We zullen nu aantonen dat zowel p, q, de som zijn van hun projecties in twee orthogonale ruimten die door het product van p en q kunnen geconstrueerd worden.

Inderdaad er gelden de volgende relaties:

(<<>>⊕p•q)•p=p⊕q

(<<>>⊕p•q)•q=p⊕q

(<<>>⊕<p•q>)•p=p⊕<q>

(<<>>⊕<p•q>)•q=<p>⊕q

Dus

<p>=(<<>>⊕p•q)•p⊕(<<>>⊕<p•q>)•p en dus ook:

<p>=(<>⊕<p•q>)•<p>⊕(<>⊕p•q)•<p>

Dus <p> kunnen we uitdrukken als de som van zijn projecties in de orthogonale ruimten (<>⊕<p•q>) en (<>⊕p•q).

En dus ook:

p=(<>⊕<p•q>)•p⊕(<>⊕p•q)•p

Dus p is de som van zijn projecties in de orthogonale ruimten (<>⊕<p•q>) en (<>⊕p•q).

QED

Voor q geldt dit eveneens.

<q>=(<<>>⊕p•q)•q⊕(<<>>⊕<p•q>)•q en dus ook:

<q>=(<>⊕<p•q>)•<q>⊕(<>⊕p•q)•<q>

Dus <q> is de som van zijn projecties in de ruimten (<>⊕<p•q>) en (<>⊕p•q).

q=(<>⊕<p•q>)•q⊕(<>⊕p•q)•q

Dus q is de som van zijn projecties in de orthogonale ruimten <>⊕<p•q> en <>⊕p•q.

QED

Merk op dat dit een duidelijk gevolg is van het modulo3 model van het haakformalisme, waarin dus geldt dat p⊕p=<p>.

Gevolgen

Hetzelfde geldt voor de mogelijke sommen van p en q of hun inbedding, bijvoorbeeld p⊕q=(<>⊕<p•q>)•(p⊕q)⊕(<>⊕p•q)•(p⊕q) dus (p⊕q) is de som van zijn projecties in de ruimten (<>⊕<p•q>) en (<>⊕p•q) en volledig analoog: p⊕<q>=(<>⊕<p•q>)•(p⊕<q>)⊕(<>⊕p•q)•(p⊕<q>).

Hetzelfde geldt voor de projecties in gelijk welke ruimten (<>⊕<h>) versus (<>⊕h), bijvoorbeeld p=(<>⊕<h>)•p⊕(<>⊕h)•p

Een “scheve” projectie geldt voor haakuitdrukkingen die elkaars orthogonale involutie zijn zonder daarom projectoren te zijn. Inderdaad elke welgevormde haakuitdrukking kan als product van twee andere geschreven worden en dus p•q=(<q>⊕<h•q>)•p⊕(<q>⊕h•q)•p en dus p•q=(<q>⊕<r>)•p⊕(<q>⊕r)•p

We kunnen dit op een belangrijke manier veralgemenen: elke gecollapste haakuitdrukking is een gewogen projector, dat betekent van de vorm (<>⊕H)•h; Elke gecollapste haakuitdrukking is dus de projectie van een welgevormde haakuitdrukking h in de ruimte van een welgevormde haakuitdrukking H. H en h zijn dus fundamenteel verschillend wat we ook kunnen tonen door (<h>⊕H•h)=(<>⊕H)•<H•h> en op geen enkele manier is dit als een projectie van H in de ruimte van h te schrijven. Dit maakt het verschil transparant tussen een (gebonden) projector en een (vrije) vector: als (<>⊕H) een projector genoemd wordt dan wordt h een vector genoemd. Wat wij dus projector noemen wordt klassiek gezien een vector genoemd en wat we hier vector noemen krijgt klassiek gezien de naam eenvorm.