Alle welgevormde haakuitdrukkingen zijn als creatief product uit te drukken. Elke welgevormde haakuitdrukking genereert 15 onafhankelijke standpunten, maar kan door slechts vier goed gekozen standpunten geconstrueerd worden.

Een algemeen creatief product voor toevoeging van standpunten b en a aan een universum opgespannen door standpunten y en x wordt gegeven door (b•x⊗b•y)_b•a. In haakvector vorm is dit a•y⊕<b•x>⊕<b•y>⊕<a•x>.

We zullen nu drie tweedimensionale basissen construeren voor deze nieuwe welgevormde haakuitdrukking (b•x⊗b•y)_b•a. We bewijzen dit door het creatief product H op drie manieren als een som van twee producten van het orthogonale idempotente type (<>⊕h) versus (<>⊕<h>) uit te drukken. We doen dat op twee verschillende manieren.

Methode vanuit het toegevoegde standpunt

a•y⊕<b•x>⊕<b•y>⊕<a•x> kunnen we ook schrijven als (<a•x>⊕a•y)•<<>>⊕(<a•x>⊕<a•y>)•b•a

(<a•x>⊕a•y)•<<>>⊕(<a•x>⊕<a•y>)•b•a drukt uit dat in de orthogonale niet-idempotente basis [(<a•x>⊕a•y), (<a•x>⊕<a•y>)] de componenten van het creatief product gegeven worden door (<<>>, b•a). Dus (<a•x>⊕a•y)•<<>>⊕(<a•x>⊕<a•y>)•b•a kunnen we ook schrijven als <a•x>•<<>>⊕a•y•<<>>⊕<a•x>•b•a⊕<a•y>•b•a en dus ook als (<<>>⊕b•a)•<a•x>⊕(<<>>⊕<b•a>)•a•y waarmee we een tweede basis creëren. Dus in de orthogonale anderspotente basis [(<<>>⊕b•a), (<<>>⊕<b•a>)] zijn de componenten (<a•x>, a•y).

Hetzelfde creatief product a•y⊕<b•x>⊕<b•y>⊕<a•x> drukken we ook uit als volgt: (<b•x>⊕<b•y>)•<<>>⊕(<b•x>⊕b•y)•b•a. Dit drukt uit dat in de orthogonale niet-idempotente basis [(<b•x>⊕<b•y>), (<b•x>⊕b•y)] de componenten van het creatief product gegeven worden door (<<>>, b•a). Dus (<b•x>⊕<b•y>)•<<>>⊕(<b•x>⊕b•y)•b•a kunnen we ook schrijven als <b•x>•<<>>⊕<b•y>•<<>>⊕<b•x>•b•a⊕b•y•b•a en dus ook (<<>>⊕b•a)•<a•x>⊕(<<>>⊕<b•a>)•a•y waarmee we terug dezelfde tweede orthogonale anderspotente basis creëren met dezelfde componenten.

We hebben op het eerste zicht drie basissen [(<a•x>⊕a•y), (<a•x>⊕<a•y>)]; [(<b•x>⊕<b•y>), (<b•x>⊕b•y)] en [(<<>>⊕b•a), (<<>>⊕<b•a>)] die op een unieke manier met elkaar verbonden door het creatief product a•y⊕<b•x>⊕<b•y>⊕<a•x> of (b•x⊗b•y)_b•a. We merken nu op dat er slechts twee basissen onafhankelijk zijn van elkaar.

We construeren nu drie idempotente basissen als volgt:

En dus blijven er maar twee onafhankelijke basissen over:

Toch is nog een derde basis te construeren: a•y⊕<b•x>⊕<b•y>⊕<a•x> kunnen we ook, dank zij de symmetrie in <b•x>⊕<b•y> schrijven als (<a•x>⊕a•y)•<<>>⊕(<a•x>⊕<a•y>)•b•a•x•y en dus <a•x>•<<>>⊕a•y•<<>>⊕<a•x>•b•a•x•y⊕<a•y>•b•a•x•y en dus (<a•x>•<<>>⊕<a•x>•b•a•x•y)⊕(a•y•<<>>⊕a•y•<b•a•x•y>) en dus <a•x>•(<<>>⊕b•a•x•y)⊕a•y•(<<>>⊕<b•a•x•y>) en dus a•x•(<>⊕<b•a•x•y>)⊕<a•y>•(<>⊕b•a•x•y)

Er zijn dus drie onafhankelijke basissen:

Methode door afsplitsen van een duo-standpunt

In een algemeen patroon voor het creatief product H=q•r⊕<p•r>⊕<p•s>⊕<q•s> kunnen we ook een duo-standpunt afsplitsen.

