De actie van projecteren hebben we gedefinieerd als het vectorproduct met een gecollapste haakuitdrukking. Hieruit zullen we nu afleiden wat een projector kan genoemd worden. Conventioneel moet een projector P de identiteitstransformatie zijn voor zijn ruimte en dus idempotent zijn. Idempotentie is gedefiniëerd door de eis dat P2 niet kan onderscheiden worden van P.
Voor willekeurige welgevormde haakuitdrukkingen p en q zijn de punten (p⊕q) en (p⊕<q>) punten van orthogonaal complementaire ruimten. Ze kunnen echter niet als orthogonale projector voor hun ruimte beschouwd worden aangezien ze niet idempotent zijn.
Inderdaad, nemen we als voorbeeld (p⊕q): (p⊕q) agerend op (p⊕q), dus (p⊕q)•(p⊕q) geeft niet (p⊕q) als resultaat. Dit is gemakkelijk te berekenen met de vermenigvuldigsgrit:
• |
p |
q |
p |
<<>> |
p•q |
q |
p•q |
<<>> |
Het resultaat is (<>⊕<p•q>).
Maar het resultaat (<>⊕<p•q>) is wel een projector. Berekenen we immers (<>⊕<p•q>)•(<>⊕<p•q>):
• |
<> |
<p•q> |
<> |
<<>> |
p•q |
<p•q> |
p•q |
<<>> |
Het resultaat is (<>⊕<p•q>).
In totaal zijn er vier projectoren te vinden op basis van p en q:
<>⊕<p•q>
<>⊕p•q
<<>>⊕<p•q>
<<>>⊕p•q
(<>⊕<p•q>) en (<>⊕p•q) zijn idempotente projectoren. (<<>>⊕<p•q>) en (<<>>⊕p•q) zijn anderspotente projectoren. We definiëren anderspotentie als de inbedding van idempotentie. Anderspotentie is dus gedefinieerd door de eis dat P•P niet kan onderscheiden worden van <P>. We kunnen ook noteren dat voor idempotentie geldt dat P•P=<<>>•P en dat voor anderspotentie geldt dat P•P=<>•P.
De punten waarbij enkel één van de termen van de projector elkaars inbedding zijn, zijn orthogonaal.
Bijvoorbeeld:
De punten (<<>>⊕p•q) en (<<>>⊕<p•q>) zijn orthogonaal. Inderdaad (<<>>⊕p•q)•(<<>>⊕<p•q>) is de al-nul vector, wat in de onderstaande vermenigvuldigingsgrit duidelijk wordt:
• |
<<>> |
<p•q> |
<<>> |
<<>> |
<p•q> |
p•q |
p•q |
<> |
Het resultaat is de al-nul vector.
De projectoren zijn met behulp van (p⊕q) en (p⊕<q>) op de volgende manier te construeren:
(p⊕q)•p=(p⊕q)•q=<<>>⊕p•q
(p⊕<q>)•p=<(p⊕<q>)•q>=<<>>⊕<p•q>
enz...
Elk punt van een tralie kan op verschillende manieren geschreven worden als een vectorproduct. Elk vectorproduct genereert dan een ander orthogonaal lokaal projector stelsel.
De vectorvermenigvuldiging van een willekeurige welgevormde haakuitdrukking H met een willekeurige (idempotente) projector zal resulteren in een punt in de ruimte van de projector (“zal H projecteren in de ruimte van de projector”, H zal in de ruimte van de projector “collapsen”).
De extrema van een ruimte kunnen niet onderscheiden worden van respectievelijk het ervaren en het gebeuren. In de twee orthogonale ruimten rond elk punt zijn dus vier extrema te onderscheiden in twee dimensies (elke dimensie heeft twee zinnen). In het algemeen kunnen we ze noteren als:
<>⊕<H>
<>⊕H
<<>>⊕<H>
<<>>⊕H
Hierin is H een willekeurige welgevormde, dus niet gecollapste haakvector.
In de modulo3 bitstring van (<>⊕p•q) zijn enkel don't cares en + te vinden. Dus (<>⊕p•q) kan niet onderscheiden worden van het gebeuren zelf en dus ook (<<>>⊕<p•q>) kan niet onderscheiden worden van het ervaren zelf. Dus (<>⊕p•q) is een projector en (<<>>⊕<p•q>) is een ingebedde projector, (<>⊕p•q) is idempotent en (<<>>⊕<p•q>) is anderspotent.
In het algemeen: (<<>>⊕p•q) geeft enkel de min-signatuur in de ene ruimte, (<<>>⊕<p•q>) geeft enkel de min-signatuur in de andere ruimte, (<>⊕p•q) geeft enkel de plus-signatuur in de ene ruimte, (<>⊕<p•q>) geeft enkel de plus-signatuur in de andere ruimte.
In signatuur bitstring is gemakkelijk te zien dat de projector de identiteitstransformatie is voor zijn ruimte. Bijvoorbeeld met een willekeurig punt uit de ruimte opgespannen door (x+x+++++): (x-x-++++)•(x+x+++++)=(x-x-++++).
Elke welgevormde haakuitdrukking is dan ook te schrijven als een som van de hoogbits en de laagbits, de som van een idempotente projector en een anderspotente projector. Neem bijvoorbeeld a in twee onderscheidingen a=(<<>>⊕<a>)⊕(<>⊕<a>) of dus (+-+-)=(x-x-)⊕(+x+x). Hierbij is (<<>>⊕<a>) een anderspotente projector en (<>⊕<a>) een idempotente projector.
De transformatie van de twee orthogonale projectoren (<>⊕h) en (<>⊕<h>) met elkaar geeft de al-nul vector X. We zullen nu aantonen dat de conjunctie van de twee orthogonale projectoren niet kan onderscheiden worden van <<>>, dus beide sluiten elkaar uit.
