De introductie van de getal-nul maakt de constructie mogelijk van een vector waarbij alle componenten in de ternaire vertaling ingenomen worden door x. Deze vector zullen we de al-nul vector noemen en we onderzoeken nu hoe deze tot welgevormde haakuitdrukkingen gerelateerd is.

Neem een willekeurige welgevormde haakuitdrukking H. H ervaren betekent: geen verschil kunnen maken tussen H en <>. Het verschil tussen H en <> is dan echter niet de al-nulvector maar een gecollapst deel van de tralie. Daartegenover staat dat de transformatie van H en H (formeel <H•H> of expliciet <<H<H>><<H>H>>) altijd ervaren is. Dus H•H is nooit ervaren en “H•H ervaren” of “geen verschil maken tussen H•H en <>” is dus wel degelijk de al-nulvector.

Met een voorbeeld wordt dit formeel ook duidelijker: stel dat we H voorstellen als (+-++--++) dan stellen we “H ervaren” voor als (x-xx--xx). Dus in de gecollapste tralie is H niet meer te onderscheiden van <>. Formeel betekent dit dat we een x plaatsen daar waar een + staat in de bitstring. Nu moeten we H•H als (+-++--++)•(+-++--++) en dus (++++++++) voorstellen en dus “H•H ervaren” als xxxxxxxx, in een meer traditionele notatie is dat H²=0, en bemerk dat dit mogelijk is zonder dat geldt dat H=0. Inderdaad, een willekeurig gecollapst punt blijft een gecollapst punt in de vectorvermenigvuldiging met zichzelf (kwadratering). Bijvoorbeeld (x-xx--xx)•(x-xx--xx) levert (x+xx++xx) en deze vectorvermenigvuldiging ervaren levert terug de al-nul vector op.

Als we dan een ervaren H•H vermenigvuldigen met H, dus H•H•H, in een meer traditionele notatie is dat H³=0, dan komt dit overeen met (xxxxxxxx)•(+-++--++) en het resultaat is dus nog steeds (xxxxxxxx) en dat geldt ook voor alle volgende machten. Zo’n element wordt een nilpotent genoemd. Dit gaf aanleiding tot het definiëren van “dual numbers” in de 19de eeuw.

Het onmiddellijk gevolg hiervan is dat wanneer een aantal punten elkaar uitsluiten, en dus hun conjunctie als welgevormde haakuitdrukking voorgesteld wordt door <<>>, het ervaren van die conjunctie onmogelijk is, wat dan formeel in modulo3 vorm voorgesteld wordt door de al-nul vector.

Uiteraard heeft heel deze redenering zijn duaal.

Voorbeelden:

De exponentiële functie e^k kan uitgedrukt worden als een oneindige reeks (de maclaurin-reeks) 1+k+k²/2!+k³/3!+k⁴/4!+…. Indien k een nilpotent is dan is e^k niet anders dan 1+k. Men zegt dan: “als k zeer klein is dan kunnen de derde term en alle volgende als verwaarloosbaar beschouwd worden”.

Gelijkaardig is de binomiale expansie. De binomiale expansie van (a+b)ⁿ wordt gegeven door aⁿ+(n/1!)a^n-1b+(n(n-1)/2!)a^n-2b²+.... Dus als b zeer klein is dan kunnen de derde term en alle volgende als verwaarloosbaar beschouwd worden.