H=<q•r>•(<>⊕p•q⊕r•s⊕p•q•r•s)

We beschouwen nu enkel de uitdrukking tussen de haken, namelijk (<>⊕p•q⊕r•s⊕p•q•r•s). We merken op dat deze uitdrukking van het type AND atoom van een twee onderscheidingen universum is. Dus:

<>⊕p•q⊕r•s⊕p•q•r•s=<<>>•(<>⊕p•q•r•s)⊕<p•q>•(<>⊕<p•q•r•s>)

We merken nu op dat dit ook in dezelfde basis kan geschreven worden met andere componenten als volgt:

<>⊕p•q⊕r•s⊕p•q•r•s=<<>>•(<>⊕p•q•r•s)⊕<r•s>•(<>⊕<p•q•r•s>)

en dus zijn er nog twee andere basissen voor diezelfde uitdrukking tussen haken: <<>>•(<>⊕p•q)⊕<p•q•r•s>•(<>⊕<p•q>) en <<>>•(<>⊕r•s)⊕<p•q•r•s>•(<>⊕<r•s>)

Dit betekent dat we H kunnen schrijven in drie orthogonale basissen door die uitdrukking tussen haken te vermenigvuldigen met <q•r>:

H=<q•r>•(<>⊕p•q•r•s)⊕p•r•(<>⊕<p•q•r•s>)

H=<q•r>•(<>⊕p•q)⊕p•s•(<>⊕<p•q>)

H=<q•r>•(<>⊕r•s)⊕p•s•(<>⊕<r•s>)

QED

Methode door constructie van projectoren

In H=q•r⊕<p•r>⊕<p•s>⊕<q•s> kunnen we sommen onderscheiden van twee vectorproducten. Dit is een gecollapste haakuitdrukking en kan op twee manieren geschreven worden als een projector (klassieke vector) met een coëfficiënt die gelijk is aan een van de vectorproducten. We kunnen hierbij drie types onderscheiden:

De eenheidsvectoren ontstaan uit een som van de componenten zonder gemeenschappelijke vector:

<r•p>⊕<s•q>=r•p•(<>⊕<p•q•r•s>)=s•q•(<>⊕<p•q•r•s>)

<s•p>⊕r•q=s•p•(<>⊕p•q•r•s)=<r•q•>(<>⊕p•q•r•s)

Zodanig dat

H=r•p•(<>⊕<p•q•r•s>)⊕s•p•(<>⊕p•q•r•s)

H=r•p•(<>⊕<p•q•r•s>)⊕<r•q>•(<>⊕p•q•r•s)

H=s•q•(<>⊕<p•q•r•s>)⊕s•p•(<>⊕p•q•r•s)

H=s•q•(<>⊕<p•q•r•s>)⊕<r•q>•(<>⊕p•q•r•s)

De eenheidsvectoren ontstaan uit een som van de componenten met gemeenschappelijke vector:

r•q⊕<r•p>=<r•q>•(<>⊕p•q)=r•p•(<>⊕p•q)

<s•p>⊕<s•q>=s•p•(<>⊕<p•q>)=s•q•(<>⊕<p•q>)

<s•p>⊕<r•p>=s•p•(<>⊕<r•s>)=r•p•(<>⊕<r•s>)

<s•q>⊕r•q=s•q•(<>⊕r•s)=r•q•(<>⊕r•s)

Zodanig dat

H=<r•q>•(<>⊕p•q)⊕s•p•(<>⊕<p•q>)

H=<r•q>•(<>⊕p•q)⊕s•q•(<>⊕<p•q>)

H=r•p•(<>⊕p•q)⊕s•p•(<>⊕<p•q>)