Bewijs:
In het algemeen wordt de conjunctie van a en b gegeven door <>⊕<a>⊕<b>⊕a•b.
Wanneer we a vervangen door de ene projector en b door de orthogonale projector dan wordt de som
<>⊕(<<>>⊕<h>)⊕(<<>>⊕h)⊕X
Dit is niet te onderscheiden is van <<>>.
QED
Gevolg: de nevenschikking van twee orthogonale projectoren geeft de al-nul vector. Inderdaad, in het algemeen wordt de nevenschikking van a en b gegeven door <<>>⊕<a>⊕<b>⊕<a•b> en door vervanging met de projectoren wordt <<>>⊕(<<>>⊕<h>)⊕(<<>>⊕h) bekomen die niet verschilt van de al-nul vector. Hier zien we terug dat XOR en OR niet verschillend zijn van elkaar.
Het creatief kwadraat is onafhankelijk van de toegevoegde onderscheiding en voldoet aan de eis dat P2=P, dus is het creatief kwadraat idempotent en dus is het creatief kwadraat een projector.
Dit kunnen we bewijzen door aan te tonen dat het kwadraat van de operatie gelijk is aan de eenheidsoperator.
Bewijs:
Neem een willekeurige welgevormde haakuitdrukking h.
Vorm nu (<>⊕h) en (<>⊕<h>).
Noem nu (<>⊕h)=P en (<>⊕<h>)=P', beide zijn dus projectoren.
Merk nu op dat de conjunctie van beide gelijk is aan <>⊕<P>⊕<P'>⊕X=<<>>, dus beide zijn orthogonale projectoren.
Dus er geldt:
<>⊕<P>⊕<P'>=<<>>
<>⊕<P>=<<>>⊕P'
<P>=<<>>⊕<<>>⊕P'
<P>=<>⊕P'
P=<<>>⊕<P'> en uiteraard dus ook P'=<<>>⊕<P>
Definieer nu de operatie O(P) als <<>>⊕<P>
Voor die operatie nog eens uit, dus O(O(P))=<<>>⊕(<>⊕P)
Bereken het resultaat: P
Dus O2(P)=P
Hetzelfde geldt voor P'
QED
Orthogonaliseren voor het creatief product definiëren we als één component van elk standpunt inbedden en dus twee componenten van de som inbedden.
Bijvoorbeeld: <s•p>⊕<s•q>⊕<r•p>⊕r•q=(<r•p>⊕<s•q>)•<<>>⊕(<r•p>⊕s•q)•s•r=(<r•p>⊕<s•q>)•<<>>⊕(r•p⊕<s•q>)•p•q∼(r•p⊗s•q)s•r=(r•p⊗s•q)<p•q> genereert bij s en q inbedden de orthogonaal is: s•p⊕<s•q>⊕<r•p>⊕<r•q>=(<r•p>⊕<s•q>)•<<>>⊕(<r•p>⊕s•q)•<s•r>=(<r•p>⊕<s•q>)•<<>>⊕(r•p⊕<s•q>)•<p•q>∼(r•p⊗s•q)<s•r>=(s•q⊗r•p)s•r=(r•p⊗s•q)p•q en bij s en p inbedden de orthogonaal die daar de inbedding van is: <s•p>⊕s•q⊕r•p⊕r•q=(r•p⊕s•q)•<<>>⊕(<r•p>⊕s•q)•s•r=(r•p⊕s•q)•<<>>⊕(r•p⊕<s•q>)•p•q∼(<s•q>⊗<r•p>)s•r=(<r•p>⊗<s•q>)p•q
De operatie die de ene in de andere omzet is commuteren voor de ene en commuteren en inbedden voor de andere, beide operaties zijn involuties. Deze operatie is het vectorproduct met de 4-vector r•s•p•q. Om deze operatie als een creatief product te construeren noteren we dat (x⊗<x>)y∼<x<y>><<x>y>∼x•y en dus geldt bijvoorbeeld (r•s⊗<r•s>)p•q∼<r•s<p•q>><<r•s>p•q>∼r•s•p•q
Een gecollapste haakuitdrukking heeft een richting die gevisualiseerd kan worden doordat de bitstring afbeelding zowel positieve als negatieve posities heeft. Neemt men nu het kwadraat van die gecollapste haakuitdrukking dan vindt men enkel nog posities met een positieve signatuur. Dit is een projector. De projector die de identiteitstransformatie is voor zijn ruimte interpreteren we als de eenheid van zijn ruimte (bijvoorbeeld de eenheidsvector) en het aantal betekende bits kan staan voor de intensiteit (of grootte) van de projector. Twee projectoren die elkaars inbedding zijn in dezelfde ruimte kunnen we interpreteren als de tegenovergestelde richtingen in die ruimte. Conventioneel wordt een richting op een as (een-dimensionale ruimte) of een draaizin in een vlak (twee-dimensionale ruimte) omgekeerd (met 180° gedraaid) door een scalaire vermenigvuldiging met (-1). Dit komt overeen met een vectorproduct met <> in modulo3 formaat. Merk op dat conventioneel gekozen wordt om slechts één richting van de projectie-as als naam voor de as te gebruiken, of één draaizin als naam voor een vlak te gebruiken.
De ruimte zelf is de tralie die opgespannen wordt door de twee extrema (die de projector en ingebedde projector zijn van hun ruimte). De vector vermenigvuldiging van een willekeurig punt met één van deze extrema heeft één van de punten van die opgespannen tralie als resultaat, aangezien de vector vermenigvuldiging van een willekeurige bit met een don't care bit een don't care als resultaat heeft. De vector vermenigvuldiging met het andere extremum geeft dan de inbedding van dat punt als resultaat.