⊕<s>] zijn dat de componenten (p, q).
In de basis [<p>⊕<q>, <p>⊕q] is H* gegeven door de “toegevoegde componenten” (r, <s>)
want H*=(r•(<q>⊕<p>)⊕<s>•(q⊕<p>))
In de duale basis [<r>⊕<s>, r⊕<s>] zijn dat de “toegevoegde componenten” (q, <p>).
want H*=(<p>•(r⊕<s>)⊕q•(<r>⊕<s>))
Maar we kunnen natuurlijk ook een “toegevoegde basis” definiëren:
In de “toegevoegde basis” [<p>⊕<q>, p⊕<q>] is H* gegeven door de componenten (r, s)
In de duale “toegevoegde basis” [<r>⊕<s>, <r>⊕s] zijn dat de componenten (q, p).