H=r•p•(<>⊕p•q)⊕s•q•(<>⊕<p•q>)

Maar ook zodanig dat

H=s•p•(<>⊕<r•s>)⊕s•q•(<>⊕r•s)

H=s•p•(<>⊕<r•s>)⊕r•q•(<>⊕r•s)

H=r•p•(<>⊕<r•s>)⊕s•q•(<>⊕r•s)

H=r•p•(<>⊕<r•s>)⊕r•q•(<>⊕r•s)

In totaal zijn er dus 12 mogelijkheden om eenzelfde welgevormde haakuitdrukking als som van orthogonale projectoren uit te drukken.

We merken terloops op dat in de drie groepen van vier uitdrukkingen het product van twee coëfficiënten van dezelfde projector ofwel gelijk is aan <<>>, ofwel gelijk aan de welgevormde haakuitdrukking op basis waarvan de projector is geconstrueerd.

Gevolg

Het product van twee projectoren, een uit elke tweedimensionale basis, genereert een nieuwe projector.

(<>⊕<p•q>)•(<>⊕<r•s>)=<<>>⊕r•s⊕p•q⊕p•q•r•s

(<>⊕<p•q>)•(<>⊕<p•q•r•s>)=<<>>⊕p•q•r•s⊕p•q⊕r•s

(<>⊕<r•s>)•(<>⊕<p•q•r•s>)=<<>>⊕p•q•r•s⊕r•s⊕p•q

Deze nieuwe projector is de projector van een atoom opgespannen door de onderscheidingen p•q en r•s, inderdaad: <<>>⊕r•s⊕p•q⊕p•q•r•s=(<>⊕(<>⊕r•s⊕p•q⊕p•q•r•s)) en dit is <>⊕a met a=<>⊕r•s⊕p•q⊕p•q•r•s.

Deze nieuwe projector gedraagt zich als een centraal punt voor de drie tweedimensionale basissen: het slorpt ze op.

(<<>>⊕r•s⊕p•q⊕p•q•r•s)•(<>⊕<p•q>)=<>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕<p•q•r•s>⊕<p•q>⊕<>⊕<p•q•r•s>⊕<r•s>=<<>>⊕r•s⊕p•q⊕p•q•r•s=<>⊕a

(<<>>⊕r•s⊕p•q⊕p•q•r•s)•(<>⊕<r•s>)=<>⊕<r•s>⊕<r•s>⊕<>⊕<p•q>⊕<p•q•r•s>⊕<p•q•r•s>⊕<p•q>=<<>>⊕r•s⊕p•q⊕p•q•r•s=<>⊕a

(<<>>⊕r•s⊕p•q⊕p•q•r•s)•(<>⊕<p•q•r•s>)=<>⊕<p•q•r•s>⊕<r•s>⊕<p•q>⊕<p•q>⊕<r•s>⊕<p•q•r•s>⊕<>=<<>>⊕r•s⊕p•q⊕p•q•r•s=<>⊕a

Dus in de veronderstelling dat a=<>⊕r•s⊕p•q⊕p•q•r•s=<<>> is het centraal punt de al-nul vector en zijn de drie gekozen projectoren uit de drie tweedimensionale basissen twee-aan-twee orthogonaal.

Gevolg

De sommering van een selectie van een uitdrukking van H uit elk van de drie groepen levert H⊕H⊕H op en dus de al-nul vector. Dit levert dus 4³ of 64 mogelijkheden. Dit betekent dat H op 4x64=256 manieren kan voorgesteld worden in tweedimensionale orthogonale basissen.

Gevolg

De drie basissen als index voor een productnotering van a•y⊕<b•x>⊕<b•y>⊕<a•x> zijn als volgt met elkaar gerelateerd door de niet-commutativiteit van het product:

Merk op dat a•y niet voorkomt in de termen van het product, enkel in de index. Dit is een gevolg van de unieke positie die a•y in dit creatief product inneemt als som van vier termen waarvan drie dezelfde karakteristiek hebben. Dit wijst er op dat er een natuurlijk “eerste standpunt” kan gedefinieerd worden: a in het universum opgespannen door a en b en y in het universum opgespannen door x en y.

Gevolg

Door nevenschikking van vier standpunten (namelijk <>, b•a, x•y en b•a•x•y) kunnen vier bijkomende basissen gecreëerd worden: [(<<>>⊕b•a⊕<x•y>⊕<b•a•x•y>), (<b•a>⊕x•y⊕b•a•x•y]; [(<<>>⊕b•a⊕x•y⊕b•a•x•y), (<b•a>⊕<x•y>⊕<b•a•x•y>)]; [(<<>>⊕<b•a>⊕<x•y>⊕b•a•x•y), (b•a⊕x•y⊕<b•a•x•y>)]; [(<<>>⊕<b•a>⊕x•y⊕<b•a•x•y>), (b•a⊕<x•y>⊕b•a•x•y)]. Hiermee wordt het lokaal universum volledig opgespannen.

Patroon wordt duidelijker door substituties

We vertrekken bijvoorbeeld van (b•x⊗b•y)_b•a ∼ a•y⊕<b•x>⊕<b•y>⊕<a•x> en substitueren zodanig dat elke term uit de oorspronkelijke som nu als toegevoegde onderscheiding functioneert:

b vervangen door y en y vervangen door b

(y•x⊗y•b)_y•a ∼ a•b⊕<y•x>⊕<y•b>⊕<a•x>

a vervangen door x en x vervangen door a

(b•a⊗b•y)_b•x ∼ x•y⊕<b•a>⊕<b•y>⊕<x•a>

y vervangen door a en a vervangen door y

(b•x⊗b•a)_b•y ∼ y•a⊕<b•x>⊕<b•a>⊕<y•x>

x vervangen door b en b vervangen door x

(x•b⊗x•y)_x•a ∼ a•y⊕<x•b>⊕<x•y>⊕<a•b>

Voorbeelden

Atoom in twee onderscheidingen

We gebruiken als voorbeeld een AND atoom in een twee onderscheidingen universum: <>⊕a⊕b⊕b•a

Als creatief product heeft dit het formaat H=<s•q>⊕<r•p>⊕r•q⊕<s•p>, inderdaad met de vertaling r∼a q∼<a>, p∼<b>, s∼<<>> wordt dit <<<>>•<a>>⊕<a•<b>>⊕a•<a>⊕<<<>>•<b>>∼<>⊕a⊕b⊕b•a.

We nemen nu de volgende basis van dat creatief product:

H=<<>>•(<>⊕b•a)⊕<a>•(<>⊕<b•a>)

We merken nu op dat dit ook in dezelfde basis kan geschreven worden met andere componenten als volgt:

H=<<>>•(<>⊕b•a)⊕<b>•(<>⊕<b•a>)

en dus ook: H=<<>>•(<>⊕a)⊕<a•b>•(<>⊕<a>) en H=<<>>•(<>⊕b)⊕<a•b>•(<>⊕<b>)

Besluit:

H=<>⊕a⊕b⊕b•a kan uitgedrukt worden in de drie onafhankelijke orthogonale en idempotente basissen

[(<>⊕b•a), (<>⊕<b•a>)]

[(<>⊕a), (<>⊕<a>)]

[(<>⊕b), (<>⊕<b>)]

Dit is uiteraard een eigenschap van alle atomen van het twee onderscheidingen universum.

Atoom in drie onderscheidingen

We nemen H=<a>⊕<b>⊕<c>⊕<b•a>⊕<b•c>⊕<c•a>⊕<c•b•a>

We kunnen nu een willekeurige factor als vermenigvuldigscomponent beschouwen

a•(<>⊕<a•b>⊕<a•c>⊕<b>⊕<a•b•c>⊕<c>⊕<c•b>).

We herschikken

a•(<>⊕<b>⊕<a•b>⊕<c>⊕<a•c>⊕<c•b>⊕<a•b•c>)

We merken op dat

(<b>⊕<a•b>)•(<c>⊕<a•c>)=c•b⊕a•b•c⊕a•b•c⊕c•b=<c•b>⊕<a•b•c>

We nemen nu de volgende basis voor tussen de haken

<<>>•(<>⊕<c•b>⊕<a•b•c>)⊕(b⊕a•b)•(<>⊕c•b⊕a•b•c) (noteer: dit is niet verschillend van <<>>•(<>⊕<c•b>⊕<a•b•c>)⊕(c⊕a•c)•(<>⊕c•b⊕a•b•c)

<<>>•(<>⊕<b>⊕<a•b>)⊕((b⊕a•b)•(<c>⊕<a•c>))•(<>⊕b⊕a•b)

<<>>•(<>⊕<c>⊕<a•c>)⊕((b⊕a•b)•(<c>⊕<a•c>))•(<>⊕c⊕a•c)

Zodanig dat

H=a•{(<>⊕<c•b>⊕<a•b•c>)⊕(b⊕a•b)•(<>⊕c•b⊕a•b•c)}

H=a•{(<>⊕<b>⊕<a•b>)⊕(b⊕a•b)•(<c>⊕<a•c>)•(<>⊕b⊕a•b)}

H=a•{(<>⊕<c>⊕<a•c>)⊕(b⊕a•b)•(<c>⊕<a•c>)•(<>⊕c⊕a•c)}

Atoomburen in drie onderscheidingen

De 28 atoomburen van het drie onderscheidingen universum zijn op te splitsen in drie groepen:

Dubbel vectorproduct

Deze zijn allemaal afbeeldbaar op atomen van het twee onderscheidingen universum.

Hoogste product <b•a>: 4 welgevormde haakuitdrukkingen

Hoogste product <c•a>: 4 welgevormde haakuitdrukkingen

Hoogste product <b•c>: 4 welgevormde haakuitdrukkingen

Besluit: deze zijn allemaal in drie basissen uit te drukken.

Drie dubbelproducten: <b•a>, <c•a>, <c•b>

Hier zijn er vier van

We bewijzen nu dat dit patroon leidt tot drie basissen.

Het patroon is te schrijven in het formaat van het creatief product <s•q>⊕<r•p>⊕r•q⊕<s•p> met de beide basissen H=<r•q>•(<>⊕p•q)⊕s•q•(<>⊕<p•q>) en ook: H=<r•q>•(<>⊕r•s)⊕r•p•(<>⊕<r•s>) als volgt voor het voorbeeld <>⊕b•a⊕c•a⊕c•b: r∼a q∼<a>, p∼<b>, s∼c.

H=<a•<a>>•(<>⊕<b>•<a>)⊕c•<a>•(<>⊕<<b>•<a>>) en duaal: H=<a•<a>>•(<>⊕a•c)⊕a•<b>•(<>⊕<a•c>).

Dus:

H=<<>>•(<>⊕b•a)⊕<c•a>•(<>⊕<b•a>)

H=<<>>•(<>⊕c•a)⊕<b•a>•(<>⊕<c•a>) en dit toont symmetrie dus ook

H=<<>>•(<>⊕c•b)⊕<c•a>•(<>⊕<c•b>)

Dit zijn dus de drie basissen, QED.

Uniek hoogste vectorproduct c•b•a

Met a: 4 welgevormde haakuitdrukkingen

Met b: 4 welgevormde haakuitdrukkingen

Met c: 4 welgevormde haakuitdrukkingen

We bewijzen nu dat ook dit patroon leidt tot drie basissen.

Het patroon is te schrijven in het formaat van het creatief product <s•q>⊕<r•p>⊕r•q⊕<s•p> met de beide basissen H=<r•q>•(<>⊕p•q)⊕s•q•(<>⊕<p•q>) en ook: H=<r•q>•(<>⊕r•s)⊕r•p•(<>⊕<r•s>) als volgt voor het voorbeeld <>⊕c⊕b•a⊕c•b•a met r∼a q∼<a>, p∼<b>, s∼c•a

<c•a•<a>>⊕<a•<b>>⊕a•<a>⊕<c•a•<b>> en dit is <>⊕c⊕b•a⊕c•b•a

H=<<>>•(<>⊕b•a)⊕c•(<>⊕<b•a>)

H=<<>>•(<>⊕c)⊕<a•b>•(<>⊕<c>)

H=<<>>•(<>⊕c•b•a)⊕<c>•(<>⊕<c•b•a>)

QED